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11.【寻找隐含的相同体积】如图所示，某玻璃杯的质量为65 g，装满水后的总质量是184 g。向杯中放入一个37.3 g的玉石小饰品，溢出部分水后，玻璃杯中的水仍是装满的状态，总质量是208 g。求：
(1)装入小饰品后，溢出水的质量；
(2)这种玉石的密度。
(1)装入小饰品后，溢出水的质量；
(2)这种玉石的密度。
答案
(1)溢出水的质量
$m_{\mathrm{溢}}=m_{\mathrm{总}}+m_{\mathrm{玉石}}-m_{\mathrm{总}}'=184\ \mathrm{g}+37.3\ \mathrm{g}-208\ \mathrm{g}=13.3\ \mathrm{g}$。
(2)溢出水的体积$V_{\mathrm{溢}}=\dfrac{m_{\mathrm{溢}}}{\rho_{\mathrm{水}}}=\dfrac{13.3\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3}=13.3\ \mathrm{cm}^3$，
玉石块的体积$V_{\mathrm{玉石}}=V_{\mathrm{溢}}=13.3\ \mathrm{cm}^3$，
玉石块的密度$\rho_{\mathrm{玉石}}=\dfrac{m_{\mathrm{玉石}}}{V_{\mathrm{玉石}}}=\dfrac{37.3\ \mathrm{g}}{13.3\ \mathrm{cm}^3}\approx2.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
$m_{\mathrm{溢}}=m_{\mathrm{总}}+m_{\mathrm{玉石}}-m_{\mathrm{总}}'=184\ \mathrm{g}+37.3\ \mathrm{g}-208\ \mathrm{g}=13.3\ \mathrm{g}$。
(2)溢出水的体积$V_{\mathrm{溢}}=\dfrac{m_{\mathrm{溢}}}{\rho_{\mathrm{水}}}=\dfrac{13.3\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3}=13.3\ \mathrm{cm}^3$，
玉石块的体积$V_{\mathrm{玉石}}=V_{\mathrm{溢}}=13.3\ \mathrm{cm}^3$，
玉石块的密度$\rho_{\mathrm{玉石}}=\dfrac{m_{\mathrm{玉石}}}{V_{\mathrm{玉石}}}=\dfrac{37.3\ \mathrm{g}}{13.3\ \mathrm{cm}^3}\approx2.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
解析
【分析】
本题是利用排水法测量固体密度的问题，解题思路为：首先根据总质量的变化计算溢出水的质量，再利用水的密度求出溢出水的体积，该体积等于玉石的体积，最后根据密度公式计算玉石的密度。核心是明确“玉石体积等于溢出水的体积”这一隐含关系，以及溢出水质量的计算方法。
【解析】
(1) 溢出水的质量：原来装满水的玻璃杯总质量为184g，加入质量为37.3g的玉石后，总质量变为208g，因此溢出水的质量为原来总质量与玉石质量之和减去后来的总质量，即：
$m_{\mathrm{溢}} = m_{\mathrm{总}} + m_{\mathrm{玉石}} - m_{\mathrm{总}}' = 184\ \mathrm{g} + 37.3\ \mathrm{g} - 208\ \mathrm{g} = 13.3\ \mathrm{g}$。
(2) 溢出水的体积：根据密度公式$\rho = \frac{m}{V}$，水的密度$\rho_{\mathrm{水}} = 1\ \mathrm{g/cm}^3$，因此溢出水的体积为：
$V_{\mathrm{溢}} = \frac{m_{\mathrm{溢}}}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{13.3\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3} = 13.3\ \mathrm{cm}^3$。
由于玉石浸没在水中，玉石的体积等于溢出水的体积，即$V_{\mathrm{玉石}} = V_{\mathrm{溢}} = 13.3\ \mathrm{cm}^3$。
再根据密度公式，玉石的密度为：
$\rho_{\mathrm{玉石}} = \frac{m_{\mathrm{玉石}}}{V_{\mathrm{玉石}}} = \frac{37.3\ \mathrm{g}}{13.3\ \mathrm{cm}^3} \approx 2.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
【答案】
(1) 溢出水的质量为13.3g；(2) 玉石的密度约为2.8g/cm³。
【知识点】
密度计算；排水法测体积；质量计算
