4.如图，点C在线段AB上，AC=2，且AC=$\frac{1}{5}$AB，D是BC的中点，则CD=。

4.4

【分析】
解题时先从已知条件入手，首先根据AC的长度以及AC和AB的比例关系，先求出线段AB的总长度；再利用线段的和差关系计算出BC的长度；最后结合D是BC中点的性质，中点可将对应线段分为长度相等的两段，就能求出CD的长度。
【解析】
解：已知$AC=2$，且$AC=\frac{1}{5}AB$，
因此$AB=5AC=5×2=10$。
因为点C在线段AB上，所以$BC=AB-AC=10-2=8$。
又因为D是BC的中点，根据线段中点的定义可得：
$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
4
【知识点】
线段比例计算，线段和差运算，线段中点定义
【点评】
本题是线段长度计算的基础题型，解题核心是理清各线段之间的数量关系，结合给出的已知条件逐步推导即可得出结果，难度较低。
【难度系数】
0.8

5.[整体思想]如图，AB=12 cm，点C在线段AB上，点D，E分别在线段AC，BC上。

(1)若C是AB的中点，CE=$\frac{1}{3}$CB，则CE的长为；
(2)若C是AB上的任意一点，且CD=$\frac{1}{3}$AC，CE=$\frac{1}{3}$CB，则DE的长为。

5.(1)2 cm (2)4 cm

【分析】
对于（1），先根据线段中点的定义求出CB的长度，再结合CE与CB的数量关系，代入数值就能算出CE的长。对于（2），观察可知DE是CD与CE的和，把CD、CE分别用AC、CB表示后提取公因式，利用AC+CB=AB的整体关系代入AB的长度计算，不用单独求AC、CB的长度，能简化运算。
【解析】
（1）已知AB=12 cm，C是AB的中点，根据线段中点的定义可得：
$CB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{cm}$
又因为$CE=\frac{1}{3}CB$，代入CB的长度计算：
$CE=\frac{1}{3}×6=2\ \mathrm{cm}$
（2）由图可得$DE=CD+CE$，已知$CD=\frac{1}{3}AC$，$CE=\frac{1}{3}CB$，代入得：
$DE=\frac{1}{3}AC+\frac{1}{3}CB=\frac{1}{3}(AC+CB)$
因为点C在线段AB上，所以$AC+CB=AB=12\ \mathrm{cm}$，代入得：
$DE=\frac{1}{3}×12=4\ \mathrm{cm}$
【答案】
(1)2 cm (2)4 cm
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，整体思想
【点评】
本题考查线段长度的计算，第（2）问运用整体思想可以避免单独求解各小段长度的繁琐，是线段计算中常用的技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8

6.[方程思想]如图，A，B，C，D四点在同一条直线上.若线段AD被点B，C分成了$3:4:5$三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是20 cm，求AD的长.

6.$AD=30\ \mathrm{cm}$

【分析】
本题是线段长度计算问题，解题思路如下：首先题目给出线段AD被B、C分成3:4:5的三部分，遇到比例类的线段计算，通常设每一份的长度为未知数x，将AB、BC、CD的长度用含x的代数式表示；再根据线段中点的性质，分别求出MB和CN的长度；接着观察图形可知MN由MB、BC、CN三段组成，结合已知MN的长度为20cm，即可列出关于x的一元一次方程，解出x的值后，再根据AD的总长度等于三段之和即可求出结果。
【解析】
解：设AB的长为$3x\ \mathrm{cm}$，则BC的长为$4x\ \mathrm{cm}$，CD的长为$5x\ \mathrm{cm}$，
因此AD的总长为：$AD=AB+BC+CD=3x+4x+5x=12x\ \mathrm{cm}$。
∵M是AB的中点，
∴$MB=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}x\ \mathrm{cm}$，
∵N是CD的中点，
∴$CN=\frac{1}{2}CD=\frac{5}{2}x\ \mathrm{cm}$，
由图可知$MN=MB+BC+CN$，且$MN=20\ \mathrm{cm}$，代入得：
$\frac{3}{2}x + 4x + \frac{5}{2}x = 20$
合并同类项得：$8x=20$
解得：$x=2.5$
因此$AD=12x=12×2.5=30\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$AD=30\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段中点定义；线段和差计算；一元一次方程应用
【点评】
本题是线段计算的常见题型，解题的关键是利用比例设未知数，结合中点性质找到线段间的等量关系列方程求解，方程思想是解决此类问题的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7

