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1.在下面的长方形中画一个最大的半圆，它的半径是多少？面积是多少？
2 cm
4 cm
2 cm
4 cm
答案
r=2 cm
S=$\frac{1}{2}×π×2^2=2π=6.28(\mathrm{cm}^2)$
解析
【分析】
首先观察长方形的长为4cm、宽为2cm。要画最大的半圆，半圆的直径越大则面积越大，优先尝试以长方形的长作为半圆的直径，此时计算得半径为4÷2=2cm，刚好等于长方形的宽，半圆不会超出长方形范围，符合最大半圆的要求。确定半径后，再根据半圆面积是对应整圆面积的一半，代入圆的面积公式计算即可。
【解析】
1. 求半圆的半径：
要得到长方形内最大的半圆，取长方形的长4cm作为半圆的直径，此时半径 $r=4÷2=2\,\mathrm{cm}$，该长度与长方形的宽相等，半圆不会超出长方形边界，因此最大半圆的半径是2cm。
2. 求半圆的面积：
半圆面积为对应整圆面积的一半，圆的面积公式为 $S=π r^2$，代入r=2cm计算：
$S_{\mathrm{半圆}}=\frac{1}{2}×π×2^2=2π=2×3.14=6.28(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
r=2 cm
S=$\frac{1}{2}×π×2^2=2π=6.28(\mathrm{cm}^2)$
【知识点】
1. 圆的基本性质
2. 半圆面积计算
3. 图形最值判断
【点评】
本题重点考察长方形内最大半圆的判定方法，解题的易错点是误将宽的一半作为半圆半径，只要结合长和宽的数值关系分析，再正确运用半圆面积公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
首先观察长方形的长为4cm、宽为2cm。要画最大的半圆，半圆的直径越大则面积越大，优先尝试以长方形的长作为半圆的直径，此时计算得半径为4÷2=2cm，刚好等于长方形的宽，半圆不会超出长方形范围，符合最大半圆的要求。确定半径后，再根据半圆面积是对应整圆面积的一半，代入圆的面积公式计算即可。
【解析】
1. 求半圆的半径：
要得到长方形内最大的半圆，取长方形的长4cm作为半圆的直径，此时半径 $r=4÷2=2\,\mathrm{cm}$，该长度与长方形的宽相等，半圆不会超出长方形边界，因此最大半圆的半径是2cm。
2. 求半圆的面积：
半圆面积为对应整圆面积的一半，圆的面积公式为 $S=π r^2$，代入r=2cm计算：
$S_{\mathrm{半圆}}=\frac{1}{2}×π×2^2=2π=2×3.14=6.28(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
r=2 cm
S=$\frac{1}{2}×π×2^2=2π=6.28(\mathrm{cm}^2)$
【知识点】
1. 圆的基本性质
2. 半圆面积计算
3. 图形最值判断
【点评】
本题重点考察长方形内最大半圆的判定方法，解题的易错点是误将宽的一半作为半圆半径，只要结合长和宽的数值关系分析，再正确运用半圆面积公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
2. 如下图所示，点O为圆心，正方形OABC的面积是10 m²，求圆的面积。
答案
S=$π×10=31.4(\mathrm{m}^2)$
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：正方形OABC的顶点O是圆心，OA、OC都是圆的半径，因此正方形的边长与圆的半径r相等。我们已知正方形的面积是10 m²，而正方形面积=边长×边长，也就是r×r=r²=10，不需要单独计算r的长度，直接把r²=10代入圆的面积公式S=πr²就能算出结果，这样计算更简便。
【解析】
解：设圆的半径为r m。
因为正方形OABC的边长等于圆的半径r，所以正方形的面积 = 边长×边长 = r×r = r² = 10 m²。
根据圆的面积公式：$S_{圆}=πr²$，将r²=10代入公式，π取3.14：
$S_{圆}=3.14×10 = 31.4(\mathrm{m}^2)$
【答案】
S=$π×10=31.4(\mathrm{m}^2)$
【知识点】
正方形面积计算、圆的面积计算、等量代换
【点评】
