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3. 不解方程，判断下列方程是否有实数根.
(1) $x^2 - x -1=0$；
(2) $x^2 -2x +1=0$；
(3) $2x^2 -3x +2=0$.
(1) $x^2 - x -1=0$；
(2) $x^2 -2x +1=0$；
(3) $2x^2 -3x +2=0$.
答案
3. 解：(1) $\because a=1,\ b=-1,\ c=-1,\ \therefore \Delta = b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-1)=5＞0.$
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根.
(2) $\because a=1,\ b=-2,\ c=1,\ \therefore \Delta = b^2-4ac=(-2)^2-4×1×1=0.$ $\therefore$ 方程有两个相等的实数根.
(3) $\because a=2,\ b=-3,\ c=2,\ \therefore \Delta = b^2-4ac=(-3)^2-4×2×2=-7＜0.$ $\therefore$ 方程无实数根.
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根.
(2) $\because a=1,\ b=-2,\ c=1,\ \therefore \Delta = b^2-4ac=(-2)^2-4×1×1=0.$ $\therefore$ 方程有两个相等的实数根.
(3) $\because a=2,\ b=-3,\ c=2,\ \therefore \Delta = b^2-4ac=(-3)^2-4×2×2=-7＜0.$ $\therefore$ 方程无实数根.
解析
【分析】
不解方程判断一元二次方程是否有实数根，可通过根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的符号判定，解题思路如下：①先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应找出每个方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；②将$a、b、c$代入判别式公式计算结果；③根据结果判定根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 - x -1=0$：
$\because a=1,\ b=-1,\ c=-1$，
$\therefore \Delta = b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-1)=1+4=5＞0$，
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根。
(2) 对于方程$x^2 -2x +1=0$：
$\because a=1,\ b=-2,\ c=1$，
$\therefore \Delta = b^2-4ac=(-2)^2-4×1×1=4-4=0$，
$\therefore$ 方程有两个相等的实数根。
(3) 对于方程$2x^2 -3x +2=0$：
$\because a=2,\ b=-3,\ c=2$，
$\therefore \Delta = b^2-4ac=(-3)^2-4×2×2=9-16=-7＜0$，
$\therefore$ 方程无实数根。
【答案】
(1) 有两个不相等的实数根；
(2) 有两个相等的实数根；
(3) 无实数根。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根的判定
【点评】
本题是利用根的判别式判断方程实根情况的基础题型，核心是准确识别方程各项系数，计算判别式时要注意系数的符号，避免因符号错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.8
不解方程判断一元二次方程是否有实数根，可通过根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的符号判定，解题思路如下：①先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应找出每个方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；②将$a、b、c$代入判别式公式计算结果；③根据结果判定根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 - x -1=0$：
$\because a=1,\ b=-1,\ c=-1$，
$\therefore \Delta = b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-1)=1+4=5＞0$，
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根。
(2) 对于方程$x^2 -2x +1=0$：
$\because a=1,\ b=-2,\ c=1$，
$\therefore \Delta = b^2-4ac=(-2)^2-4×1×1=4-4=0$，
$\therefore$ 方程有两个相等的实数根。
(3) 对于方程$2x^2 -3x +2=0$：
$\because a=2,\ b=-3,\ c=2$，
$\therefore \Delta = b^2-4ac=(-3)^2-4×2×2=9-16=-7＜0$，
$\therefore$ 方程无实数根。
【答案】
(1) 有两个不相等的实数根；
(2) 有两个相等的实数根；
(3) 无实数根。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根的判定
【点评】
本题是利用根的判别式判断方程实根情况的基础题型，核心是准确识别方程各项系数，计算判别式时要注意系数的符号，避免因符号错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.8
4. 用公式法解下列方程：
(1) $2x^2 - 4x - 1 = 0$；
(2) $5x + 2 = 3x^2$；
(3) $4x^2 - 3x + 1 = 0$。
(1) $2x^2 - 4x - 1 = 0$；
(2) $5x + 2 = 3x^2$；
(3) $4x^2 - 3x + 1 = 0$。
答案
4. 解：(1) $x_1=\frac{2+\sqrt{6}}{2},\ x_2=\frac{2-\sqrt{6}}{2}.$
(2) $x_1=2,\ x_2=-\frac{1}{3}.$
(3) $\Delta=-7＜0$，方程无实数根.
