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1. 式子$\boldsymbol{b^2 - 4ac}$可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=$\boldsymbol{b^2 - 4ac}$。
答案
$b^2-4ac$ $b^2-4ac$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式的基本定义，解题时只需结合题干给出的定义内容直接对应填写即可。首先题干明确说明可判别一元二次方程根的情况的式子为$b^2-4ac$，该式子被定义为根的判别式，且用希腊字母Δ表示，直接提取定义对应的表达式即可得到答案。
【解析】
根据题干中根的判别式的定义：式子$b^2-4ac$可以判别一元二次方程的根的情况，被称为一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的判别式，通常用Δ表示，因此两个空均填写$b^2-4ac$。
【答案】
$b^2-4ac$；$b^2-4ac$
【知识点】
一元二次方程根的判别式定义
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考察对根的判别式基本定义的识记，熟悉相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根的判别式的基本定义，解题时只需结合题干给出的定义内容直接对应填写即可。首先题干明确说明可判别一元二次方程根的情况的式子为$b^2-4ac$，该式子被定义为根的判别式，且用希腊字母Δ表示，直接提取定义对应的表达式即可得到答案。
【解析】
根据题干中根的判别式的定义：式子$b^2-4ac$可以判别一元二次方程的根的情况，被称为一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的判别式，通常用Δ表示，因此两个空均填写$b^2-4ac$。
【答案】
$b^2-4ac$；$b^2-4ac$
【知识点】
一元二次方程根的判别式定义
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考察对根的判别式基本定义的识记，熟悉相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2. 当$\Delta≥0$时，方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的实数根可写为$x=$
$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
的形式，这个式子叫作一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的求根公式。答案
2. $\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程求根公式的识记，可通过回忆配方法推导求根公式的过程梳理思路：首先对一元二次方程二次项系数化1，再通过配方变形为完全平方式，结合判别式Δ≥0的前提开平方，最终整理即可得到求根公式。
【解析】
已知$a≠0$，将方程$ax^2+bx+c=0$两边同时除以$a$，得：
$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$
移项得：$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$
配方，两边同时加上$(\frac{b}{2a})^2$，得：
$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}$
左边整理为完全平方式，右边通分计算得：
$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$
当$\Delta=b^2-4ac≥0$时，两边开平方得：
$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
移项后可得：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
【答案】
$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 配方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对一元二次方程求根公式的掌握程度，该公式是公式法解一元二次方程的核心依据，需要牢记并熟练应用。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程求根公式的识记，可通过回忆配方法推导求根公式的过程梳理思路：首先对一元二次方程二次项系数化1，再通过配方变形为完全平方式，结合判别式Δ≥0的前提开平方，最终整理即可得到求根公式。
【解析】
已知$a≠0$，将方程$ax^2+bx+c=0$两边同时除以$a$，得：
$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$
移项得：$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$
配方，两边同时加上$(\frac{b}{2a})^2$，得：
$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}$
左边整理为完全平方式，右边通分计算得：
$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$
当$\Delta=b^2-4ac≥0$时，两边开平方得：
$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
移项后可得：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
【答案】
$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 配方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对一元二次方程求根公式的掌握程度，该公式是公式法解一元二次方程的核心依据，需要牢记并熟练应用。
【难度系数】
0.9
3. 解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入
求根公式
，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法
。答案
3. 求根公式 公式法
解析
【分析】
本题考查一元二次方程公式法的基本定义，解题时需要回忆一元二次方程不同解法的特征：题目中提到“把各系数代入某个式子直接得出方程的根”，对应公式法的核心特征，结合所学的公式法概念即可填空。
【解析】
根据一元二次方程公式法的定义：解一元二次方程时，先将方程化为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，把各项系数$a、b、c$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}(b^2-4ac≥0)$，就可以直接求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。因此两个空依次填入求根公式、公式法。
【答案】
求根公式 公式法
【知识点】
1. 公式法的概念
2. 求根公式
【点评】