这是圆与正方形结合的典型基础题，解题核心是建立正方形面积和圆半径平方的等量关系，不需要求出半径的具体数值，用整体代换的思路代入计算即可，能很好地考查对图形关系和面积公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征：正方形OABC的顶点O是圆心，OA、OC都是圆的半径，因此正方形的边长与圆的半径r相等。我们已知正方形的面积是10 m²，而正方形面积=边长×边长，也就是r×r=r²=10，不需要单独计算r的长度，直接把r²=10代入圆的面积公式S=πr²就能算出结果，这样计算更简便。
【解析】
解：设圆的半径为r m。
因为正方形OABC的边长等于圆的半径r，所以正方形的面积 = 边长×边长 = r×r = r² = 10 m²。
根据圆的面积公式：$S_{圆}=πr²$，将r²=10代入公式，π取3.14：
$S_{圆}=3.14×10 = 31.4(\mathrm{m}^2)$
【答案】
S=$π×10=31.4(\mathrm{m}^2)$
【知识点】
正方形面积计算、圆的面积计算、等量代换
【点评】
这是圆与正方形结合的典型基础题，解题核心是建立正方形面积和圆半径平方的等量关系，不需要求出半径的具体数值，用整体代换的思路代入计算即可，能很好地考查对图形关系和面积公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
3.下雨的时候，雨点落在水面上会荡起层层波纹。已知一个水池是长6 m、宽5 m的长方形，当波纹到池边时，所形成的最大整圆的周长是多少米？面积是多少平方米？池面剩余部分的面积是多少平方米？
答案
$C_{\mathrm{圆}}=5π=15.7(\mathrm{m})$
$S_{\mathrm{圆}}=π×(5÷2)^2=19.625(\mathrm{m}^2)$
$S_{\mathrm{剩余}}=6×5-19.625=10.375(\mathrm{m}^2)$
$S_{\mathrm{圆}}=π×(5÷2)^2=19.625(\mathrm{m}^2)$
$S_{\mathrm{剩余}}=6×5-19.625=10.375(\mathrm{m}^2)$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先得明确长方形水池中能形成的最大整圆的边界不能超出水池，因此圆的直径最大只能等于长方形的短边长度（如果取长边为直径，圆会超出短边的边界）。确定圆的直径后，再分别根据圆的周长、面积公式计算对应数值，最后用长方形水池的面积减去圆的面积，就能得到剩余部分的面积。
【解析】
1. 确定最大整圆的直径：长方形水池长6m、宽5m，短边为5m，因此最大整圆的直径$d=5\mathrm{m}$，半径$r=5÷2=2.5\mathrm{m}$。
2. 计算圆的周长：根据圆的周长公式$C=π d$，代入数值计算得$C=3.14×5=15.7(\mathrm{m})$。
3. 计算圆的面积：根据圆的面积公式$S=π r^2$，代入数值计算得$S=3.14×(2.5)^2=3.14×6.25=19.625(\mathrm{m}^2)$。
4. 计算剩余部分面积：先算长方形水池面积$=$长$×$宽$=6×5=30(\mathrm{m}^2)$，剩余面积$=$长方形面积$-$圆的面积$=30-19.625=10.375(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
最大整圆的周长是15.7m，面积是19.625$\mathrm{m}^2$，池面剩余部分的面积是10.375$\mathrm{m}^2$。
【知识点】
长方形内最大圆的特征、圆的周长计算、圆的面积计算
【点评】
本题解题关键是准确判断长方形内最大整圆的直径等于长方形的较短边长，再结合对应周长、面积公式计算即可，易错点是误将长方形的长边作为圆的直径导致结果错误。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先得明确长方形水池中能形成的最大整圆的边界不能超出水池，因此圆的直径最大只能等于长方形的短边长度（如果取长边为直径，圆会超出短边的边界）。确定圆的直径后，再分别根据圆的周长、面积公式计算对应数值，最后用长方形水池的面积减去圆的面积，就能得到剩余部分的面积。
【解析】
