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章知识导图
几何图形初步
直线、射线、线段
直线的性质
(1)经过两点有且只有一条直线,即两点确定一条直线
(2)两条直线相交只有一个交点
线段的性质 两点之间的所有连线中,①最短
两点之间的距离 两点之间线段的长度,叫作这两点之间的距离
线段的中点
定义:
,点C在线段AB上,且使线段AC,BC相等,这样的点C叫作线段AB的中点
几何表示:$AC=CB=\frac{1}{2}AB$ 或 $AB=2AC=2CB$
线段的和与差 ,有$AB=AC+BC$,$BC=AB-②\_\_\_\_\_\_$,$AC=AB-BC$
角及角平分线
角的度量单位 度、分、秒,为60进位制.把一个周角平均分成360份,每份即为$1°$的角.
$1°=60'$,$1'=60''$
角的分类
角的分类 锐角 直角 钝角 平角 周角
度数范围 $0°＜α＜90°$ $α=90°$ $90°＜α＜180°$ $α=180°$ $α=360°$
余角、补角及其性质
余角:如果两个角的和等于③,那么就称这两个角互为余角,简称互余
补角:如果两个角的和等于$180°$,那么就称这两个角互为补角,简称互补
互余、互补的性质:同角(或等角)的余角相等;同角(或等角)的补角相等
角平分线
定义:在角的内部,以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角,这条射线叫作这个角的平分线
几何表示:,$∠ AOC=∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB$ 或 $∠ AOB=2∠ AOC=2∠ BOC$
几何图形初步
直线、射线、线段
直线的性质
(1)经过两点有且只有一条直线,即两点确定一条直线
(2)两条直线相交只有一个交点
线段的性质 两点之间的所有连线中,①最短
两点之间的距离 两点之间线段的长度,叫作这两点之间的距离
线段的中点
定义:
,点C在线段AB上,且使线段AC,BC相等,这样的点C叫作线段AB的中点几何表示:$AC=CB=\frac{1}{2}AB$ 或 $AB=2AC=2CB$
线段的和与差 ,有$AB=AC+BC$,$BC=AB-②\_\_\_\_\_\_$,$AC=AB-BC$
角及角平分线
角的度量单位 度、分、秒,为60进位制.把一个周角平均分成360份,每份即为$1°$的角.
$1°=60'$,$1'=60''$
角的分类
角的分类 锐角 直角 钝角 平角 周角
度数范围 $0°＜α＜90°$ $α=90°$ $90°＜α＜180°$ $α=180°$ $α=360°$
余角、补角及其性质
余角:如果两个角的和等于③,那么就称这两个角互为余角,简称互余
补角:如果两个角的和等于$180°$,那么就称这两个角互为补角,简称互补
互余、互补的性质:同角(或等角)的余角相等;同角(或等角)的补角相等
角平分线
定义:在角的内部,以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角,这条射线叫作这个角的平分线
几何表示:,$∠ AOC=∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB$ 或 $∠ AOB=2∠ AOC=2∠ BOC$
答案
①线段 ②AC ③90°
解析
【分析】
本题考查几何图形初步的基础概念识记，解题时直接对应每个空的知识点回忆即可：①对应线段的性质知识点，回忆线段性质的内容；②对应线段的和差运算，结合给出的AB=AC+BC的关系推导；③对应余角的定义，回忆互余的概念即可得出答案。
【解析】
①根据线段的性质：两点之间的所有连线中，线段最短，因此①处填线段；
②根据线段的和差关系，已知$AB=AC+BC$，对等式变形可得$BC=AB-AC$，因此②处填AC；
③根据余角的定义：如果两个角的和等于$90{}^{\circ }$，那么这两个角互为余角，因此③处填$90{}^{\circ }$。
【答案】
①线段 ②AC ③$90{}^{\circ }$
【知识点】
线段的性质；线段的和差；余角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，主要围绕直线、线段、角相关的基础性质、定义设置题目，只要熟练识记相关的概念、性质，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
本题考查几何图形初步的基础概念识记，解题时直接对应每个空的知识点回忆即可：①对应线段的性质知识点，回忆线段性质的内容；②对应线段的和差运算，结合给出的AB=AC+BC的关系推导；③对应余角的定义，回忆互余的概念即可得出答案。