(2) $x_1=2,\ x_2=-\frac{1}{3}.$
(3) $\Delta=-7＜0$，方程无实数根.
解析
【分析】
使用公式法解一元二次方程的通用解题思路如下：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的标准形式，准确确定系数$a$、$b$、$c$的取值（注意符号不要出错）；②计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况：若$\Delta≥0$，方程有两个实数根，可代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$计算根；若$\Delta＜0$，方程没有实数根。三个小题均按该步骤逐步计算即可。
【解析】
(1) 方程$2x^2 - 4x - 1 = 0$为标准形式，其中$a=2$，$b=-4$，$c=-1$。
计算判别式：$\Delta=(-4)^2 - 4×2×(-1)=16+8=24＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式得：$x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{24}}{2×2}=\frac{4\pm2\sqrt{6}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{6}}{2}$。
(2) 先将$5x + 2 = 3x^2$移项整理为标准形式：$3x^2 -5x -2=0$，其中$a=3$，$b=-5$，$c=-2$。
计算判别式：$\Delta=(-5)^2 -4×3×(-2)=25+24=49＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式得：$x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{49}}{2×3}=\frac{5\pm7}{6}$，即$x_1=\frac{5+7}{6}=2$，$x_2=\frac{5-7}{6}=-\frac{1}{3}$。
(3) 方程$4x^2 - 3x + 1 = 0$为标准形式，其中$a=4$，$b=-3$，$c=1$。
计算判别式：$\Delta=(-3)^2 -4×4×1=9-16=-7＜0$，因此方程无实数根。
【答案】
(1) $x_1=\frac{2+\sqrt{6}}{2},\ x_2=\frac{2-\sqrt{6}}{2}$
(2) $x_1=2,\ x_2=-\frac{1}{3}$
(3) $\Delta=-7＜0$，方程无实数根
【知识点】
公式法解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、一元二次方程求根公式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练题，核心考查公式法解题的规范步骤，解题时需注意先将方程化为标准形式，确定系数时要留意符号，避免计算判别式和代入求根公式时出现符号错误。
【难度系数】
0.7
使用公式法解一元二次方程的通用解题思路如下：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的标准形式，准确确定系数$a$、$b$、$c$的取值（注意符号不要出错）；②计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况：若$\Delta≥0$，方程有两个实数根，可代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$计算根；若$\Delta＜0$，方程没有实数根。三个小题均按该步骤逐步计算即可。
【解析】
(1) 方程$2x^2 - 4x - 1 = 0$为标准形式，其中$a=2$，$b=-4$，$c=-1$。
计算判别式：$\Delta=(-4)^2 - 4×2×(-1)=16+8=24＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式得：$x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{24}}{2×2}=\frac{4\pm2\sqrt{6}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{6}}{2}$。
(2) 先将$5x + 2 = 3x^2$移项整理为标准形式：$3x^2 -5x -2=0$，其中$a=3$，$b=-5$，$c=-2$。
计算判别式：$\Delta=(-5)^2 -4×3×(-2)=25+24=49＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式得：$x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{49}}{2×3}=\frac{5\pm7}{6}$，即$x_1=\frac{5+7}{6}=2$，$x_2=\frac{5-7}{6}=-\frac{1}{3}$。
(3) 方程$4x^2 - 3x + 1 = 0$为标准形式，其中$a=4$，$b=-3$，$c=1$。
计算判别式：$\Delta=(-3)^2 -4×4×1=9-16=-7＜0$，因此方程无实数根。
【答案】
(1) $x_1=\frac{2+\sqrt{6}}{2},\ x_2=\frac{2-\sqrt{6}}{2}$
(2) $x_1=2,\ x_2=-\frac{1}{3}$
(3) $\Delta=-7＜0$，方程无实数根
【知识点】
公式法解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、一元二次方程求根公式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练题，核心考查公式法解题的规范步骤，解题时需注意先将方程化为标准形式，确定系数时要留意符号，避免计算判别式和代入求根公式时出现符号错误。
