1.下面是“作线段的垂直平分线”的尺规作图过程,填空并完成作图.
已知:如图,线段AB.
求作:线段AB的垂直平分线.
作法:(1)分别以点,为圆心,大于长为半径作弧,两弧交于点C,D；
(2)作直线.
则直线就是所求作的垂直平分线.

1.(1)$A;B;\frac{1}{2}AB$ (2)$CD;CD$
图略.

【分析】
要作线段AB的垂直平分线，依据是“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”，我们需要构造两个到A、B距离都相等的点，再根据两点确定一条直线，这两个点所在的直线就是AB的垂直平分线。第一步首先选取线段的两个端点A、B作为作弧的圆心，为了保证两弧能相交，作弧的半径必须大于AB长度的一半，否则两弧没有交点；第二步连接两弧的两个交点C、D得到直线CD，这条直线就是所求的垂直平分线。
【解析】
根据线段垂直平分线的尺规作图步骤：
(1) 分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，两弧交于点C，D；
(2) 作直线CD。
则直线CD就是所求作的垂直平分线。
（作图：按上述步骤，在线段AB上下两侧画出交点C、D，连接CD即可，图略。）
【答案】
(1)$A;B;\frac{1}{2}AB$ (2)$CD;CD$，作图略
【知识点】
1.线段垂直平分线作图
2.垂直平分线判定
3.两点确定一条直线
【点评】
本题是基础尺规作图题，考查线段垂直平分线的作图方法和原理，需要牢记作图步骤，尤其注意作弧时半径长度的要求，避免出现两弧无法相交的错误。
【难度系数】
0.9

2. 如图，在$△ ABC$中，AD垂直平分BC，点E在BC的延长线上，且满足$AB + BD = DE$。求证：点C在线段AE的垂直平分线上。

证明：
∵ AD垂直平分BC，
∴ AB = AC，BD = DC。
∵ AB + BD = DE，
∴ AC + DC = DE。
又∵ DE = DC + CE，
∴ AC + DC = DC + CE，
∴ AC = CE。
∴ 点C在线段AE的垂直平分线上。

【分析】
要证明点C在线段AE的垂直平分线上，可依据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，因此只需证明AC=CE即可。首先利用AD垂直平分BC的条件，根据线段垂直平分线的性质得到AB=AC、BD=DC，再结合AB+BD=DE的已知条件，通过等量代换推导AC与CE的等量关系，就能完成证明。
【解析】
证明：
∵ AD垂直平分BC，
∴ AB = AC，BD = DC。
∵ AB + BD = DE，
∴ AC + DC = DE。
又
∵ DE = DC + CE，
∴ AC + DC = DC + CE，
∴ AC = CE。
∴ 点C在线段AE的垂直平分线上。
【答案】
证明：
∵ AD垂直平分BC，
∴ AB = AC，BD = DC。
∵ AB + BD = DE，
∴ AC + DC = DE。
又
∵ DE = DC + CE，
∴ AC + DC = DC + CE，
∴ AC = CE。
∴ 点C在线段AE的垂直平分线上。
【知识点】
线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考查线段垂直平分线性质与判定的综合应用，解题的核心是明确“证明点在某线段的垂直平分线上，等价于证明该点到线段两个端点的距离相等”，结合已知条件做简单的等量代换即可求解，熟练掌握相关定理是解题的前提。
【难度系数】
0.8

3. 如图,已知$CA=CB$($A$,$B$,$C$三点不在同一条直线上).
(1)请分别作出线段$CA$,$CB$的垂直平分线;(用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)设所作两条垂直平分线交于点$O$,连接$CO$,问:$CO$平分$∠ ACB$吗?请说明理由.

3.(1)图略.
(2)$CO$平分$∠ ACB$.理由略.

