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8. 用公式法解下列方程：
(1) $x^2 - 2x - 1 = 0$；
(2) $2x^2 + 6x + 5 = 0$；
(3) $\sqrt{2}x^2 + 4\sqrt{3}x = 2\sqrt{2}$。
(1) $x^2 - 2x - 1 = 0$；
(2) $2x^2 + 6x + 5 = 0$；
(3) $\sqrt{2}x^2 + 4\sqrt{3}x = 2\sqrt{2}$。
答案
解：(1) $\because a=1$，$b=-2$，$c=-1$，$\therefore\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4×1×(-1)=8＞0$。$\therefore$方程有两个不相等的实数根
$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{8}}{2×1}=1\pm\sqrt{2}$，即$x_1=1+\sqrt{2}$，$x_2=1-\sqrt{2}$。
(2) $\because a=2$，$b=6$，$c=5$，$\therefore\Delta=b^2-4ac=6^2-4×2×5=-4＜0$。$\therefore$方程无实数根。
(3) 整理，得$\sqrt{2}x^2+4\sqrt{3}x-2\sqrt{2}=0$。
$\because a=\sqrt{2}$，$b=4\sqrt{3}$，$c=-2\sqrt{2}$，
$\therefore\Delta=b^2-4ac=(4\sqrt{3})^2-4×\sqrt{2}×(-2\sqrt{2})=64＞0$。
$\therefore$方程有两个不相等的实数根
$x=\dfrac{-4\sqrt{3}\pm\sqrt{64}}{2×\sqrt{2}}=-\sqrt{6}\pm2\sqrt{2}$，即$x_1=-\sqrt{6}+2\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{6}-2\sqrt{2}$。
$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{8}}{2×1}=1\pm\sqrt{2}$，即$x_1=1+\sqrt{2}$，$x_2=1-\sqrt{2}$。
(2) $\because a=2$，$b=6$，$c=5$，$\therefore\Delta=b^2-4ac=6^2-4×2×5=-4＜0$。$\therefore$方程无实数根。
(3) 整理，得$\sqrt{2}x^2+4\sqrt{3}x-2\sqrt{2}=0$。
$\because a=\sqrt{2}$，$b=4\sqrt{3}$，$c=-2\sqrt{2}$，
$\therefore\Delta=b^2-4ac=(4\sqrt{3})^2-4×\sqrt{2}×(-2\sqrt{2})=64＞0$。
$\therefore$方程有两个不相等的实数根
$x=\dfrac{-4\sqrt{3}\pm\sqrt{64}}{2×\sqrt{2}}=-\sqrt{6}\pm2\sqrt{2}$，即$x_1=-\sqrt{6}+2\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{6}-2\sqrt{2}$。
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程需按固定步骤求解：第一步，先把方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确写出$a$、$b$、$c$的取值，需特别注意符号不要出错；第二步，计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断方程根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根；第三步，若方程有实数根，将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算，最后把结果化简为最简形式即可。
【解析】
(1) $\because a=1$，$b=-2$，$c=-1$，$\therefore\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4×1×(-1)=8＞0$。$\therefore$方程有两个不相等的实数根
$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{8}}{2×1}=1\pm\sqrt{2}$，即$x_1=1+\sqrt{2}$，$x_2=1-\sqrt{2}$。
(2) $\because a=2$，$b=6$，$c=5$，$\therefore\Delta=b^2-4ac=6^2-4×2×5=-4＜0$。$\therefore$方程无实数根。
(3) 整理，得$\sqrt{2}x^2+4\sqrt{3}x-2\sqrt{2}=0$。
$\because a=\sqrt{2}$，$b=4\sqrt{3}$，$c=-2\sqrt{2}$，
$\therefore\Delta=b^2-4ac=(4\sqrt{3})^2-4×\sqrt{2}×(-2\sqrt{2})=64＞0$。
$\therefore$方程有两个不相等的实数根
$x=\dfrac{-4\sqrt{3}\pm\sqrt{64}}{2×\sqrt{2}}=-\sqrt{6}\pm2\sqrt{2}$，即$x_1=-\sqrt{6}+2\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{6}-2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $x_1=1+\sqrt{2}$，$x_2=1-\sqrt{2}$；
(2) 方程无实数根；
(3) $x_1=-\sqrt{6}+2\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{6}-2\sqrt{2}$。
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式；二次根式化简
【点评】
本题重点考查公式法解一元二次方程的步骤运用，解题时需注意先将方程化为一般形式再确定$a$、$b$、$c$的取值，计算判别式可提前判断方程根的情况，避免无效计算，最终结果要注意化简为最简二次根式。
【难度系数】
0.7