【难度系数】
0.7
5. 若关于$x$的一元二次方程$x^2 - 3x + m = 0$有实数根，则实数$m$的取值范围是
$m≤ \dfrac{9}{4}$
。答案
5. $m≤ \dfrac{9}{4}$
解析
【分析】
遇到一元二次方程有实数根的问题，首先想到用根的判别式判断：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$\Delta≥0$时方程有实数根。我们先确定方程中$a、b、c$的对应值，代入判别式列出关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2 - 3x + m = 0$有实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，
其中$a=1$，$b=-3$，$c=m$，代入得：
$\Delta = (-3)^2 - 4×1× m = 9 - 4m ≥ 0$，
解不等式：$4m ≤ 9$，
即$m ≤ \dfrac{9}{4}$。
【答案】
$m≤ \dfrac{9}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，熟记判别式与方程根的情况的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
遇到一元二次方程有实数根的问题，首先想到用根的判别式判断：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$\Delta≥0$时方程有实数根。我们先确定方程中$a、b、c$的对应值，代入判别式列出关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2 - 3x + m = 0$有实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，
其中$a=1$，$b=-3$，$c=m$，代入得：
$\Delta = (-3)^2 - 4×1× m = 9 - 4m ≥ 0$，
解不等式：$4m ≤ 9$，
即$m ≤ \dfrac{9}{4}$。
【答案】
$m≤ \dfrac{9}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，熟记判别式与方程根的情况的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6. 如果关于x的一元二次方程$k^2x^2-(2k+1)x+1=0$有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是
$k＞-\dfrac{1}{4}$，且$k≠0$
.答案
6. $k＞-\dfrac{1}{4}$，且$k≠0$
解析
【分析】
解决这道题需要抓住两个核心条件：①一元二次方程的定义要求二次项系数不为0，这是容易遗漏的隐含条件；②方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式Δ＞0。解题时先根据一元二次方程的定义确定k的第一个限制条件，再计算判别式列出不等式求解，最后合并两个条件得到k的取值范围。
【解析】
解：
∵ 该方程是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$k^2≠0$，解得$k≠0$
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta＞0$
其中$a=k^2$，$b=-(2k+1)$，$c=1$，代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$得：
$\Delta=[-(2k+1)]^2 - 4× k^2×1$
$=4k^2+4k+1-4k^2$
$=4k+1$
令$4k+1＞0$，解得$k＞-\dfrac{1}{4}$
综上，k的取值范围是$k＞-\dfrac{1}{4}$且$k≠0$
【答案】
$k＞-\dfrac{1}{4}$，且$k≠0$
【知识点】
一元二次方程定义、根的判别式、一元一次不等式求解
【点评】
本题属于一元二次方程参数求解的基础题型，重点考查对一元二次方程定义和根的判别式的应用，易错点是忽略二次项系数不为0的前提条件，解题时要先确认方程类型的限制条件，再结合根的情况列式求解。
【难度系数】
0.7
解决这道题需要抓住两个核心条件：①一元二次方程的定义要求二次项系数不为0，这是容易遗漏的隐含条件；②方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式Δ＞0。解题时先根据一元二次方程的定义确定k的第一个限制条件，再计算判别式列出不等式求解，最后合并两个条件得到k的取值范围。
【解析】
解：
∵ 该方程是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$k^2≠0$，解得$k≠0$
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta＞0$
其中$a=k^2$，$b=-(2k+1)$，$c=1$，代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$得：
$\Delta=[-(2k+1)]^2 - 4× k^2×1$
$=4k^2+4k+1-4k^2$
$=4k+1$
令$4k+1＞0$，解得$k＞-\dfrac{1}{4}$
综上，k的取值范围是$k＞-\dfrac{1}{4}$且$k≠0$
【答案】
$k＞-\dfrac{1}{4}$，且$k≠0$
【知识点】
一元二次方程定义、根的判别式、一元一次不等式求解
【点评】
本题属于一元二次方程参数求解的基础题型，重点考查对一元二次方程定义和根的判别式的应用，易错点是忽略二次项系数不为0的前提条件，解题时要先确认方程类型的限制条件，再结合根的情况列式求解。
【难度系数】
0.7
7. 求证：关于$x$的一元二次方程$x^2+(2k+1)x+k-1=0$有两个不相等的实数根.
