7. 如图,已知O为直线AB上一点,过点O作射线OC,∠BOC=100°.
(1)∠AOC的度数为.
(2)过点O作∠AOC的平分线OM.
①作射线OD,使∠COD=90°,求∠MOD的度数;
②作射线OP,使∠BOP与∠AOM的度数和为90°,求∠COP的度数.

7.(1)$80°$
(2)根据题意,得$∠ COM=∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOC=40°$.
①当OD在直线AB上方时,$∠ MOD=130°$;
当OD在直线AB下方时,$∠ MOD=50°$.
综上所述,$∠ MOD$的度数为$130°$或$50°$.
②根据题意,得$∠ BOP=90°-∠ AOM=50°$.
当OP在$∠ BOC$内部时,$∠ COP=50°$;
当OP在$∠ BOC$外部时,$∠ COP=150°$.
综上所述,$∠ COP$的度数为$50°$或$150°$.

【分析】
（1）已知O在直线AB上，根据平角为180°的性质，用180°减去已知的∠BOC的度数即可求出∠AOC的度数。
（2）首先根据角平分线的定义求出∠AOM和∠COM的度数：①已知∠COD=90°，由于OD的位置没有明确说明，需分OD在直线AB上方、下方两种情况，结合角的和差关系计算∠MOD即可；②先根据∠BOP与∠AOM的度数和为90°求出∠BOP的度数，再分OP在∠BOC内部、外部两种情况，结合角的和差关系计算∠COP的度数，注意分类讨论避免漏解。
【解析】
（1）
∵O为直线AB上一点，
∴$∠ AOB=180°$，
∴$∠ AOC=180°-∠ BOC=180°-100°=80°$。
（2）
∵OM平分$∠ AOC$，
∴$∠ COM=∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×80°=40°$。
①分两种情况讨论：
当OD在直线AB上方时，$∠ MOD=∠ COM+∠ COD=40°+90°=130°$；
当OD在直线AB下方时，$∠ MOD=∠ COD-∠ COM=90°-40°=50°$；
综上所述，$∠ MOD$的度数为$130°$或$50°$。
②根据题意得：$∠ BOP=90°-∠ AOM=90°-40°=50°$，
分两种情况讨论：
当OP在$∠ BOC$内部时，$∠ COP=∠ BOC-∠ BOP=100°-50°=50°$；
当OP在$∠ BOC$外部时，$∠ COP=∠ BOC+∠ BOP=100°+50°=150°$；
综上所述，$∠ COP$的度数为$50°$或$150°$。
【答案】
(1) $80°$
(2) ①$∠ MOD$的度数为$130°$或$50°$；②$∠ COP$的度数为$50°$或$150°$
【知识点】
平角的定义；角平分线的定义；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查角度的和差运算，解题核心是明确当射线位置不明确时需分情况讨论，避免因漏考虑位置情况导致丢解，同时要熟练掌握角平分线的性质和角度的基本运算规则。
【难度系数】
0.6

8. 如图，已知点O在直线MN上，OA平分∠PON，OB平分∠POM，则∠AOB的度数为（）


A.$90°$
B.$60°$
C.$45°$
D.无法确定

8.A

【分析】
解题时首先观察图形特征，点O在直线MN上，可先得到平角∠MON=180°，即∠POM与∠PON的和为180°；再结合角平分线的性质，将∠AOB拆分为∠BOP和∠POA的和，通过整体代换即可求出∠AOB的度数。
【解析】
∵点O在直线MN上，
∴∠MON=180°，即$∠ POM + ∠ PON = 180°$。
∵OB平分$∠ POM$，根据角平分线的定义，
∴$∠ BOP = \frac{1}{2}∠ POM$。
∵OA平分$∠ PON$，根据角平分线的定义，
∴$∠ POA = \frac{1}{2}∠ PON$。
∴$∠ AOB = ∠ BOP + ∠ POA = \frac{1}{2}(∠ POM + ∠ PON) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$。
【答案】
A
【知识点】
平角的定义；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题是角计算的基础题型，核心是利用角平分线的性质将所求角转化为已知平角的一半，通过整体代换的思想简化计算，熟练掌握角的相关基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8

9. 如图，已知∠AOB内部有三条射线OE，OC，OF，且OE平分∠BOC，OF平分∠AOC.
(1)若∠AOC=30°，∠BOC=60°，则∠EOF=.
(2)①猜想∠EOF和∠AOB之间的数量关系，并说明理由.
②若将题中的“平分”条件改为“∠EOB = $\frac{1}{3}$∠BOC，∠COF = $\frac{2}{3}$∠AOC，且∠AOB = α”，求∠EOF的度数.(用含α的式子表示)
(3)如图，射线OC在∠AOB的外部，∠AOB = 80°，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC.
①∠EOF=.
②上面(2)①中的结论是否仍然成立？请说明理由.