用公式法解一元二次方程需按固定步骤求解：第一步，先把方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确写出$a$、$b$、$c$的取值，需特别注意符号不要出错；第二步，计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断方程根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根；第三步，若方程有实数根，将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算，最后把结果化简为最简形式即可。
【解析】
(1) $\because a=1$，$b=-2$，$c=-1$，$\therefore\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4×1×(-1)=8＞0$。$\therefore$方程有两个不相等的实数根
$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{8}}{2×1}=1\pm\sqrt{2}$，即$x_1=1+\sqrt{2}$，$x_2=1-\sqrt{2}$。
(2) $\because a=2$，$b=6$，$c=5$，$\therefore\Delta=b^2-4ac=6^2-4×2×5=-4＜0$。$\therefore$方程无实数根。
(3) 整理，得$\sqrt{2}x^2+4\sqrt{3}x-2\sqrt{2}=0$。
$\because a=\sqrt{2}$，$b=4\sqrt{3}$，$c=-2\sqrt{2}$，
$\therefore\Delta=b^2-4ac=(4\sqrt{3})^2-4×\sqrt{2}×(-2\sqrt{2})=64＞0$。
$\therefore$方程有两个不相等的实数根
$x=\dfrac{-4\sqrt{3}\pm\sqrt{64}}{2×\sqrt{2}}=-\sqrt{6}\pm2\sqrt{2}$，即$x_1=-\sqrt{6}+2\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{6}-2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $x_1=1+\sqrt{2}$，$x_2=1-\sqrt{2}$；
(2) 方程无实数根；
(3) $x_1=-\sqrt{6}+2\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{6}-2\sqrt{2}$。
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式；二次根式化简
【点评】
本题重点考查公式法解一元二次方程的步骤运用，解题时需注意先将方程化为一般形式再确定$a$、$b$、$c$的取值，计算判别式可提前判断方程根的情况，避免无效计算，最终结果要注意化简为最简二次根式。
【难度系数】
0.7
9. 若$t$是关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的根，求判别式$\Delta = b^2 -4ac$与完全平方式$M=(2at + b)^2$的关系.
答案
9. 解：
∵t是关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，
∴$at^2+bt+c=0$.
∴$c=-at^2-bt$.
将$c=-at^2-bt$代入$\Delta=b^2-4ac$，得
$\Delta=b^2-4a(-at^2-bt)=b^2+4a^2t^2+4abt=(2at+b)^2$.
∵$M=(2at+b)^2$，
∴$\Delta=M$.
∵t是关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，
∴$at^2+bt+c=0$.
∴$c=-at^2-bt$.
将$c=-at^2-bt$代入$\Delta=b^2-4ac$，得
$\Delta=b^2-4a(-at^2-bt)=b^2+4a^2t^2+4abt=(2at+b)^2$.
∵$M=(2at+b)^2$，
∴$\Delta=M$.
解析
【分析】
要判断判别式$\Delta$和完全平方式$M$的关系，首先利用一元二次方程根的定义：方程的根代入方程可使等式成立，因此将$t$代入方程得到$at^2+bt+c=0$，再将$\Delta$中的$c$用含$a、b、t$的式子替换，化简$\Delta$后与$M$对比即可得出二者关系。
【解析】
∵$t$是关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的根，
∴将$x=t$代入方程得：$at^2 + bt + c = 0$，
移项得：$c = -at^2 - bt$，
将$c = -at^2 - bt$代入$\Delta = b^2 -4ac$中：
$\begin{aligned}\Delta&=b^2 - 4a(-at^2 - bt)\\&=b^2 + 4a^2t^2 + 4abt\\&=(2at + b)^2\end{aligned}$
又
∵$M=(2at + b)^2$，
∴$\Delta = M$。
【答案】
$\Delta = M$
【知识点】
一元二次方程根的定义、完全平方公式、整式化简
【点评】
本题侧重考察代数式变形能力，解题核心是灵活运用一元二次方程根的定义完成代换，通过化简建立两个代数式的联系，是代数等量关系推导的典型题型。
【难度系数】
0.75
要判断判别式$\Delta$和完全平方式$M$的关系，首先利用一元二次方程根的定义：方程的根代入方程可使等式成立，因此将$t$代入方程得到$at^2+bt+c=0$，再将$\Delta$中的$c$用含$a、b、t$的式子替换，化简$\Delta$后与$M$对比即可得出二者关系。
【解析】
∵$t$是关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的根，
∴将$x=t$代入方程得：$at^2 + bt + c = 0$，
移项得：$c = -at^2 - bt$，
将$c = -at^2 - bt$代入$\Delta = b^2 -4ac$中：
$\begin{aligned}\Delta&=b^2 - 4a(-at^2 - bt)\\&=b^2 + 4a^2t^2 + 4abt\\&=(2at + b)^2\end{aligned}$
又
∵$M=(2at + b)^2$，
∴$\Delta = M$。
【答案】
$\Delta = M$
【知识点】
一元二次方程根的定义、完全平方公式、整式化简
【点评】
本题侧重考察代数式变形能力，解题核心是灵活运用一元二次方程根的定义完成代换，通过化简建立两个代数式的联系，是代数等量关系推导的典型题型。
【难度系数】
0.75
