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7. 用配方法解下列方程：
(1) $(2x - 3)^2 - 16 = 0$；
(2) $x^2 - 2\sqrt{2}x - 3 = 0$；
(3) $-2x^2 + x + 1 = 0$。
(1) $(2x - 3)^2 - 16 = 0$；
(2) $x^2 - 2\sqrt{2}x - 3 = 0$；
(3) $-2x^2 + x + 1 = 0$。
答案
(1) $x_1=\frac{7}{2}, x_2=-\frac{1}{2}$.
(2) $x_1=\sqrt{2}+\sqrt{5}, x_2=\sqrt{2}-\sqrt{5}$.
(3) $x_1=1, x_2=-\frac{1}{2}$.
(2) $x_1=\sqrt{2}+\sqrt{5}, x_2=\sqrt{2}-\sqrt{5}$.
(3) $x_1=1, x_2=-\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程的核心思路是将方程变形为完全平方式等于常数的形式，再通过开平方求解。解题步骤通常为：①若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；②将常数项移到方程右侧；③方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式；④两边开平方转化为一元一次方程求解。
第(1)题方程左侧本身是完全平方形式，可直接移项后开平方；第(2)题二次项系数已经是1，直接移项配方即可；第(3)题二次项系数为负数，先将二次项系数化为1，再按步骤配方求解。
【解析】
(1) 移项，得：$(2x - 3)^2 = 16$
两边开平方，得：$2x - 3 = \pm 4$
当$2x - 3 = 4$时，$2x = 7$，解得$x = \frac{7}{2}$
当$2x - 3 = -4$时，$2x = -1$，解得$x = -\frac{1}{2}$
(2) 移项，得：$x^2 - 2\sqrt{2}x = 3$
配方，两边同时加$(\frac{-2\sqrt{2}}{2})^2=2$，得：
$x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = 3 + 2$
即 $(x - \sqrt{2})^2 = 5$
两边开平方，得：$x - \sqrt{2} = \pm \sqrt{5}$
∴ $x = \sqrt{2} \pm \sqrt{5}$
(3) 二次项系数化为1，两边同时除以$-2$，得：
$x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = 0$
移项，得：$x^2 - \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}$
配方，两边同时加$(\frac{-\frac{1}{2}}{2})^2 = \frac{1}{16}$，得：
$x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} = \frac{1}{2} + \frac{1}{16}$
即 $(x - \frac{1}{4})^2 = \frac{9}{16}$
两边开平方，得：$x - \frac{1}{4} = \pm \frac{3}{4}$
当$x - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$时，$x = 1$
当$x - \frac{1}{4} = -\frac{3}{4}$时，$x = -\frac{1}{2}$
【答案】
(1) $x_1=\frac{7}{2}, x_2=-\frac{1}{2}$
(2) $x_1=\sqrt{2}+\sqrt{5}, x_2=\sqrt{2}-\sqrt{5}$
(3) $x_1=1, x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、开平方运算
【点评】
本题主要考查配方法解一元二次方程的步骤应用，解题时需注意二次项系数不为1时要先化为1，配方时两边要同时加一次项系数一半的平方，开平方时不要遗漏负根，熟练掌握完全平方公式是解题的基础。
【难度系数】
0.7
用配方法解一元二次方程的核心思路是将方程变形为完全平方式等于常数的形式，再通过开平方求解。解题步骤通常为：①若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；②将常数项移到方程右侧；③方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式；④两边开平方转化为一元一次方程求解。