1. 确定最大整圆的直径：长方形水池长6m、宽5m，短边为5m，因此最大整圆的直径$d=5\mathrm{m}$，半径$r=5÷2=2.5\mathrm{m}$。
2. 计算圆的周长：根据圆的周长公式$C=π d$，代入数值计算得$C=3.14×5=15.7(\mathrm{m})$。
3. 计算圆的面积：根据圆的面积公式$S=π r^2$，代入数值计算得$S=3.14×(2.5)^2=3.14×6.25=19.625(\mathrm{m}^2)$。
4. 计算剩余部分面积：先算长方形水池面积$=$长$×$宽$=6×5=30(\mathrm{m}^2)$，剩余面积$=$长方形面积$-$圆的面积$=30-19.625=10.375(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
最大整圆的周长是15.7m，面积是19.625$\mathrm{m}^2$，池面剩余部分的面积是10.375$\mathrm{m}^2$。
【知识点】
长方形内最大圆的特征、圆的周长计算、圆的面积计算
【点评】
本题解题关键是准确判断长方形内最大整圆的直径等于长方形的较短边长，再结合对应周长、面积公式计算即可，易错点是误将长方形的长边作为圆的直径导致结果错误。
【难度系数】
0.7
4.学校原来有一个半圆形舞台，半径是4 m(见下图)，现在因演出需要，要在舞台周围加宽1 m。现在的舞台面积比原来的舞台面积大多少平方米？
答案
$R=4+1=5(\mathrm{m})$
$S=\frac{1}{2}π(R^2-r^2)$
$=\frac{1}{2}×π×(25-16)$
$=14.13(\mathrm{m}^2)$
解析
【分析】
要求现在的舞台面积比原来大多少，本质是求半圆环的面积。首先明确原来半圆形舞台的半径$r=4\mathrm{m}$，加宽1m后，外半圆的半径$R=4+1=5\mathrm{m}$。已知圆环面积公式为$π(R^2-r^2)$，因为舞台是半圆形，所以面积差就是圆环面积的$\frac{1}{2}$，代入对应数值计算即可得到结果。
【解析】
步骤1：计算加宽后外半圆的半径
$R=4+1=5(\mathrm{m})$
步骤2：明确半圆环面积公式，增加的面积=外半圆面积-内半圆面积，即：
$S=\frac{1}{2}π(R^2-r^2)$
步骤3：代入数值计算
$S=\frac{1}{2}×3.14×(5^2 - 4^2)$
$=\frac{1}{2}×3.14×(25-16)$
$=\frac{1}{2}×3.14×9$
$=14.13(\mathrm{m}^2)$
【答案】
$R=4+1=5(\mathrm{m})$
$S=\frac{1}{2}π(R^2-r^2)$
$=\frac{1}{2}×π×(25-16)$
$=14.13(\mathrm{m}^2)$
【知识点】
圆的面积计算；半圆环面积计算
【点评】
本题结合实际场景出题，解题的关键是判断出增加的面积为半环形，计算时需注意舞台是半圆形，不要遗漏乘以$\frac{1}{2}$，避免误算成全圆环面积。
【难度系数】
0.7
要求现在的舞台面积比原来大多少，本质是求半圆环的面积。首先明确原来半圆形舞台的半径$r=4\mathrm{m}$，加宽1m后，外半圆的半径$R=4+1=5\mathrm{m}$。已知圆环面积公式为$π(R^2-r^2)$，因为舞台是半圆形，所以面积差就是圆环面积的$\frac{1}{2}$，代入对应数值计算即可得到结果。
【解析】
步骤1：计算加宽后外半圆的半径
$R=4+1=5(\mathrm{m})$
步骤2：明确半圆环面积公式，增加的面积=外半圆面积-内半圆面积，即：
$S=\frac{1}{2}π(R^2-r^2)$
步骤3：代入数值计算
$S=\frac{1}{2}×3.14×(5^2 - 4^2)$
$=\frac{1}{2}×3.14×(25-16)$
$=\frac{1}{2}×3.14×9$
$=14.13(\mathrm{m}^2)$
【答案】
$R=4+1=5(\mathrm{m})$
$S=\frac{1}{2}π(R^2-r^2)$
$=\frac{1}{2}×π×(25-16)$
$=14.13(\mathrm{m}^2)$
【知识点】
圆的面积计算；半圆环面积计算
【点评】
本题结合实际场景出题，解题的关键是判断出增加的面积为半环形，计算时需注意舞台是半圆形，不要遗漏乘以$\frac{1}{2}$，避免误算成全圆环面积。