【点评】
本题考查密度公式的应用，利用排水法间接测量固体体积是解题关键，需要学生理解体积相等的隐含关系，掌握密度公式的变形应用，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题是利用排水法测量固体密度的问题，解题思路为：首先根据总质量的变化计算溢出水的质量，再利用水的密度求出溢出水的体积，该体积等于玉石的体积，最后根据密度公式计算玉石的密度。核心是明确“玉石体积等于溢出水的体积”这一隐含关系，以及溢出水质量的计算方法。
【解析】
(1) 溢出水的质量：原来装满水的玻璃杯总质量为184g，加入质量为37.3g的玉石后，总质量变为208g，因此溢出水的质量为原来总质量与玉石质量之和减去后来的总质量，即：
$m_{\mathrm{溢}} = m_{\mathrm{总}} + m_{\mathrm{玉石}} - m_{\mathrm{总}}' = 184\ \mathrm{g} + 37.3\ \mathrm{g} - 208\ \mathrm{g} = 13.3\ \mathrm{g}$。
(2) 溢出水的体积：根据密度公式$\rho = \frac{m}{V}$，水的密度$\rho_{\mathrm{水}} = 1\ \mathrm{g/cm}^3$，因此溢出水的体积为：
$V_{\mathrm{溢}} = \frac{m_{\mathrm{溢}}}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{13.3\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3} = 13.3\ \mathrm{cm}^3$。
由于玉石浸没在水中，玉石的体积等于溢出水的体积，即$V_{\mathrm{玉石}} = V_{\mathrm{溢}} = 13.3\ \mathrm{cm}^3$。
再根据密度公式，玉石的密度为：
$\rho_{\mathrm{玉石}} = \frac{m_{\mathrm{玉石}}}{V_{\mathrm{玉石}}} = \frac{37.3\ \mathrm{g}}{13.3\ \mathrm{cm}^3} \approx 2.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
【答案】
(1) 溢出水的质量为13.3g；(2) 玉石的密度约为2.8g/cm³。
【知识点】
密度计算；排水法测体积；质量计算
【点评】
本题考查密度公式的应用，利用排水法间接测量固体体积是解题关键，需要学生理解体积相等的隐含关系，掌握密度公式的变形应用，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
12. [2026 济南模拟] 一套由同种材料制成的瓷娃娃玩具，由5个相同图案的娃娃组成，已知最小的一个是实心的，其他的则不明确。测得最小的瓷娃娃$m_1=15\ \mathrm{g},V_1=6\ \mathrm{cm}^3$；最大的瓷娃娃$m_2=120\ \mathrm{g},V_2=75\ \mathrm{cm}^3$。
(1)求制作瓷娃娃的材料的密度。
(2)通过计算说明最大的瓷娃娃是空心还是实心的。若是空心的，则空心体积是多大？
(3)若在最大瓷娃娃的空心部分注满水，该瓷娃娃的总质量是多少？
(1)求制作瓷娃娃的材料的密度。
(2)通过计算说明最大的瓷娃娃是空心还是实心的。若是空心的，则空心体积是多大？
(3)若在最大瓷娃娃的空心部分注满水，该瓷娃娃的总质量是多少？
答案
(1)由题意可知，最小的瓷娃娃是实心的，故材料的密度
$\rho =\dfrac{m_1}{V_1}=\dfrac{15\ \mathrm{g}}{6\ \mathrm{cm}^3}=2.5\ \mathrm{g/cm}^3$。
(2)质量是120 g的实心瓷娃娃体积
$V_{\mathrm{实}}=\dfrac{m_2}{\rho}=\dfrac{120\ \mathrm{g}}{2.5\ \mathrm{g/cm}^3}=48\ \mathrm{cm}^3$，
因为$V_2=75\ \mathrm{cm}^3＞48\ \mathrm{cm}^3$，故最大的瓷娃娃是空心的，空心部分的体积$V_{\mathrm{空}}=V_2-V_{\mathrm{实}}=75\ \mathrm{cm}^3-48\ \mathrm{cm}^3=27\ \mathrm{cm}^3$。
(3)若在最大瓷娃娃的空心部分注满水，则注入水的体积
$V_{\mathrm{水}}=V_{\mathrm{空}}=27\ \mathrm{cm}^3$，
注入水的质量$m_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}V_{\mathrm{水}}=1\ \mathrm{g/cm}^3×27\ \mathrm{cm}^3=27\ \mathrm{g}$，
该瓷娃娃的总质量$m_{\mathrm{总}}=m_2+m_{\mathrm{水}}=120\ \mathrm{g}+27\ \mathrm{g}=147\ \mathrm{g}$。
