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5.如图，在$△ ABC$中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分$∠ ABC$，交DE于点F，AB=4，BC=3，则EF的长为
$\frac{1}{2}$
。答案
$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
首先根据D、E分别是BC、AC的中点，可判定DE是△ABC的中位线，利用中位线性质得到DE的长度和DE与AB的平行关系；再结合BF是角平分线，由平行线的性质和角平分线定义得到等角，进而推出等腰三角形求出DF的长度，最后用DE减去DF即可得到EF的长。
【解析】
解：
∵D，E分别是BC，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴$DE// AB$，$DE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$，$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×3=1.5$，
∵$DE// AB$，
∴$∠ ABF=∠ BFD$，
∵BF平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABF=∠ DBF$，
∴$∠ DBF=∠ BFD$，
∴$DF=BD=1.5$，
∴$EF=DE-DF=2-1.5=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
三角形中位线定理，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是掌握“平行线+角平分线构造等腰三角形”这一常用几何模型，结合中位线性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
首先根据D、E分别是BC、AC的中点，可判定DE是△ABC的中位线，利用中位线性质得到DE的长度和DE与AB的平行关系；再结合BF是角平分线，由平行线的性质和角平分线定义得到等角，进而推出等腰三角形求出DF的长度，最后用DE减去DF即可得到EF的长。
【解析】
解：
∵D，E分别是BC，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴$DE// AB$，$DE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$，$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×3=1.5$，
∵$DE// AB$，
∴$∠ ABF=∠ BFD$，
∵BF平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABF=∠ DBF$，
∴$∠ DBF=∠ BFD$，
∴$DF=BD=1.5$，
∴$EF=DE-DF=2-1.5=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
三角形中位线定理，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是掌握“平行线+角平分线构造等腰三角形”这一常用几何模型，结合中位线性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
6.如图,已知在四边形ABCD中,∠B=90°,点E,F分别是AD,CD的中点,连接EF,若AB=1,BC=3,则线段EF的长是
$\frac{\sqrt{10}}{2}$
。答案
$\frac{\sqrt{10}}{2}$
解析
【分析】
解题时首先连接辅助线AC，已知∠B=90°，AB、BC长度已知，可先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长度；再结合E、F分别是AD、CD的中点的条件，可得EF是△ACD的中位线，根据三角形中位线定理即可求出EF的长度。
【解析】
1. 连接AC：
∵ ∠B=90°，
∴ △ABC是直角三角形，
在Rt△ABC中，AB=1，BC=3，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$。
2. 分析EF的性质：
∵ 点E、F分别是AD、CD的中点，
∴ EF是△ACD的中位线，根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
∴ $EF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×\sqrt{10}=\frac{\sqrt{10}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{10}}{2}$
【知识点】
勾股定理，三角形中位线定理
【点评】
本题的解题关键是合理构造辅助线，将四边形问题转化为熟悉的直角三角形和三角形中位线问题，需要熟练掌握勾股定理和中位线定理的应用条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先连接辅助线AC，已知∠B=90°，AB、BC长度已知，可先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长度；再结合E、F分别是AD、CD的中点的条件，可得EF是△ACD的中位线，根据三角形中位线定理即可求出EF的长度。