7. 下列各式中，正确的是 （）

A.$35.5°=35°50'$
B.$15°12'36''=15.48°$
C.$28°18'18''=28.33°$
D.$65.25°=65°15'$

7.D

【分析】
本题考查度分秒的单位换算，解题核心是牢记度、分、秒的进率为60，即$1°=60'$，$1'=60''$。换算规则为：大单位转化为小单位乘60，小单位转化为大单位除以60。我们只需按照规则逐一验证每个选项的换算是否正确即可。
【解析】
首先明确换算规则：$1°=60'$，$1'=60''$。
选项A：$35.5°$的小数部分$0.5°$换算为分：$0.5×60'=30'$，因此$35.5°=35°30'≠35°50'$，A错误。
选项B：先把$36''$换算为分：$36÷60=0.6'$，则$12'36''=12.6'$；再把$12.6'$换算为度：$12.6÷60=0.21°$，因此$15°12'36''=15.21°≠15.48°$，B错误。
选项C：先把$18''$换算为分：$18÷60=0.3'$，则$18'18''=18.3'$；再把$18.3'$换算为度：$18.3÷60=0.305°$，因此$28°18'18''=28.305°≠28.33°$，C错误。
选项D：$65.25°$的小数部分$0.25°$换算为分：$0.25×60'=15'$，因此$65.25°=65°15'$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
度分秒的换算
【点评】
本题是角度单位换算的基础题型，解题的关键是熟练掌握度、分、秒之间的60进制，换算时注意区分单位转换方向，避免把进率当成100出现计算错误。
【难度系数】
0.8

8.如图，某测绘装置上的一枚指针原来指向南偏西$50°$方向，现把这枚指针按逆时针方向旋转$90°$，则指针的指向是（）

A.南偏东$50°$方向
B.北偏西$40°$方向
C.南偏东$40°$方向
D.东南方向

8.C

【分析】
解题时首先要明确“上北下南、左西右东”的方向坐标规则，相邻正方向（如南与西、南与东）的夹角为90°。第一步先确定原指针的位置：南偏西50°即指针在正南方向西侧，与正南夹角为50°；第二步分析逆时针旋转90°的过程：先转50°即可到达正南方向，剩余旋转角度为90°-50°=40°，继续逆时针旋转就会转到正南方向东侧，最终即可确定指针指向。
【解析】
根据方向坐标“上北下南，左西右东”的规则：
1. 原指针指向南偏西50°，说明指针与正南方向的夹角为50°，位于正南的西侧；
2. 指针逆时针旋转90°时，先旋转50°就到达正南方向，剩余需要旋转的角度为$90° - 50° = 40°$；
3. 继续逆时针旋转40°，指针就位于正南方向东侧，与正南方向夹角为40°，即南偏东40°方向。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
方向角识别，角度计算
【点评】
本题考查方向角的相关应用，解题核心是明确方向坐标的规则和旋转方向，准确计算旋转后指针与正南、正北等正方向的夹角即可得出结果，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8

9.如图,将一副三角尺按不同的位置摆放,下列不能得出∠α=∠β的图形是 ()

9.D

【分析】
解决本题需要结合三角尺的角度特征，利用余角、补角的性质逐一分析各选项中∠α和∠β的关系：首先明确一副三角尺的内角度数为90°、60°、30°和90°、45°、45°；再分别判断每个选项中两个角的和差关系，结合同角的余角相等、同角的补角相等的性质，判断是否能推出两角相等。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：三个角（左侧三角尺的直角、∠α、∠β）共同构成平角180°，因此$∠α + ∠β = 180° - 90° = 90°$，结合右侧等腰直角三角尺的锐角为45°，可得$∠β=45°$，进而推出$∠α=90°-45°=45°$，故$∠α=∠β$，不符合题意。
选项B：$∠α$和$∠β$分别与两个直角重叠的公共锐角相加都等于90°，根据“同角的余角相等”，可得$∠α=∠β$，不符合题意。
选项C：$∠α$和$∠β$分别与两个三角尺重叠的公共角相加都等于180°，根据“同角的补角相等”，可得$∠α=∠β$，不符合题意。
选项D：结合三角尺的角度特征可推出$∠α = ∠β + 45°$，因此无法得到$∠α=∠β$，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
余角的性质；补角的性质；三角尺角度特征
【点评】
本题考查角的大小比较，解题的关键是熟悉三角尺的角度，能结合图形准确分析角之间的和差关系，灵活运用余角、补角的性质判断角的相等关系。
【难度系数】
0.7

10.[新课标—探究题]如图,直角三角板的直角边OM在直线AB上,ON在直线AB的下方,过点O作射线OC,使得∠BOC=100°.
(1)将直角三角板绕点O逆时针旋转一定的角度,当边OM在∠BOC的内部,边ON在直线AB的下方时:
①若∠BON=10°,则∠COM=;
②探究∠COM与∠BON之间的数量关系,并说明理由.
(2)若将直角三角板绕点O以每秒10°的速度逆时针旋转一周,在旋转的过程中,第t s时,直线ON恰好平分锐角∠AOC,则t的值为.(直接写出结果)

