1.如果一个角的度数比它补角的2倍多$30°$,那么这个角的度数是 （）

A.$50°$
B.$70°$
C.$130°$
D.$160°$

1.C

【分析】
解题时首先要明确补角的定义：如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角。我们可以先设这个角的度数为未知数，再结合题目给出的“该角的度数比它补角的2倍多30°”的等量关系列一元一次方程，最后求解方程即可得到答案。
【解析】
设这个角的度数为$ x° $，则它的补角为$ (180 - x)° $。
根据题意列方程：
$ x = 2(180 - x) + 30 $
展开右侧得：$ x = 360 - 2x + 30 $
移项合并同类项得：$ 3x = 390 $
解得：$ x = 130 $
因此这个角的度数是130°。
【答案】
C
【知识点】
补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于角的计算基础题，将几何中角的数量关系和代数中一元一次方程的应用相结合，解题核心是熟练掌握补角的性质，找准题目中的等量关系列方程。
【难度系数】
0.8

2.如图,已知长方形纸片ABCD,将∠CBD沿BD折叠得到∠C'BD,C'B和AD相交于点E,将∠ABE沿BE折叠得到∠A'BE.若∠A'BD=15°,则∠ABE的度数为.

2.$20°$

【分析】
本题属于折叠类角度计算问题，解题核心是利用折叠前后对应角相等的性质，结合长方形内角为90°的特点，通过设未知数列方程求解。首先根据两次折叠的性质得到两组相等的角，再结合已知的∠A'BD=15°，用未知数表示出所有构成∠ABC的角，最后根据∠ABC=90°列方程计算即可。
【解析】
解：设∠ABE的度数为$x$。
1. 根据折叠的性质可得：
折叠∠ABE得到∠A'BE，故$∠ A'BE=∠ ABE=x$；
折叠∠CBD得到∠C'BD，故$∠ CBD=∠ C'BD$。
2. 由于点$E$在$BC'$上，因此$∠ C'BD=∠ EBD$，即$∠ CBD=∠ EBD$。
3. 结合$∠ A'BD=15°$，可得$∠ EBD=∠ A'BE+∠ A'BD=x+15°$，因此$∠ CBD=x+15°$。
4. 因为四边形$ABCD$是长方形，所以$∠ ABC=90°$，即：
$ ∠ ABE+∠ EBD+∠ CBD=90° $
代入各角的表达式得：
$ x+(x+15°)+(x+15°)=90° $
整理得$3x+30°=90°$，解得$x=20°$。
【答案】
$20°$
【知识点】
1. 折叠的性质
2. 长方形的性质
3. 角的和差计算
【点评】
本题是角度计算的典型题型，解题关键是准确把握折叠前后角的等量关系，清晰梳理图形中各角的位置和和差关系，结合方程思想求解，对学生的图形观察能力和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65

3. 如图,将直角三角板 OMN 的直角顶点 O 放在直线 AB 上,射线 OC 平分∠AON.

(1)若∠BON=60°,则∠COM=°；
(2)若∠AOM=2∠COM,求∠AON 的度数.

3.(1)30 (2)$∠ AON=135°$

【分析】
(1) 首先利用平角的定义，结合已知的∠BON度数求出∠AON的度数，再根据角平分线的定义求出∠CON的度数，最后利用直角三角板的直角∠MON=90°，通过角的差计算即可得到∠COM的度数。
(2) 采用设未知数列方程的方法求解：先设∠COM的度数为x，根据∠AOM=2∠COM表示出∠AOM，进而得到∠AOC的表达式；再根据角平分线的性质得到∠CON=∠AOC，结合∠MON=90°建立关于x的方程，解出x后即可求出∠AON的度数。
【解析】
(1)
∵点O在直线AB上，
∴∠AOB=180°，即∠AON + ∠BON = 180°
∵∠BON=60°，
∴∠AON=180°-60°=120°
∵OC平分∠AON，
∴$∠ CON=\frac{1}{2}∠ AON=\frac{1}{2}×120°=60°$
∵直角三角板OMN的直角为∠MON，
∴∠MON=90°
∴∠COM=∠MON - ∠CON=90°-60°=30°
(2) 设∠COM=x，
∵∠AOM=2∠COM，
∴∠AOM=2x
∴∠AOC=∠AOM + ∠COM=2x + x=3x
∵OC平分∠AON，
∴∠CON=∠AOC=3x
∵∠MON=90°，
∴∠COM + ∠CON=90°，即$x + 3x=90°$
解得$x=22.5°$
∴$∠ AON=2∠ AOC=2×3x=6x=6×22.5°=135°$
【答案】
(1) $\boxed{30}$；(2) $\boxed{∠ AON=135°}$
【知识点】
角平分线定义，平角的性质，角的和差计算
【点评】
本题考查角的相关计算，需要熟练掌握角平分线、直角、平角的性质，解题时可结合方程思想简化运算，核心是理清图中各角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7

4.已知O为直线AB上一点,过点O在直线AB上方作三条射线OC,OD,OE.
(1)如图1,若OC平分∠AOD,且∠BOE=3∠DOE,∠COE=70°,求∠BOE的度数.
(2)如图2,若∠BOD:∠COD=3:2,过点O作射线OF平分∠COD,且OE平分∠BOC,∠DOE=12°,求∠EOF的度数.