【分析】
(1) 第一问考查线段垂直平分线的尺规作图方法，按照规范操作即可：分别以线段的两个端点为圆心，取大于线段长度一半的长度为半径画弧，两弧相交得到两个交点，过这两个交点作直线就是该线段的垂直平分线，作图时注意保留痕迹。
(2) 第二问要判断CO是否平分∠ACB，可结合垂直平分线的性质推导线段相等关系，再通过三角形全等证明对应角相等。具体思路：首先利用垂直平分线上的点到线段两端距离相等，得到OA=OC、OB=OC，推出OA=OB；再结合已知CA=CB和公共边OC，用SSS判定△OAC和△OBC全等，根据全等对应角相等即可证明CO平分∠ACB。
【解析】
(1) ①作CA的垂直平分线：分别以点C、A为圆心，大于$\frac{1}{2}CA$的长度为半径画弧，两弧交于两点，过这两点画直线，即为CA的垂直平分线；②同理作出CB的垂直平分线，保留所有作图痕迹即可。
(2) $CO$平分$∠ACB$，理由如下：
∵点O在CA的垂直平分线上，
∴$OC=OA$（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
∵点O在CB的垂直平分线上，
∴$OC=OB$（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
∴$OA=OB$，
在$△ OAC$和$△ OBC$中：
$\begin{cases}OA=OB \\CA=CB \\OC=OC\end{cases}$
∴$△ OAC ≌ △ OBC$（SSS），
∴$∠OCA=∠OCB$，即CO平分$∠ACB$。
【答案】
(1) 图略；
(2) $CO$平分$∠ACB$，理由略。
【知识点】
1. 线段垂直平分线作图
2. 线段垂直平分线的性质
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，既考查尺规作图的操作规范，又考查核心定理的应用，需要熟练掌握垂直平分线的性质和全等三角形的判定方法，为后续复杂几何证明打基础。
【难度系数】
0.75

4. 如图,在$△ ABC$中,边$AB$的垂直平分线分别交$AB$,$BC$于点$D$,$E$,边$AC$的垂直平分线分别交$AC$,$BC$于点$M$,$N$,连接$AE$,$AN$.

(1)若$BC=10$,求$△ AEN$的周长.
(2)设直线$DE$,$MN$交于点$O$,连接$OB$,$OC$.
①试判断点$O$是否在$BC$的垂直平分线上,并说明理由;
②[整体思想]若$∠ BAC=100°$,求$∠ BOC$的度数.

4.(1)$△ AEN$的周长为10.
(2)①点$O$在$BC$的垂直平分线上.理由略.
②$∠ BOC=160°$.

【分析】
（1）求△AEN的周长时，可利用线段垂直平分线的性质进行线段转化：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，可得AE=BE、AN=CN，将△AEN的周长转化为BC的长度即可直接求解。
（2）①判断点O是否在BC的垂直平分线上，只需证明OB=OC；已知O是AB、AC垂直平分线的交点，根据垂直平分线性质可得OA=OB、OA=OC，等量代换即可得OB=OC，从而证明结论。
②求∠BOC的度数时，先结合垂直平分线的性质得到OA=OB=OC，再利用四边形内角和求出两条垂直平分线的夹角，最后结合等腰三角形等边对等角的性质，建立∠BOC和∠BAC的数量关系即可求解。
【解析】
(1)
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上
∴$AE=BE$
∵MN是AC的垂直平分线，点N在MN上
∴$AN=CN$
∴$△ AEN$的周长$=AE+EN+AN=BE+EN+CN=BC$
∵$BC=10$
∴$△ AEN$的周长为10。
(2) ①点O在BC的垂直平分线上，理由如下：
连接OA，
∵直线DE是AB的垂直平分线，点O在DE上
∴$OA=OB$
∵直线MN是AC的垂直平分线，点O在MN上
∴$OA=OC$
∴$OB=OC$
根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可得点O在BC的垂直平分线上。
②
∵DE垂直平分AB，MN垂直平分AC
∴$∠ ADO=90°$，$∠ AMO=90°$，且$∠ BOD=∠ AOD$，$∠ COM=∠ AOM$
在四边形ADOM中，内角和为$360°$
∴$∠ DOM=360°-∠ ADO-∠ AMO-∠ BAC=360°-90°-90°-100°=80°$，即$∠ AOD+∠ AOM=80°$
∴$∠ BOC=∠ BOD+∠ AOD+∠ AOM+∠ COM=2(∠ AOD+∠ AOM)=2×80°=160°$
【答案】
(1) $△ AEN$的周长为10；
(2) ①点O在BC的垂直平分线上；②$∠ BOC=160°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、多边形内角和
【点评】
本题是线段垂直平分线的基础综合题，解题核心是熟练运用垂直平分线的性质实现线段、角的等量转化，计算角度时要注意整体思想的运用，减少不必要的分步计算。
【难度系数】
0.7