备用图

10.(1)①$20°$ ②$∠COM-∠BON=10°$,理由略.
(2)5或23

【分析】
解题时先明确已知条件：直角三角板$∠ MON=90°$，$∠ BOC=100°$，平角$∠ AOB=180°$。
(1)①先根据$∠ MON=90°$和已知$∠ BON$的度数求出$∠ BOM$的度数，再用$∠ BOC$减去$∠ BOM$即可得到$∠ COM$的度数；
②用含$∠ BON$的式子表示$∠ BOM$，再代入$∠ COM=∠ BOC-∠ BOM$化简即可得到两者的数量关系；
(2)先求出$∠ AOC$的度数为$80°$，直线$ON$平分锐角$∠ AOC$时分两种情况：第一种是$ON$在$AB$下方时平分$∠ AOC$，第二种是三角板旋转超过半周后$ON$在$AB$上方时直线$ON$平分$∠ AOC$，分别计算两种情况的旋转角度，再除以旋转速度即可得到$t$的值。
【解析】
(1)①已知$∠ MON=90°$，$∠ BON=10°$，
$\therefore ∠ BOM=∠ MON-∠ BON=90°-10°=80°$，
又$\because ∠ BOC=100°$，
$\therefore ∠ COM=∠ BOC-∠ BOM=100°-80°=20°$。
②$∠ COM-∠ BON=10°$，理由如下：
$\because ∠ MON=90°$，
$\therefore ∠ BOM=90°-∠ BON$，
$\because ∠ BOC=100°$，
$\therefore ∠ COM=∠ BOC-∠ BOM=100°-(90°-∠ BON)=10°+∠ BON$，
移项得$∠ COM-∠ BON=10°$。
(2)$\because ∠ AOB=180°$，$∠ BOC=100°$，
$\therefore ∠ AOC=180°-100°=80°$，
直线$ON$平分锐角$∠ AOC$时，分两种情况：
情况1：$ON$在$AB$下方，此时$∠ AON=\frac{1}{2}∠ AOC=40°$，
初始时$∠ AON=90°$，三角板逆时针旋转的角度为$90°-40°=50°$，
旋转速度为每秒$10°$，则$t=50÷10=5$；
情况2：$ON$在$AB$上方，此时直线$ON$平分$∠ AOC$，旋转总角度为$180°+50°=230°$，
则$t=230÷10=23$；
综上$t$的值为$5$或$23$。
【答案】
(1)①$20°$；②$∠ COM-∠ BON=10°$；(2)$5$或$23$
【知识点】
角的计算；角平分线的定义；旋转的性质
【点评】
本题考查了角的和差计算、角平分线的定义以及旋转中的动态问题，解题的关键是分情况讨论旋转过程中$ON$的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6

11.如图，已知$∠ 1$与线段$a$，用尺规按下列步骤作图.（保留作图痕迹，不写作法）
①作$∠ A=∠ 1$；
②在$∠ A$的两边分别作$AB=a$，$AC=2a$；
③连接$BC$.

解：
如图所示，△ABC即为所求作的符合所有要求的三角形，作图过程中保留作等角、截取线段对应的尺规痕迹即可。

【分析】
本题属于基础尺规作图题，可按照题目给出的三步逐步操作：首先回忆尺规作一个角等于已知角的方法，先作出与∠1相等的∠A；再利用圆规可量取固定长度的特点，量出线段a的长度后，分别在∠A的两条边上截取对应长度的线段，其中AC需要连续截取两次长度为a的线段，得到2a的长度；最后连接两个端点得到三角形即可，作图时注意保留所有作图痕迹。
【解析】
1. 按照尺规作一个角等于已知角的操作规范，作出∠A=∠1，保留作角过程中的所有弧线痕迹；
2. 调整圆规两脚张开的长度等于线段a的长度，在∠A的其中一条边上截取AB=a，再在∠A的另一条边上，从顶点A出发先截一段长度为a的线段，再以该线段的外端点为起点，沿相同方向再截一段长度为a的线段，得到AC=2a，保留截取线段的弧线痕迹；
3. 用直尺连接B、C两点，最终得到所求图形。
【答案】
如图所示，△ABC即为所求作的符合所有要求的三角形，作图过程中保留作等角、截取线段对应的尺规痕迹即可。
【知识点】
作一个角等于已知角；尺规作等长线段
【点评】
本题考查尺规基本作图的综合应用，核心是对作等角、截取等长线段这两个基本作图操作的掌握，作图时要注意规范保留所有辅助作图的痕迹，不要随意擦除。
【难度系数】
0.9