4.(1)$∠ BOE=60°$ (2)$∠ EOF=36°$

【分析】
(1) 先设∠DOE为x，结合∠BOE=3∠DOE表示出∠BOE和∠BOD，再利用平角为180°表示出∠AOD，根据角平分线性质得到∠COD的表达式，最后结合∠COE=70°列方程求解即可得到∠BOE的度数。
(2) 依据∠BOD:∠COD=3:2设参数，分别表示出∠COD和∠BOD，进而得到∠BOC的度数，再结合角平分线的性质分别表示出∠COF和∠COE，利用∠DOE=12°求出参数值，最后通过角的和差计算∠EOF的度数。
【解析】
(1) 设∠DOE=x，则∠BOE=3x，
∴∠BOD=∠BOE+∠DOE=4x，
∵O在直线AB上，
∴∠AOB=180°，
∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-4x，
∵OC平分∠AOD，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOD=$\frac{1}{2}$(180°-4x)=90°-2x，
又
∵∠COE=∠COD+∠DOE=70°，
∴90°-2x +x=70°，
解得x=20°，
∴∠BOE=3x=3×20°=60°。
(2) 设∠COD=2x，
∵∠BOD:∠COD=3:2，
∴∠BOD=3x，
∴∠BOC=∠COD+∠BOD=2x+3x=5x，
∵OF平分∠COD，
∴∠COF=$\frac{1}{2}$∠COD=x，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC=2.5x，
∴∠DOE=∠COE-∠COD=2.5x-2x=0.5x，
已知∠DOE=12°，
∴0.5x=12°，解得x=24°，
∴∠EOF=∠COE-∠COF=2.5x -x=1.5x=1.5×24°=36°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠BOE=60°}$；(2) $\boldsymbol{∠EOF=36°}$
【知识点】
角平分线的定义，平角的性质，角的和差计算
【点评】
本题考查角的相关计算，合理设未知数、利用方程思想求解是解题的核心，需要熟练掌握角平分线的性质和角之间的和差关系，理清各角的数量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.7

5.若$∠ AOC=90°$，$∠ AOB:∠ AOC=2:3$，则$∠ BOC$的度数为。

5.$30°$或$150°$

【分析】
解题时先根据已知的角度比例关系求出∠AOB的度数，由于题目未明确OB的位置，需分两种情况讨论：①OB在∠AOC内部；②OB在∠AOC外部，再结合角的和差关系分别计算∠BOC的度数即可，避免漏解。
【解析】
已知$∠ AOC=90°$，$∠ AOB:∠ AOC=2:3$，
则$∠ AOB=\frac{2}{3}×∠ AOC=\frac{2}{3}×90°=60°$。
分两种情况讨论：
1. 当OB在$∠ AOC$内部时：
$∠ BOC=∠ AOC-∠ AOB=90°-60°=30°$；
2. 当OB在$∠ AOC$外部时：
$∠ BOC=∠ AOC+∠ AOB=90°+60°=150°$。
综上，$∠ BOC$的度数为$30°$或$150°$。
【答案】
$30°$或$150°$
【知识点】
角的和差运算、分类讨论思想、比例计算
【点评】
本题的易错点是忽略OB位置的不确定性，仅考虑单种情况导致漏解，解题时遇到没有给出明确图形的角度计算问题，要全面分析所有可能的位置关系，结合分类讨论思想求解。
【难度系数】
0.6

6. 已知$∠ AOB = 75°$，$∠ AOC = \frac{2}{3}∠ AOB$，OD平分$∠ AOC$，求$∠ BOD$的度数.

6.$∠ BOD=100°$或$50°$

【分析】
首先根据已知条件先计算出∠AOC的度数，由于题目未明确OC的位置，需分两种情况讨论：①OC在∠AOB的外部；②OC在∠AOB的内部。再结合角平分线的定义求出∠AOD的度数，最后根据两种位置下角的和差关系分别计算∠BOD的度数即可。
【解析】
解：已知$∠ AOB=75°$，$∠ AOC=\frac{2}{3}∠ AOB$，
$\therefore ∠ AOC=\frac{2}{3}×75°=50°$，
$\because OD$平分$∠ AOC$，
$\therefore ∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×50°=25°$，
分两种情况讨论：
①当OC在$∠ AOB$的外部时：
$∠ BOD=∠ AOB+∠ AOD=75°+25°=100°$；
②当OC在$∠ AOB$的内部时：
$∠ BOD=∠ AOB-∠ AOD=75°-25°=50°$。
【答案】
$∠ BOD=100°$或$50°$
【知识点】
角的和差运算；角平分线的定义；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略OC位置的不确定性，只计算一种情况导致漏解，解题时遇到未明确角的位置的几何题，要主动考虑多种可能，运用分类讨论思想完整求解。
【难度系数】
0.6