第(1)题方程左侧本身是完全平方形式，可直接移项后开平方；第(2)题二次项系数已经是1，直接移项配方即可；第(3)题二次项系数为负数，先将二次项系数化为1，再按步骤配方求解。
【解析】
(1) 移项，得：$(2x - 3)^2 = 16$
两边开平方，得：$2x - 3 = \pm 4$
当$2x - 3 = 4$时，$2x = 7$，解得$x = \frac{7}{2}$
当$2x - 3 = -4$时，$2x = -1$，解得$x = -\frac{1}{2}$
(2) 移项，得：$x^2 - 2\sqrt{2}x = 3$
配方，两边同时加$(\frac{-2\sqrt{2}}{2})^2=2$，得：
$x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = 3 + 2$
即 $(x - \sqrt{2})^2 = 5$
两边开平方，得：$x - \sqrt{2} = \pm \sqrt{5}$
∴ $x = \sqrt{2} \pm \sqrt{5}$
(3) 二次项系数化为1，两边同时除以$-2$，得：
$x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = 0$
移项，得：$x^2 - \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}$
配方，两边同时加$(\frac{-\frac{1}{2}}{2})^2 = \frac{1}{16}$，得：
$x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} = \frac{1}{2} + \frac{1}{16}$
即 $(x - \frac{1}{4})^2 = \frac{9}{16}$
两边开平方，得：$x - \frac{1}{4} = \pm \frac{3}{4}$
当$x - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$时，$x = 1$
当$x - \frac{1}{4} = -\frac{3}{4}$时，$x = -\frac{1}{2}$
【答案】
(1) $x_1=\frac{7}{2}, x_2=-\frac{1}{2}$
(2) $x_1=\sqrt{2}+\sqrt{5}, x_2=\sqrt{2}-\sqrt{5}$
(3) $x_1=1, x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、开平方运算
【点评】
本题主要考查配方法解一元二次方程的步骤应用，解题时需注意二次项系数不为1时要先化为1，配方时两边要同时加一次项系数一半的平方，开平方时不要遗漏负根，熟练掌握完全平方公式是解题的基础。
【难度系数】
0.7
8. 已知a，b，c是$△ ABC$的三条边长，且a，b，c是正整数.
（1）若a，b，c满足$(x+a)(x+b)=x^2+7x+12$，且$a^2+b^2=c^2$，求c的长；
（2）若$△ ABC$为等腰三角形，且满足$a^2+b^2-4a-10b+29=0$，求$△ ABC$的周长.
（1）若a，b，c满足$(x+a)(x+b)=x^2+7x+12$，且$a^2+b^2=c^2$，求c的长；
（2）若$△ ABC$为等腰三角形，且满足$a^2+b^2-4a-10b+29=0$，求$△ ABC$的周长.
答案
(1) c=5.
(2) 12.
(2) 12.
解析
【分析】
（1）解决第一问首先利用多项式乘多项式法则展开等式左侧，再根据多项式相等时对应项系数相等，得到a与b的和、积的值，结合a、b是正整数求出a、b的具体取值，最后代入勾股定理表达式即可求出c的长度。
（2）解决第二问首先对给定的等式进行配方，转化为两个完全平方式相加为0的形式，根据非负数的性质求出a、b的值；再结合等腰三角形的性质分情况讨论腰长，用三角形三边关系验证能否构成三角形，最终计算符合条件的周长。
【解析】
（1）展开等式左侧得：$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$，
结合$(x+a)(x+b)=x^2+7x+12$，由对应项系数相等可得：
$\begin{cases}a+b=7 \\ ab=12\end{cases}$，
因为a、b是正整数，解得$\begin{cases}a=3 \\ b=4\end{cases}$或$\begin{cases}a=4 \\ b=3\end{cases}$，
