12. 若$∠ 1$与$∠ 2$互补，$∠ 2$与$∠ 3$互余，则$∠ 1$与$∠ 3$的关系是（）

A.$∠ 1=∠ 3$
B.$∠ 1=180° - ∠ 3$
C.$∠ 1=90° + ∠ 3$
D.以上都不对

12. C

【分析】
本题需要利用余角和补角的定义推导∠1与∠3的关系。解题思路如下：第一步，根据互补、互余的定义分别写出∠1与∠2、∠2与∠3的数量关系式；第二步，将两个关系式中的∠2用含其他角的式子表示，通过等量代换消去∠2；第三步，整理式子即可得到∠1与∠3的关系。
【解析】
已知∠1与∠2互补，根据补角的定义：两个角互补则和为180°，可得：
$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$，变形得$∠ 2 = 180° - ∠ 1$ ①
又已知∠2与∠3互余，根据余角的定义：两个角互余则和为90°，可得：
$∠ 2 + ∠ 3 = 90°$，变形得$∠ 2 = 90° - ∠ 3$ ②
将①②等量代换，得：
$180° - ∠ 1 = 90° - ∠ 3$
根据等式的性质移项整理：
$∠ 1 = 180° - 90° + ∠ 3$
即$∠ 1 = 90° + ∠ 3$
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
补角的定义；余角的定义；等式的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对余角、补角定义的理解和应用，解题的关键是通过消去公共角∠2推导未知两角的数量关系，熟练掌握定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8

13.（教材习题6.3T11变式）将一副三角尺按下列不同位置摆放，则∠α与∠β互余的是（）

图59-G-5

13. D

【分析】
首先明确互余的定义：如果两个角的和等于90°（直角），就称这两个角互余。解题时逐个分析每个选项中∠α和∠β的和，判断是否等于90°即可选出正确答案。
【解析】
根据互余的定义：两个角的和为90°时，这两个角互余，逐个分析选项：
选项A：由图可知，∠α和∠β都与同一个公共角相加等于90°，因此∠α=∠β，二者和不一定为90°，不互余；
选项B：由图可知，∠α=∠β，且二者和大于90°，不互余；
选项C：由图可知，∠α=∠β=135°，二者和为270°，不互余；
选项D：由图可知，∠α、∠β与三角板的直角共同组成平角，即$∠α+∠β+90°=180°$，因此$∠α+∠β=90°$，二者互余，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
余角的定义，平角的性质，三角板角度特征
【点评】
本题考查余角的判断，解题关键是熟练掌握互余的定义，结合三角板的角度特征和平角的性质分析各选项中两个角的和即可，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8

14. 如图59-G-6所示，O是直线AB上一点，OC平分$∠ BOD$，OE平分$∠ AOD$，则与$∠ COD$互余的角是________。

$∠DOE,∠AOE$

【分析】
要找与∠COD互余的角，首先明确互余的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互余。解题思路如下：第一步，根据O在直线AB上，可得平角∠AOB=180°，即∠AOD+∠BOD=180°；第二步，结合角平分线的性质，分别表示出∠COD和∠DOE，计算二者的和，判断是否为90°；第三步，利用角平分线的等角关系，找到和∠DOE相等的角，即可得到所有与∠COD互余的角。
【解析】
∵ O是直线AB上一点
∴ ∠AOB=180°，即$∠ AOD + ∠ BOD = 180°$
∵ OC平分$∠ BOD$
∴ $∠ COD = \frac{1}{2}∠ BOD$
∵ OE平分$∠ AOD$
∴ $∠ AOE = ∠ DOE = \frac{1}{2}∠ AOD$
∴ $∠ DOE + ∠ COD = \frac{1}{2}(∠ AOD + ∠ BOD) = \frac{1}{2}×180°=90°$，即$∠ DOE$与$∠ COD$互余
又
∵ $∠ AOE = ∠ DOE$
∴ $∠ AOE + ∠ COD = 90°$，即$∠ AOE$也与$∠ COD$互余
【答案】
$\boldsymbol{∠DOE,∠AOE}$
【知识点】
余角的定义，角平分线的性质，平角的定义
【点评】
本题考查余角的判定，解题的关键是利用平角的性质和角平分线的定义推出∠EOC为直角，再结合等角的性质找到所有符合条件的角，是角的运算中的基础题型。
【难度系数】
0.8