【解析】
①根据线段的性质：两点之间的所有连线中，线段最短，因此①处填线段；
②根据线段的和差关系，已知$AB=AC+BC$，对等式变形可得$BC=AB-AC$，因此②处填AC；
③根据余角的定义：如果两个角的和等于$90{}^{\circ }$，那么这两个角互为余角，因此③处填$90{}^{\circ }$。
【答案】
①线段 ②AC ③$90{}^{\circ }$
【知识点】
线段的性质；线段的和差；余角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，主要围绕直线、线段、角相关的基础性质、定义设置题目，只要熟练识记相关的概念、性质，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
1.如图,建筑工人砌墙时,经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩,然后拉一条直的参照线.这种做法用几何知识解释应是 （
A.两点之间的所有连线中,线段最短
B.两点之间,直线最短
C.两点确定一条直线
D.三个点不能在同一直线上
C
）A.两点之间的所有连线中,线段最短
B.两点之间,直线最短
C.两点确定一条直线
D.三个点不能在同一直线上
答案
1.C
解析
【分析】
遇到这类生活实践对应几何原理的题目，首先提取题干操作中的几何要素：两个墙脚的木桩对应两个点，拉的直参照线对应直线。接下来先排除本身表述错误的选项，再匹配剩余选项的适用场景：首先“直线最短”本身表述错误，直线无长度，直接排除B；“三个点不能在同一直线上”表述也错误，三个点可以共线，排除D。再看剩余选项，“两点之间线段最短”适用于求最短路径类问题，和本题要固定一条直参照线的需求不符；“两点确定一条直线”的含义是给定两个点，有且只有一条直线经过这两点，刚好能解释两个木桩就能拉出唯一一条直参照线的原理，对应选项C。
【解析】
首先判断选项正误及适用场景：
1. 选项B：直线没有长度，不存在“直线最短”的说法，表述错误，排除；
2. 选项D：三个点可以在同一条直线上，表述错误，排除；
3. 选项A：“两点之间，线段最短”用于解决最短路径类问题，本题是要确定一条直的参照线，不符合该原理的应用场景，排除；
4. 选项C：两个木桩相当于两个点，根据“两点确定一条直线”的基本事实，过这两个点有且只有一条直线，因此拉的参照线是直的，可作为砌墙的标准，符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
两点确定一条直线
【点评】
本题是几何基本事实在生活中的实际应用题，解题核心是区分“两点确定一条直线”和“两点之间线段最短”的不同适用场景，结合生活实际理解数学原理即可快速解题。
【难度系数】
0.9
遇到这类生活实践对应几何原理的题目，首先提取题干操作中的几何要素：两个墙脚的木桩对应两个点，拉的直参照线对应直线。接下来先排除本身表述错误的选项，再匹配剩余选项的适用场景：首先“直线最短”本身表述错误，直线无长度，直接排除B；“三个点不能在同一直线上”表述也错误，三个点可以共线，排除D。再看剩余选项，“两点之间线段最短”适用于求最短路径类问题，和本题要固定一条直参照线的需求不符；“两点确定一条直线”的含义是给定两个点，有且只有一条直线经过这两点，刚好能解释两个木桩就能拉出唯一一条直参照线的原理，对应选项C。
【解析】
首先判断选项正误及适用场景：
1. 选项B：直线没有长度，不存在“直线最短”的说法，表述错误，排除；
2. 选项D：三个点可以在同一条直线上，表述错误，排除；
3. 选项A：“两点之间，线段最短”用于解决最短路径类问题，本题是要确定一条直的参照线，不符合该原理的应用场景，排除；
4. 选项C：两个木桩相当于两个点，根据“两点确定一条直线”的基本事实，过这两个点有且只有一条直线，因此拉的参照线是直的，可作为砌墙的标准，符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
两点确定一条直线
【点评】
本题是几何基本事实在生活中的实际应用题，解题核心是区分“两点确定一条直线”和“两点之间线段最短”的不同适用场景，结合生活实际理解数学原理即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 图中的线段、射线或直线，其中能够相交的是
（
A.①②③
B.②③⑤
C.②④⑤
D.①④⑤
（
C
）A.①②③
B.②③⑤
C.②④⑤
D.①④⑤
答案
2.C
解析
【分析】