【难度系数】
0.7
5. 如下图所示，小圆沿着大圆的外侧滚动一周。
(1)小圆的圆心移动的路程是多少？
(2)小圆滚动时扫过的面积是多少？
(1)小圆的圆心移动的路程是多少？
(2)小圆滚动时扫过的面积是多少？
答案
(1)$r_3=5+2=7(\mathrm{dm})$
$C=2×π×7=43.96(\mathrm{dm})$
(2)$r_2=5\ \mathrm{dm}$
$r_4=5+2+2=9(\mathrm{dm})$
$S=π×(9^2-5^2)=π×56=175.84(\mathrm{dm}^2)$
解析
【分析】
（1）解决第一问首先要明确：小圆沿大圆外侧滚动时，小圆圆心的运动轨迹是一个以大圆圆心为圆心的圆，该轨迹圆的半径等于大圆半径加小圆半径，求小圆圆心移动的路程，本质就是求这个轨迹圆的周长，代入圆的周长公式计算即可。
（2）解决第二问要先明确：小圆滚动一周扫过的区域是一个圆环，圆环的内圆半径就是大圆的半径，外圆半径等于大圆半径加2倍小圆半径，再代入圆环面积公式计算就能得到扫过的面积。
【解析】
（1）第一步计算小圆圆心运动轨迹的半径：
轨迹半径 = 大圆半径 + 小圆半径 = $5+2=7(\mathrm{dm})$
代入圆的周长公式$C=2πr$（$π$取3.14）：
小圆圆心移动的路程 = $2×3.14×7=43.96(\mathrm{dm})$
（2）第一步确定圆环的内外半径：
内圆半径 = 大圆半径 = $5\ \mathrm{dm}$
外圆半径 = 大圆半径 + 2×小圆半径 = $5+2×2=9(\mathrm{dm})$
代入圆环面积公式$S=π(R²-r²)$（$π$取3.14）：
扫过的面积 = $3.14×(9²-5²)=3.14×(81-25)=3.14×56=175.84(\mathrm{dm}^2)$
【答案】
(1)$r_3=5+2=7(\mathrm{dm})$
$C=2×π×7=43.96(\mathrm{dm})$
(2)$r_2=5\ \mathrm{dm}$
$r_4=5+2+2=9(\mathrm{dm})$
$S=π×(9^2-5^2)=π×56=175.84(\mathrm{dm}^2)$
【知识点】
圆的周长计算、圆环面积计算、滚动轨迹分析
【点评】
本题结合图形滚动场景考查圆的相关公式的实际应用，解题核心是准确判断圆心运动轨迹的半径和扫过区域的范围，需要学生具备基础的空间想象能力，熟练掌握公式即可解题。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问首先要明确：小圆沿大圆外侧滚动时，小圆圆心的运动轨迹是一个以大圆圆心为圆心的圆，该轨迹圆的半径等于大圆半径加小圆半径，求小圆圆心移动的路程，本质就是求这个轨迹圆的周长，代入圆的周长公式计算即可。
（2）解决第二问要先明确：小圆滚动一周扫过的区域是一个圆环，圆环的内圆半径就是大圆的半径，外圆半径等于大圆半径加2倍小圆半径，再代入圆环面积公式计算就能得到扫过的面积。
【解析】
（1）第一步计算小圆圆心运动轨迹的半径：
轨迹半径 = 大圆半径 + 小圆半径 = $5+2=7(\mathrm{dm})$
代入圆的周长公式$C=2πr$（$π$取3.14）：
小圆圆心移动的路程 = $2×3.14×7=43.96(\mathrm{dm})$
（2）第一步确定圆环的内外半径：
内圆半径 = 大圆半径 = $5\ \mathrm{dm}$
外圆半径 = 大圆半径 + 2×小圆半径 = $5+2×2=9(\mathrm{dm})$
代入圆环面积公式$S=π(R²-r²)$（$π$取3.14）：
扫过的面积 = $3.14×(9²-5²)=3.14×(81-25)=3.14×56=175.84(\mathrm{dm}^2)$
【答案】
(1)$r_3=5+2=7(\mathrm{dm})$
$C=2×π×7=43.96(\mathrm{dm})$
(2)$r_2=5\ \mathrm{dm}$
$r_4=5+2+2=9(\mathrm{dm})$
$S=π×(9^2-5^2)=π×56=175.84(\mathrm{dm}^2)$
【知识点】
圆的周长计算、圆环面积计算、滚动轨迹分析
【点评】
本题结合图形滚动场景考查圆的相关公式的实际应用，解题核心是准确判断圆心运动轨迹的半径和扫过区域的范围，需要学生具备基础的空间想象能力，熟练掌握公式即可解题。
【难度系数】
0.7