代入$a^2+b^2=c^2$得：$c^2=3^2+4^2=25$，
又因为c是三角形边长为正整数，故$c=5$。
（2）对等式$a^2+b^2-4a-10b+29=0$配方：
将29拆分为4和25，整理得：$a^2-4a+4 + b^2-10b+25=0$，
即$(a-2)^2+(b-5)^2=0$，
由平方的非负性可知$(a-2)^2≥0$，$(b-5)^2≥0$，要使和为0则两项均为0，
因此$\begin{cases}a-2=0 \\ b-5=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=2 \\ b=5\end{cases}$，
因为△ABC为等腰三角形，三边长可能为2、2、5或2、5、5，
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，
若三边长为2、2、5，$2+2=4＜5$，无法构成三角形，舍去；
若三边长为2、5、5，$2+5＞5$，可构成三角形，此时周长为$2+5+5=12$。
【答案】
(1) $c=5$；(2) $△ ABC$的周长为12。
【知识点】
多项式乘多项式法则，配方法的应用，三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合题，既考查了整式运算、配方求参数的基础代数能力，也考查了等腰三角形性质、三边关系的几何应用，解题时要注意多解情况需结合实际条件验证取舍，避免漏判出错。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问首先利用多项式乘多项式法则展开等式左侧，再根据多项式相等时对应项系数相等，得到a与b的和、积的值，结合a、b是正整数求出a、b的具体取值，最后代入勾股定理表达式即可求出c的长度。
（2）解决第二问首先对给定的等式进行配方，转化为两个完全平方式相加为0的形式，根据非负数的性质求出a、b的值；再结合等腰三角形的性质分情况讨论腰长，用三角形三边关系验证能否构成三角形，最终计算符合条件的周长。
【解析】
（1）展开等式左侧得：$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$，
结合$(x+a)(x+b)=x^2+7x+12$，由对应项系数相等可得：
$\begin{cases}a+b=7 \\ ab=12\end{cases}$，
因为a、b是正整数，解得$\begin{cases}a=3 \\ b=4\end{cases}$或$\begin{cases}a=4 \\ b=3\end{cases}$，
代入$a^2+b^2=c^2$得：$c^2=3^2+4^2=25$，
又因为c是三角形边长为正整数，故$c=5$。
（2）对等式$a^2+b^2-4a-10b+29=0$配方：
将29拆分为4和25，整理得：$a^2-4a+4 + b^2-10b+25=0$，
即$(a-2)^2+(b-5)^2=0$，
由平方的非负性可知$(a-2)^2≥0$，$(b-5)^2≥0$，要使和为0则两项均为0，
因此$\begin{cases}a-2=0 \\ b-5=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=2 \\ b=5\end{cases}$，
因为△ABC为等腰三角形，三边长可能为2、2、5或2、5、5，
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，
若三边长为2、2、5，$2+2=4＜5$，无法构成三角形，舍去；
若三边长为2、5、5，$2+5＞5$，可构成三角形，此时周长为$2+5+5=12$。
【答案】
(1) $c=5$；(2) $△ ABC$的周长为12。
【知识点】
多项式乘多项式法则，配方法的应用，三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合题，既考查了整式运算、配方求参数的基础代数能力，也考查了等腰三角形性质、三边关系的几何应用，解题时要注意多解情况需结合实际条件验证取舍，避免漏判出错。
【难度系数】
0.7
9. 已知关于$x$的方程$a(x+2m)^2+2025=0$（$a$，$m$为常数，$a≠0$）的根是$x_1=4$，$x_2=-2$.
（1）关于$x$的方程$a(x+2m+1)^2+2025=0$的根为________；
（2）关于$x$的方程$a(x-2m+1)^2+2025=0$的根为________.
（1）关于$x$的方程$a(x+2m+1)^2+2025=0$的根为________；
（2）关于$x$的方程$a(x-2m+1)^2+2025=0$的根为________.