$\rho =\dfrac{m_1}{V_1}=\dfrac{15\ \mathrm{g}}{6\ \mathrm{cm}^3}=2.5\ \mathrm{g/cm}^3$。
(2)质量是120 g的实心瓷娃娃体积
$V_{\mathrm{实}}=\dfrac{m_2}{\rho}=\dfrac{120\ \mathrm{g}}{2.5\ \mathrm{g/cm}^3}=48\ \mathrm{cm}^3$，
因为$V_2=75\ \mathrm{cm}^3＞48\ \mathrm{cm}^3$，故最大的瓷娃娃是空心的，空心部分的体积$V_{\mathrm{空}}=V_2-V_{\mathrm{实}}=75\ \mathrm{cm}^3-48\ \mathrm{cm}^3=27\ \mathrm{cm}^3$。
(3)若在最大瓷娃娃的空心部分注满水，则注入水的体积
$V_{\mathrm{水}}=V_{\mathrm{空}}=27\ \mathrm{cm}^3$，
注入水的质量$m_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}V_{\mathrm{水}}=1\ \mathrm{g/cm}^3×27\ \mathrm{cm}^3=27\ \mathrm{g}$，
该瓷娃娃的总质量$m_{\mathrm{总}}=m_2+m_{\mathrm{水}}=120\ \mathrm{g}+27\ \mathrm{g}=147\ \mathrm{g}$。
解析
【分析】
首先，利用实心的最小瓷娃娃，根据密度公式ρ=m/V求出制作瓷娃娃材料的密度；接着，假设最大瓷娃娃为实心，用密度公式的变形V=m/ρ计算其实心体积，将该体积与最大瓷娃娃的实际体积对比，若实际体积更大则为空心，两者差值即为空心体积；最后，空心部分注满水时，水的体积等于空心体积，利用m=ρV求出水的质量，加上最大瓷娃娃的质量得到总质量。
【解析】
(1) 已知最小的瓷娃娃是实心的，根据密度公式ρ = m/V，可得材料的密度：
ρ = m₁/V₁ = 15 g / 6 cm³ = 2.5 g/cm³。
(2) 假设最大的瓷娃娃是实心的，根据密度公式变形V = m/ρ，可得120 g瓷材料的实心体积：
V实 = m₂/ρ = 120 g / 2.5 g/cm³ = 48 cm³。
因为最大瓷娃娃的实际体积V₂=75 cm³ ＞ V实=48 cm³，所以最大的瓷娃娃是空心的；
空心部分的体积：V空 = V₂ - V实 = 75 cm³ - 48 cm³ = 27 cm³。
(3) 在最大瓷娃娃的空心部分注满水，水的体积等于空心体积，即V水 = V空 = 27 cm³；
根据密度公式，注入水的质量：m水 = ρ水V水 = 1 g/cm³ × 27 cm³ = 27 g；
该瓷娃娃的总质量：m总 = m₂ + m水 = 120 g + 27 g = 147 g。
【答案】
(1) 2.5 g/cm³；
(2) 最大的瓷娃娃是空心的，空心体积为27 cm³；
(3) 总质量为147 g。
【知识点】
密度的计算、空心物体的判断、密度公式的应用
【点评】
本题是密度知识在实际生活中的典型应用，考查了密度公式的灵活运用，解题关键是利用实心样品求出材料密度，进而判断空心并计算空心体积，属于密度章节的基础应用题，难度适中，适合巩固密度相关知识点。
【难度系数】
0.6
首先，利用实心的最小瓷娃娃，根据密度公式ρ=m/V求出制作瓷娃娃材料的密度；接着，假设最大瓷娃娃为实心，用密度公式的变形V=m/ρ计算其实心体积，将该体积与最大瓷娃娃的实际体积对比，若实际体积更大则为空心，两者差值即为空心体积；最后，空心部分注满水时，水的体积等于空心体积，利用m=ρV求出水的质量，加上最大瓷娃娃的质量得到总质量。
【解析】
(1) 已知最小的瓷娃娃是实心的，根据密度公式ρ = m/V，可得材料的密度：
ρ = m₁/V₁ = 15 g / 6 cm³ = 2.5 g/cm³。
(2) 假设最大的瓷娃娃是实心的，根据密度公式变形V = m/ρ，可得120 g瓷材料的实心体积：
V实 = m₂/ρ = 120 g / 2.5 g/cm³ = 48 cm³。
因为最大瓷娃娃的实际体积V₂=75 cm³ ＞ V实=48 cm³，所以最大的瓷娃娃是空心的；
空心部分的体积：V空 = V₂ - V实 = 75 cm³ - 48 cm³ = 27 cm³。
(3) 在最大瓷娃娃的空心部分注满水，水的体积等于空心体积，即V水 = V空 = 27 cm³；
根据密度公式，注入水的质量：m水 = ρ水V水 = 1 g/cm³ × 27 cm³ = 27 g；
该瓷娃娃的总质量：m总 = m₂ + m水 = 120 g + 27 g = 147 g。
【答案】
(1) 2.5 g/cm³；
(2) 最大的瓷娃娃是空心的，空心体积为27 cm³；
(3) 总质量为147 g。
【知识点】
密度的计算、空心物体的判断、密度公式的应用
【点评】
本题是密度知识在实际生活中的典型应用，考查了密度公式的灵活运用，解题关键是利用实心样品求出材料密度，进而判断空心并计算空心体积，属于密度章节的基础应用题，难度适中，适合巩固密度相关知识点。
【难度系数】
0.6