9.(1)$45°$
(2)①$∠ EOF=\frac{1}{2}∠ AOB$,理由略.
②$∠ EOF=\frac{2}{3}α$
(3)①$40°$ ②仍然成立,理由略.

【分析】
本题围绕角的计算展开，核心利用角平分线定义（或给定的角的比例关系）和角的和差关系求解。
(1) 先根据角平分线定义分别求出∠EOC和∠COF的度数，再将两角相加即可得到∠EOF的度数；
(2) ① 结合角平分线定义，将∠EOF拆分为∠EOC+∠COF，提取公因式后即可得到∠EOF与∠AOB的数量关系；② 根据给定的角的比例关系，先表示出∠EOC和∠COF，再将两角相加，整体代入∠AOB=α即可求解；
(3) ① 当OC在∠AOB外部时，将∠EOF转化为∠COF-∠EOC，结合角平分线定义代入∠AOB=80°计算即可；② 仿照①的推导过程，即可判断(2)①的结论是否成立。
【解析】
(1)
∵OE平分∠BOC，∠BOC=60°，
∴$∠ EOC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×60°=30°$；
∵OF平分∠AOC，∠AOC=30°，
∴$∠ COF=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×30°=15°$；
∴$∠ EOF=∠ EOC+∠ COF=30°+15°=45°$。
(2) ① 猜想：$∠ EOF=\frac{1}{2}∠ AOB$，理由如下：
∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，
∴$∠ EOC=\frac{1}{2}∠ BOC$，$∠ COF=\frac{1}{2}∠ AOC$，
∴$∠ EOF=∠ EOC+∠ COF=\frac{1}{2}∠ BOC+\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(∠ BOC+∠ AOC)$，
又
∵$∠ BOC+∠ AOC=∠ AOB$，
∴$∠ EOF=\frac{1}{2}∠ AOB$。
②
∵$∠ EOB=\frac{1}{3}∠ BOC$，
∴$∠ EOC=∠ BOC-∠ EOB=∠ BOC-\frac{1}{3}∠ BOC=\frac{2}{3}∠ BOC$，
又
∵$∠ COF=\frac{2}{3}∠ AOC$，
∴$∠ EOF=∠ EOC+∠ COF=\frac{2}{3}∠ BOC+\frac{2}{3}∠ AOC=\frac{2}{3}(∠ BOC+∠ AOC)$，
∵$∠ BOC+∠ AOC=∠ AOB=α$，
∴$∠ EOF=\frac{2}{3}α$。
(3) ①
∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，
∴$∠ EOC=\frac{1}{2}∠ BOC$，$∠ COF=\frac{1}{2}∠ AOC$，
∵$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC$，
∴$∠ EOF=∠ COF-∠ EOC=\frac{1}{2}∠ AOC-\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}(∠ AOC-∠ BOC)=\frac{1}{2}∠ AOB$，
∵$∠ AOB=80°$，
∴$∠ EOF=\frac{1}{2}×80°=40°$。
② 仍然成立，理由如下：
由①的推导可得：$∠ EOF=\frac{1}{2}(∠ AOC-∠ BOC)=\frac{1}{2}∠ AOB$，故(2)①的结论仍然成立。
【答案】
(1)$45°$
(2)①$∠ EOF=\frac{1}{2}∠ AOB$；②$\frac{2}{3}α$
(3)①$40°$；②仍然成立
【知识点】
角平分线的定义，角的和差运算，整体思想
【点评】
本题从特殊角度到一般关系展开探究，既考查了角平分线的性质与角的和差计算，又渗透了整体代入、分类讨论的数学思想，解题时需注意根据射线OC的位置准确判断角之间的和差关系。
【难度系数】
0.7