【解析】
1. 连接AC：
∵ ∠B=90°，
∴ △ABC是直角三角形，
在Rt△ABC中，AB=1，BC=3，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$。
2. 分析EF的性质：
∵ 点E、F分别是AD、CD的中点，
∴ EF是△ACD的中位线，根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
∴ $EF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×\sqrt{10}=\frac{\sqrt{10}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{10}}{2}$
【知识点】
勾股定理，三角形中位线定理
【点评】
本题的解题关键是合理构造辅助线，将四边形问题转化为熟悉的直角三角形和三角形中位线问题，需要熟练掌握勾股定理和中位线定理的应用条件。
【难度系数】
0.7
7.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$D,E,F$分别是$AB,BC,AC$的中点,连接$BF,DE$。求证:$BF=DE$。
答案
证明:在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$∠ABC=90°$,$F$是$AC$的中点,
则$BF=\frac{1}{2}AC$。
$\because D,E$分别是$AB,BC$的中点,
$\therefore DE$是$△ABC$的中位线,
$\therefore DE=\frac{1}{2}AC,\therefore BF=DE$。
则$BF=\frac{1}{2}AC$。
$\because D,E$分别是$AB,BC$的中点,
$\therefore DE$是$△ABC$的中位线,
$\therefore DE=\frac{1}{2}AC,\therefore BF=DE$。
解析
【分析】
要证明BF=DE，可通过推导两条线段与AC的数量关系，利用等量代换完成证明：①首先观察BF的位置，BF是Rt△ABC斜边AC上的中线，可依据直角三角形斜边中线的性质得到BF与AC的数量关系；②再观察DE的位置，D、E分别是AB、BC的中点，可知DE是△ABC的中位线，可依据三角形中位线定理得到DE与AC的数量关系，对比两个关系即可证得结论。
【解析】
证明：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ABC=90°$，$F$是$AC$的中点，
则$BF=\frac{1}{2}AC$。
$\because D,E$分别是$AB,BC$的中点，
$\therefore DE$是$△ABC$的中位线，
$\therefore DE=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore BF=DE$。
【答案】
证明:在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$∠ABC=90°$,$F$是$AC$的中点,
则$BF=\frac{1}{2}AC$。
$\because D,E$分别是$AB,BC$的中点,
$\therefore DE$是$△ABC$的中位线,
$\therefore DE=\frac{1}{2}AC,\therefore BF=DE$。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，三角形中位线定理
【点评】
本题是几何基础证明题，侧重考查对基础几何定理的理解与直接应用，解题的关键是准确识别线段对应的图形性质，通过公共线段建立待证线段的等量关系，属于核心基础知识的常规考查题型。
【难度系数】
0.8
要证明BF=DE，可通过推导两条线段与AC的数量关系，利用等量代换完成证明：①首先观察BF的位置，BF是Rt△ABC斜边AC上的中线，可依据直角三角形斜边中线的性质得到BF与AC的数量关系；②再观察DE的位置，D、E分别是AB、BC的中点，可知DE是△ABC的中位线，可依据三角形中位线定理得到DE与AC的数量关系，对比两个关系即可证得结论。
【解析】
证明：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ABC=90°$，$F$是$AC$的中点，
则$BF=\frac{1}{2}AC$。
$\because D,E$分别是$AB,BC$的中点，
$\therefore DE$是$△ABC$的中位线，
$\therefore DE=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore BF=DE$。
【答案】
证明:在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$∠ABC=90°$,$F$是$AC$的中点,
则$BF=\frac{1}{2}AC$。
$\because D,E$分别是$AB,BC$的中点,
$\therefore DE$是$△ABC$的中位线,
$\therefore DE=\frac{1}{2}AC,\therefore BF=DE$。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，三角形中位线定理
【点评】
本题是几何基础证明题，侧重考查对基础几何定理的理解与直接应用，解题的关键是准确识别线段对应的图形性质，通过公共线段建立待证线段的等量关系，属于核心基础知识的常规考查题型。