答案
证明：$\because a=1$，$b=2k+1$，$c=k-1$，$\therefore\Delta=b^2-4ac=(2k+1)^2-4×1×(k-1)=4k^2+5＞0$。$\therefore$关于$x$的一元二次方程$x^2+(2k+1)x+k-1=0$有两个不相等的实数根。
解析
【分析】
要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，需利用一元二次方程根的判别式的性质：当判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。解题思路如下：首先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值；再将$a、b、c$代入判别式公式计算$\Delta$的表达式；接着化简$\Delta$，结合平方数的非负性判断$\Delta$的正负性；最后根据$\Delta$的符号得出结论。
【解析】
证明：在一元二次方程$x^2+(2k+1)x+k-1=0$中，
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2k+1$，常数项$c=k-1$，
∴判别式$\Delta = b^2-4ac$
$=(2k+1)^2 - 4×1×(k-1)$
$=4k^2 + 4k + 1 - 4k + 4$
$=4k^2 + 5$
∵无论$k$取任意实数，$k^2≥0$，
∴$4k^2≥0$，则$4k^2 + 5≥5＞0$，即$\Delta＞0$，
∴关于$x$的一元二次方程$x^2+(2k+1)x+k-1=0$有两个不相等的实数根。
【答案】
证明：$\because a=1$，$b=2k+1$，$c=k-1$，$\therefore\Delta=b^2-4ac=(2k+1)^2-4×1×(k-1)=4k^2+5＞0$。$\therefore$关于$x$的一元二次方程$x^2+(2k+1)x+k-1=0$有两个不相等的实数根。
【知识点】
一元二次方程根的判别式、完全平方公式、非负数的性质
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题核心是准确计算判别式并判断其符号，属于基础类题型，熟练掌握根的判别式与根的个数的对应关系即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，需利用一元二次方程根的判别式的性质：当判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。解题思路如下：首先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值；再将$a、b、c$代入判别式公式计算$\Delta$的表达式；接着化简$\Delta$，结合平方数的非负性判断$\Delta$的正负性；最后根据$\Delta$的符号得出结论。
【解析】
证明：在一元二次方程$x^2+(2k+1)x+k-1=0$中，
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2k+1$，常数项$c=k-1$，
∴判别式$\Delta = b^2-4ac$
$=(2k+1)^2 - 4×1×(k-1)$
$=4k^2 + 4k + 1 - 4k + 4$
$=4k^2 + 5$
∵无论$k$取任意实数，$k^2≥0$，
∴$4k^2≥0$，则$4k^2 + 5≥5＞0$，即$\Delta＞0$，
∴关于$x$的一元二次方程$x^2+(2k+1)x+k-1=0$有两个不相等的实数根。
【答案】
证明：$\because a=1$，$b=2k+1$，$c=k-1$，$\therefore\Delta=b^2-4ac=(2k+1)^2-4×1×(k-1)=4k^2+5＞0$。$\therefore$关于$x$的一元二次方程$x^2+(2k+1)x+k-1=0$有两个不相等的实数根。
【知识点】
一元二次方程根的判别式、完全平方公式、非负数的性质
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题核心是准确计算判别式并判断其符号，属于基础类题型，熟练掌握根的判别式与根的个数的对应关系即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