答案
9.（1） $x_1=3, x_2=-3$
9.（2） $x_1=-5, x_2=1$
9.（2） $x_1=-5, x_2=1$
解析
【分析】
我们可以利用整体换元思想和一元二次方程的性质解题：①观察发现原方程和待求方程结构完全一致，都是$a(含x的整式)^2+2025=0$，因此两个方程中括号内整式的取值范围相同；②原方程的根为4和-2，说明当$x+2m$取固定的两个互为相反数的值时等式成立；③我们可以通过换元将待求方程的括号部分转化为原方程的括号结构，直接利用已知根计算，也可以先通过原方程两根的中点求出对称轴$x=-2m$的值，再代入待求方程求解，两种方法都能避免复杂计算。
【解析】
原方程$a(x+2m)^2+2025=0$的两根为$x_1=4$、$x_2=-2$，对于顶点式一元二次方程$a(x-h)^2+k=0$，两根的中点就是对称轴$x=h$，因此原方程的对称轴为：
$x=-2m=\frac{4+(-2)}{2}=1$，即$-2m=1$，$2m=-1$；
代入原方程可得$(x+2m)^2=-\frac{2025}{a}$，将$x=4$代入得$(4-1)^2=9=-\frac{2025}{a}$。
（1）求解方程$a(x+2m+1)^2+2025=0$：
变形得$(x+2m+1)^2=9$，代入$2m=-1$得$x=\pm3$，即$x_1=3$，$x_2=-3$。
换元法验证：令$t=x+1$，方程变为$a(t+2m)^2+2025=0$，则$t$的解为4和-2，即$x+1=4$或$x+1=-2$，解得$x=3$或$x=-3$，结果一致。
（2）求解方程$a(x-2m+1)^2+2025=0$：
变形得$(x-2m+1)^2=9$，代入$-2m=1$得$x+2=\pm3$，解得$x=1$或$x=-5$，即$x_1=-5$，$x_2=1$。
【答案】
（1）$x_1=3, x_2=-3$；（2）$x_1=-5, x_2=1$
【知识点】
一元二次方程的解，配方法解方程，整体换元思想
【点评】
本题侧重考查对一元二次方程顶点式结构的理解，抓住方程结构的共性，用换元法或对称轴性质可以快速得到答案，避免了求解参数$a$、$m$的复杂运算。
【难度系数】
0.65
我们可以利用整体换元思想和一元二次方程的性质解题：①观察发现原方程和待求方程结构完全一致，都是$a(含x的整式)^2+2025=0$，因此两个方程中括号内整式的取值范围相同；②原方程的根为4和-2，说明当$x+2m$取固定的两个互为相反数的值时等式成立；③我们可以通过换元将待求方程的括号部分转化为原方程的括号结构，直接利用已知根计算，也可以先通过原方程两根的中点求出对称轴$x=-2m$的值，再代入待求方程求解，两种方法都能避免复杂计算。
【解析】
原方程$a(x+2m)^2+2025=0$的两根为$x_1=4$、$x_2=-2$，对于顶点式一元二次方程$a(x-h)^2+k=0$，两根的中点就是对称轴$x=h$，因此原方程的对称轴为：
$x=-2m=\frac{4+(-2)}{2}=1$，即$-2m=1$，$2m=-1$；
代入原方程可得$(x+2m)^2=-\frac{2025}{a}$，将$x=4$代入得$(4-1)^2=9=-\frac{2025}{a}$。
（1）求解方程$a(x+2m+1)^2+2025=0$：
变形得$(x+2m+1)^2=9$，代入$2m=-1$得$x=\pm3$，即$x_1=3$，$x_2=-3$。
换元法验证：令$t=x+1$，方程变为$a(t+2m)^2+2025=0$，则$t$的解为4和-2，即$x+1=4$或$x+1=-2$，解得$x=3$或$x=-3$，结果一致。
（2）求解方程$a(x-2m+1)^2+2025=0$：
变形得$(x-2m+1)^2=9$，代入$-2m=1$得$x+2=\pm3$，解得$x=1$或$x=-5$，即$x_1=-5$，$x_2=1$。
【答案】
（1）$x_1=3, x_2=-3$；（2）$x_1=-5, x_2=1$
【知识点】
一元二次方程的解，配方法解方程，整体换元思想
【点评】
本题侧重考查对一元二次方程顶点式结构的理解，抓住方程结构的共性，用换元法或对称轴性质可以快速得到答案，避免了求解参数$a$、$m$的复杂运算。
【难度系数】
0.65