【难度系数】
0.8
8.如图,在$△ ABC$中,D,E分别是AB,AC的中点,连接DE,延长BC到点F,使得$CF=\frac{1}{2}BC$,连接DF交AC于点O。求证:$OC=OE$。
答案
证明:$\because D,E$分别是$AB,AC$的中点,
$\therefore DE$是$△ABC$的中位线,
$\therefore DE// BC,DE=\frac{1}{2}BC$,
$\therefore ∠DEO=∠FCO$。
$\because CF=\frac{1}{2}BC$,
$\therefore DE=CF$。
$\because ∠DOE=∠FOC$,
$\therefore △DOE≌ △FOC(\mathrm{AAS})$,
$\therefore OC=OE$。
$\therefore DE$是$△ABC$的中位线,
$\therefore DE// BC,DE=\frac{1}{2}BC$,
$\therefore ∠DEO=∠FCO$。
$\because CF=\frac{1}{2}BC$,
$\therefore DE=CF$。
$\because ∠DOE=∠FOC$,
$\therefore △DOE≌ △FOC(\mathrm{AAS})$,
$\therefore OC=OE$。
解析
【分析】
要证明$OC=OE$，可通过证明两条线段所在的$△ DOE$和$△ FOC$全等实现。首先根据$D、E$是中点的条件，联想三角形中位线定理，得到$DE$与$BC$的平行关系和数量关系；再结合题中$CF=\frac{1}{2}BC$的条件，推导得到$DE=CF$，得到一组对应边相等；接着由$DE// BC$可得内错角相等，加上对顶角相等的隐含条件，即可用AAS判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等得到结论。
【解析】
证明:$\because D,E$分别是$AB,AC$的中点,
$\therefore DE$是$△ABC$的中位线,
$\therefore DE// BC,DE=\frac{1}{2}BC$,
$\therefore ∠DEO=∠FCO$。
$\because CF=\frac{1}{2}BC$,
$\therefore DE=CF$。
$\because ∠DOE=∠FOC$,
$\therefore △DOE≌ △FOC(\mathrm{AAS})$,
$\therefore OC=OE$。
【答案】
$OC=OE$，证明如上。
【知识点】
三角形中位线定理、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是利用中位线性质得到边的平行与相等关系，为全等判定提供条件，熟练掌握基础几何定理是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
要证明$OC=OE$，可通过证明两条线段所在的$△ DOE$和$△ FOC$全等实现。首先根据$D、E$是中点的条件，联想三角形中位线定理，得到$DE$与$BC$的平行关系和数量关系；再结合题中$CF=\frac{1}{2}BC$的条件，推导得到$DE=CF$，得到一组对应边相等；接着由$DE// BC$可得内错角相等，加上对顶角相等的隐含条件，即可用AAS判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等得到结论。
【解析】
证明:$\because D,E$分别是$AB,AC$的中点,
$\therefore DE$是$△ABC$的中位线,
$\therefore DE// BC,DE=\frac{1}{2}BC$,
$\therefore ∠DEO=∠FCO$。
$\because CF=\frac{1}{2}BC$,
$\therefore DE=CF$。
$\because ∠DOE=∠FOC$,
$\therefore △DOE≌ △FOC(\mathrm{AAS})$,
$\therefore OC=OE$。
【答案】
$OC=OE$，证明如上。
【知识点】
三角形中位线定理、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是利用中位线性质得到边的平行与相等关系，为全等判定提供条件，熟练掌握基础几何定理是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
9.如图,点 O 是$△ ABC$内一点,连接 OB,OC,并将 AB,OB,OC,AC 的中点 D,E,F,G 依次连接,得到四边形 DEFG。
(1)求证:四边形 DEFG 是平行四边形;
(2)若$∠ OBC=45°,∠ OCB=30°,OC=6$,求 EF 的长。
(1)求证:四边形 DEFG 是平行四边形;
(2)若$∠ OBC=45°,∠ OCB=30°,OC=6$,求 EF 的长。
答案
(1)证明:$\because AB,OB,OC,AC$的中点分别为$D,E,F,G$,
$\therefore DG$是$△ABC$的中位线,$EF$是$△OBC$的中位线,
$\therefore DG// BC,DG=\frac{1}{2}BC,EF// BC,EF=\frac{1}{2}BC$,
$\therefore DG// EF,DG=EF$,
$\therefore$四边形$DEFG$是平行四边形。
(2)解:过点$O$作$OM⊥ BC$于点$M$。
在$\mathrm{Rt}△OCM$中,$∠OCM=30°$,$OC=6$,
$\therefore OM=\frac{1}{2}OC=3$,