本题是基础概念考查题，侧重对核心定义的识记，掌握一元二次方程各类解法的基本特征是解题的关键。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程公式法的基本定义，解题时需要回忆一元二次方程不同解法的特征：题目中提到“把各系数代入某个式子直接得出方程的根”，对应公式法的核心特征，结合所学的公式法概念即可填空。
【解析】
根据一元二次方程公式法的定义：解一元二次方程时，先将方程化为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，把各项系数$a、b、c$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}(b^2-4ac≥0)$，就可以直接求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。因此两个空依次填入求根公式、公式法。
【答案】
求根公式 公式法
【知识点】
1. 公式法的概念
2. 求根公式
【点评】
本题是基础概念考查题，侧重对核心定义的识记，掌握一元二次方程各类解法的基本特征是解题的关键。
【难度系数】
0.9
1. 一元二次方程$x^2 -2x -1=0$的根的情况为（
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
B
）.A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
答案
1. B
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需借助根的判别式$\Delta = b^2-4ac$分析，解题思路分为三步：第一步，从一元二次方程的一般形式中确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值；第二步，将$a$、$b$、$c$代入判别式公式计算$\Delta$的数值；第三步，根据$\Delta$的符号对应根的情况得出结论：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），对应题目中的方程$x^2 -2x -1=0$，可得$a=1$，$b=-2$，$c=-1$。
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(-1) = 4 + 4 = 8$
因为$\Delta=8＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 一元二次方程一般式
【点评】
本题是对一元二次方程根的判别式应用的基础考查，牢记判别式的计算方法以及判别式取值与根的情况的对应关系，即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程根的情况，需借助根的判别式$\Delta = b^2-4ac$分析，解题思路分为三步：第一步，从一元二次方程的一般形式中确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值；第二步，将$a$、$b$、$c$代入判别式公式计算$\Delta$的数值；第三步，根据$\Delta$的符号对应根的情况得出结论：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），对应题目中的方程$x^2 -2x -1=0$，可得$a=1$，$b=-2$，$c=-1$。
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(-1) = 4 + 4 = 8$
因为$\Delta=8＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 一元二次方程一般式
【点评】
本题是对一元二次方程根的判别式应用的基础考查，牢记判别式的计算方法以及判别式取值与根的情况的对应关系，即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.9
2. 将下列一元二次方程化为一般式后，分别写出每个方程的二次项系数、一次项系数、常数项.
(1) $2x(x+4)=1$；
(2) $(x-2)(3x-5)=1$.
(1) $2x(x+4)=1$；
(2) $(x-2)(3x-5)=1$.
答案
2. 解：(1) 化为一般式：$2x^2+8x-1=0$；
$a=2,\ b=8,\ c=-1.$
(2) 化为一般式：$3x^2-11x+9=0$；
$a=3,\ b=-11,\ c=9.$
$a=2,\ b=8,\ c=-1.$
(2) 化为一般式：$3x^2-11x+9=0$；
$a=3,\ b=-11,\ c=9.$
解析
【分析】
解题前首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。解题思路如下：第一步先对每个方程的左侧做去括号运算；第二步将所有项移到方程左侧，把右侧整理为0，合并同类项后得到一般式；第三步对应提取三个系数即可，注意系数要包含本身的正负符号。
【解析】
(1) 对原方程$2x(x+4)=1$去括号，得：
$2x^2+8x=1$
移项整理为一般式：
$2x^2+8x-1=0$
因此二次项系数$a=2$，一次项系数$b=8$，常数项$c=-1$。
(2) 对原方程$(x-2)(3x-5)=1$展开左侧，得：
$3x^2-5x-6x+10=1$
合并同类项、移项整理为一般式：
$3x^2-11x+9=0$
因此二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-11$，常数项$c=9$。
【答案】
(1) 一般式：$2x^2+8x-1=0$，$a=2,\ b=8,\ c=-1$；
(2) 一般式：$3x^2-11x+9=0$，$a=3,\ b=-11,\ c=9$。
【知识点】
一元二次方程一般式、整式乘法、方程化简
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，重点考查方程转一般形式的能力，解题时要注意去括号的运算规则，移项需变号，书写系数时不要遗漏正负号。
【难度系数】
0.8
解题前首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。解题思路如下：第一步先对每个方程的左侧做去括号运算；第二步将所有项移到方程左侧，把右侧整理为0，合并同类项后得到一般式；第三步对应提取三个系数即可，注意系数要包含本身的正负符号。
【解析】
(1) 对原方程$2x(x+4)=1$去括号，得：
$2x^2+8x=1$
移项整理为一般式：
$2x^2+8x-1=0$
因此二次项系数$a=2$，一次项系数$b=8$，常数项$c=-1$。
(2) 对原方程$(x-2)(3x-5)=1$展开左侧，得：
$3x^2-5x-6x+10=1$
合并同类项、移项整理为一般式：
$3x^2-11x+9=0$
因此二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-11$，常数项$c=9$。
【答案】
(1) 一般式：$2x^2+8x-1=0$，$a=2,\ b=8,\ c=-1$；
(2) 一般式：$3x^2-11x+9=0$，$a=3,\ b=-11,\ c=9$。
【知识点】
一元二次方程一般式、整式乘法、方程化简
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，重点考查方程转一般形式的能力，解题时要注意去括号的运算规则，移项需变号，书写系数时不要遗漏正负号。
【难度系数】
0.8