解题需先明确三类线的延伸特性：线段有两个端点，不可延伸；射线有一个端点，仅能向无端点的一侧无限延伸；直线无端点，可向两端无限延伸。判断是否相交的方法是将可延伸的线按其延伸方向延长，观察是否存在交点，再逐个分析5个图形即可得到答案。
【解析】
根据直线、射线、线段的延伸特性逐一判断：
1. 图①：线段AB无法延伸，射线OC仅能向C方向延伸，二者延长后无交点，不能相交；
2. 图②：直线AB和直线CD均可向两端无限延伸，延长后存在交点，可以相交；
3. 图③：射线OA仅能向A方向延伸，线段BC无法延伸，二者延长后无交点，不能相交；
4. 图④：直线AB可向两端无限延伸，射线OC仅能向C方向延伸，延长后存在交点，可以相交；
5. 图⑤：线段AB无法延伸，射线OC仅能向C方向延伸，OC向C延伸后与AB相交，可以相交。
综上，能够相交的是②④⑤，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
线段的特征；射线的特征；直线的特征
【点评】
本题核心是考查对不同线的延伸性质的掌握，解题时需特别注意射线仅能沿无端点的一侧延伸，避免因搞错射线延伸方向导致判断错误。
【难度系数】
0.7
解题需先明确三类线的延伸特性：线段有两个端点，不可延伸；射线有一个端点，仅能向无端点的一侧无限延伸；直线无端点，可向两端无限延伸。判断是否相交的方法是将可延伸的线按其延伸方向延长，观察是否存在交点，再逐个分析5个图形即可得到答案。
【解析】
根据直线、射线、线段的延伸特性逐一判断：
1. 图①：线段AB无法延伸，射线OC仅能向C方向延伸，二者延长后无交点，不能相交；
2. 图②：直线AB和直线CD均可向两端无限延伸，延长后存在交点，可以相交；
3. 图③：射线OA仅能向A方向延伸，线段BC无法延伸，二者延长后无交点，不能相交；
4. 图④：直线AB可向两端无限延伸，射线OC仅能向C方向延伸，延长后存在交点，可以相交；
5. 图⑤：线段AB无法延伸，射线OC仅能向C方向延伸，OC向C延伸后与AB相交，可以相交。
综上，能够相交的是②④⑤，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
线段的特征；射线的特征；直线的特征
【点评】
本题核心是考查对不同线的延伸性质的掌握，解题时需特别注意射线仅能沿无端点的一侧延伸，避免因搞错射线延伸方向导致判断错误。
【难度系数】
0.7
3.小光准备从A地去B地,打开导航显示两地的距离为39.6 km,但导航提供的三条可选路线长分别为52 km,53 km,56 km.能解释这一现象的数学知识是
两点之间的所有连线中,线段最短
.答案
3.两点之间的所有连线中,线段最短
解析
【分析】
首先梳理题目已知条件：A、B两地的距离39.6km是指两点之间线段的长度，导航提供的是实际可通行的路线，长度均大于39.6km。接下来我们可以将A、B两地抽象为平面内的两个点，实际路线是连接这两个点的非线段类连线，回忆线段的基本性质，即可匹配到对应的数学原理。
【解析】
我们可以把A、B两地看作平面内的两个点，两地的距离39.6km的本质是A、B两点之间线段的长度。导航给出的三条路线是实际生活中可供通行的道路，都不是直接连接A、B两点的线段，属于连接两点的其他类型的连线。根据“两点之间的所有连线中，线段最短”的性质，这些非线段的连线长度一定大于两点之间线段的长度，因此三条可选路线的长度都大于39.6km。
【答案】
两点之间的所有连线中,线段最短
【知识点】
1. 两点之间线段最短
2. 两点间的距离
【点评】
本题结合导航的生活场景考查几何基础性质，将抽象的数学知识和实际生活结合，有助于培养学生用数学思维解释生活现象的意识。
【难度系数】
0.9
首先梳理题目已知条件：A、B两地的距离39.6km是指两点之间线段的长度，导航提供的是实际可通行的路线，长度均大于39.6km。接下来我们可以将A、B两地抽象为平面内的两个点，实际路线是连接这两个点的非线段类连线，回忆线段的基本性质，即可匹配到对应的数学原理。
【解析】
我们可以把A、B两地看作平面内的两个点，两地的距离39.6km的本质是A、B两点之间线段的长度。导航给出的三条路线是实际生活中可供通行的道路，都不是直接连接A、B两点的线段，属于连接两点的其他类型的连线。根据“两点之间的所有连线中，线段最短”的性质，这些非线段的连线长度一定大于两点之间线段的长度，因此三条可选路线的长度都大于39.6km。
【答案】
两点之间的所有连线中,线段最短
【知识点】
1. 两点之间线段最短
2. 两点间的距离
【点评】
本题结合导航的生活场景考查几何基础性质，将抽象的数学知识和实际生活结合，有助于培养学生用数学思维解释生活现象的意识。
【难度系数】
0.9