$\therefore CM=\sqrt{OC^2-OM^2}=3\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△OBM$中,$∠OBC=45°$,$∠OMB=90°$,
$\therefore ∠OBM=∠MOB=45°$,
$\therefore BM=OM=3$,
$\therefore BC=BM+MC=3+3\sqrt{3}$,
$\therefore EF=\frac{1}{2}BC=\frac{3+3\sqrt{3}}{2}$。
解析
【分析】
(1) 要证明四边形DEFG是平行四边形，题目给出了多个边的中点条件，优先考虑三角形中位线定理：分别证明DG和EF都与BC平行，且长度都为BC的一半，即可得到DG与EF平行且相等，满足平行四边形的判定条件。
(2) 要求EF的长，由中位线性质可知EF等于BC的一半，因此只需先求出BC的长度。过O作OM⊥BC构造直角三角形，分别在含30°角的Rt△OCM和含45°角的Rt△OBM中求出CM、BM的长度，相加得到BC后代入中位线公式即可求出EF。
【解析】
(1) 证明：$\because AB,OB,OC,AC$的中点分别为$D,E,F,G$,
$\therefore DG$是$△ABC$的中位线,$EF$是$△OBC$的中位线,
$\therefore DG// BC,DG=\frac{1}{2}BC,EF// BC,EF=\frac{1}{2}BC$,
$\therefore DG// EF,DG=EF$,
$\therefore$四边形$DEFG$是平行四边形。
(2) 解:过点$O$作$OM⊥ BC$于点$M$。
在$\mathrm{Rt}△OCM$中,$∠OCM=30°$,$OC=6$,
$\therefore OM=\frac{1}{2}OC=3$,
$\therefore CM=\sqrt{OC^2-OM^2}=3\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△OBM$中,$∠OBC=45°$,$∠OMB=90°$,
$\therefore ∠OBM=∠MOB=45°$,
$\therefore BM=OM=3$,
$\therefore BC=BM+MC=3+3\sqrt{3}$,
$\therefore EF=\frac{1}{2}BC=\frac{3+3\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) 四边形DEFG是平行四边形，证明如上；
(2) $EF$的长为$\frac{3+3\sqrt{3}}{2}$。
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定；特殊直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，重点考查基础几何性质的应用：第一问通过中位线性质快速得到平行四边形的判定条件，第二问通过作垂线构造特殊直角三角形，结合特殊角的边长关系求解即可，解题核心是掌握中位线的线段转化作用。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明四边形DEFG是平行四边形，题目给出了多个边的中点条件，优先考虑三角形中位线定理：分别证明DG和EF都与BC平行，且长度都为BC的一半，即可得到DG与EF平行且相等，满足平行四边形的判定条件。
(2) 要求EF的长，由中位线性质可知EF等于BC的一半，因此只需先求出BC的长度。过O作OM⊥BC构造直角三角形，分别在含30°角的Rt△OCM和含45°角的Rt△OBM中求出CM、BM的长度，相加得到BC后代入中位线公式即可求出EF。
【解析】
(1) 证明：$\because AB,OB,OC,AC$的中点分别为$D,E,F,G$,
$\therefore DG$是$△ABC$的中位线,$EF$是$△OBC$的中位线,
$\therefore DG// BC,DG=\frac{1}{2}BC,EF// BC,EF=\frac{1}{2}BC$,
$\therefore DG// EF,DG=EF$,
$\therefore$四边形$DEFG$是平行四边形。
(2) 解:过点$O$作$OM⊥ BC$于点$M$。
在$\mathrm{Rt}△OCM$中,$∠OCM=30°$,$OC=6$,
$\therefore OM=\frac{1}{2}OC=3$,
$\therefore CM=\sqrt{OC^2-OM^2}=3\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△OBM$中,$∠OBC=45°$,$∠OMB=90°$,
$\therefore ∠OBM=∠MOB=45°$,
$\therefore BM=OM=3$,
$\therefore BC=BM+MC=3+3\sqrt{3}$,
$\therefore EF=\frac{1}{2}BC=\frac{3+3\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) 四边形DEFG是平行四边形，证明如上；
(2) $EF$的长为$\frac{3+3\sqrt{3}}{2}$。
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定；特殊直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，重点考查基础几何性质的应用：第一问通过中位线性质快速得到平行四边形的判定条件，第二问通过作垂线构造特殊直角三角形，结合特殊角的边长关系求解即可，解题核心是掌握中位线的线段转化作用。
【难度系数】
0.7