15. 如图59-G-7，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOE，∠DOF＝90°。
(1)写出图中所有与∠AOD互补的角；
(2)若∠AOE＝120°，求∠BOD的度数。

15. 解:(1)因为直线AB,CD相交于点O,
所以$∠AOC$和$∠BOD$均与$∠AOD$互补.
因为OF平分$∠AOE$,所以$∠AOF=∠EOF$.
因为$∠DOF=90°$,所以$∠COF=∠DOF=90°$.
所以$∠DOE=∠AOC$.
所以$∠DOE$也是$∠AOD$的补角.
所以与$∠AOD$互补的角有$∠AOC,∠BOD,∠DOE$.
(2)因为OF平分$∠AOE,∠AOE=120°$,
所以$∠EOF=\frac{1}{2}∠AOE=60°$.
因为$∠DOF=90°$,
所以$∠DOE=∠DOF-∠EOF=90°-60°=30°$.
所以$∠BOD=180°-∠AOE-∠DOE=180°-120°-30°=30°$.

【分析】
(1) 找与∠AOD互补的角，需依据补角定义（和为180°的两个角互为补角）推导：首先直线AB、CD相交于点O，∠AOD的邻补角∠BOD、∠AOC天然满足和∠AOD的和为180°；再结合∠DOF=90°、OF平分∠AOE的条件，可推导出∠DOE=∠AOC，因此∠DOE也和∠AOD互补，即可整理出所有符合条件的角。
(2) 求∠BOD的度数时，先利用角平分线的定义算出∠EOF的度数，再结合∠DOF=90°通过角的差求出∠DOE的度数，最后根据平角为180°，用平角减去已知的∠AOE和求出的∠DOE的度数，就能得到∠BOD的度数。
【解析】
(1)
∵ 直线AB，CD相交于点O，
∴ ∠AOD + ∠BOD = 180°，∠AOD + ∠AOC = 180°，即∠BOD、∠AOC均与∠AOD互补。
∵ OF平分∠AOE，
∴ ∠AOF = ∠EOF。
∵ ∠DOF = 90°，
∴ ∠COF = 180° - ∠DOF = 90°，即∠COF = ∠DOF，
∴ ∠AOC + ∠AOF = ∠DOE + ∠EOF，结合∠AOF=∠EOF，可得∠AOC = ∠DOE，
∴ ∠AOD + ∠DOE = 180°，即∠DOE也与∠AOD互补。
综上，与∠AOD互补的角有∠AOC、∠BOD、∠DOE。
(2)
∵ OF平分∠AOE，∠AOE=120°，
∴ $∠ EOF = \frac{1}{2}∠ AOE = \frac{1}{2} × 120° = 60°$，
∵ ∠DOF = 90°，
∴ ∠DOE = ∠DOF - ∠EOF = 90° - 60° = 30°，
∵ A、O、B共线，∠AOB=180°，
∴ ∠BOD = 180° - ∠AOE - ∠DOE = 180° - 120° - 30° = 30°。
【答案】
(1) $∠ AOC$、$∠ BOD$、$∠ DOE$
(2) $30°$
【知识点】
补角的定义，角平分线的定义，平角的性质
【点评】
本题考查相交线背景下的补角判断与角度计算，解题核心是结合图形梳理角的和差关系，熟练运用角平分线、补角的性质推导计算，是角的相关性质的基础应用题型。
【难度系数】
0.7