1. (2025 广安)若$∠ A=25°$,则$∠ A$ 的余角为 ()

A.$25°$
B.$65°$
C.$75°$
D.$155°$

1. B

【分析】
解题首先要明确余角的定义：若两个角的度数之和为90°，则这两个角互为余角。要求∠A的余角，只需用90°减去∠A的度数就能得到结果，属于基础的概念应用题。
【解析】
根据余角的定义，互为余角的两个角的和为90°，因此∠A的余角为：
$90° - ∠A = 90° - 25° = 65°$
所以选择B选项。
【答案】
B
【知识点】
余角的定义
【点评】
本题是基础题型，核心考查余角的概念，掌握“互余的两个角度数和为90°”的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9

2.（2025巴音郭楞州期末）一个角是$72°$，则它的补角的度数是 （）

A.$18°$
B.$54°$
C.$108°$
D.$144°$

2. C

【分析】
首先明确题目要求是求72°角的补角，先回忆补角的定义：若两个角的和等于180°，则这两个角互为补角。因此求已知角的补角，只需用180°减去已知角的度数，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
根据补角的定义可知，互为补角的两个角的和为180°。
因此72°角的补角的度数为：$\boldsymbol{180° - 72° = 108°}$
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
补角的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查补角定义的直接应用，掌握补角的性质是解题的关键，计算量小，属于易得分题目。
【难度系数】
0.9

3. 一个角的余角是$45°$,则它的补角的度数是（）

A.$90°$
B.$135°$
C.$120°$
D.$60°$

3. B

【分析】
解题时首先要明确余角和补角的基本定义，按照两步思路计算：第一步先根据余角的定义求出这个角本身的度数，第二步再根据补角的定义计算它的补角度数即可。首先回忆相关定义：如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角；如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角。已知这个角的余角是45°，先通过余角定义计算该角度数，再用180°减去这个角的度数就能得到补角的度数。
【解析】
设这个角的度数为$x$，根据余角的定义可得：
$x + 45° = 90°$
解得$x = 90° - 45° = 45°$
再根据补角的定义，这个角的补角度数为：
$180° - 45° = 135°$
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
余角的定义；补角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是熟练掌握余角和补角的定义，按照定义分步计算即可轻松得出正确结果。
【难度系数】
0.9

4. 若$∠α$与$∠β$互余，且$∠α = 3∠β$，则$∠β$的度数为（）

A.$45°$
B.$25°$
C.$22°50'$
D.$22°30'$

4. D

【分析】
首先从"∠α与∠β互余"的条件切入，回忆互余的定义：两个角互余则两角之和为90°，可得到∠α+∠β=90°的等量关系。再结合题目给出的∠α=3∠β的倍数关系，将该关系代入两角和为90°的等式中，就能列出仅含∠β的一元一次方程，求解出∠β的度数后，再依据1°=60′将小数部分的度数换算为分，即可匹配到正确选项。
【解析】
解：
∵∠α与∠β互余，根据互余的定义可得：
$∠α + ∠β = 90°$
又
∵$∠α = 3∠β$，将其代入上式得：
$3∠β + ∠β = 90°$
合并同类项得：$4∠β = 90°$
解得：$∠β = 22.5°$
∵$1°=60'$，
∴$0.5°=0.5×60'=30'$
∴$∠β=22°30'$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
余角的定义；度分秒换算；角度运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查互余概念的应用，结合已知角度的倍数关系列等式即可求解，解题时需注意度和分的换算进率为60，避免换算失误。
【难度系数】
0.8

5. 互为余角且相等的角的度数都是，互为补角且相等的角的度数都是。

5. 45° 90°

【分析】
解题时首先要明确余角和补角的基本定义：两个角的和为90°则这两个角互为余角，两个角的和为180°则这两个角互为补角。题目要求找互为余角且相等的角，说明这两个角度数相同，和为90°，只需将90°平均分成2份即可得到单个角的度数；同理，互为补角且相等的角，就是将180°平均分成2份，也可以通过设未知数列一元一次方程的方式求解，思路更清晰。
【解析】
1. 求互为余角且相等的角的度数：
设该角的度数为$x$，因为它和另一个角互为余角且两角相等，根据余角定义可得：
$x + x = 90°$
$2x = 90°$
解得$x = 45°$
2. 求互为补角且相等的角的度数：
设该角的度数为$y$，因为它和另一个角互为补角且两角相等，根据补角定义可得：
$y + y = 180°$
$2y = 180°$
解得$y = 90°$
【答案】
$45°$；$90°$
【知识点】
余角的定义；补角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对余角、补角性质的识记和简单应用，解题时紧扣“两角和为90°/180°”的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9

6. 如图，$∠ AOB=114°$，OD是$∠ AOB$的平分线，$∠ 1$与$∠ 2$互余，则$∠ 1$的度数为。

6. 33°

【分析】
解题时先梳理已知条件：首先已知∠AOB的度数和OD是它的角平分线，根据角平分线的定义可以先求出∠2的度数；再结合∠1和∠2互余的条件，根据互余的定义（两个角的和为90°），用90°减去∠2的度数就能得到∠1的度数。
【解析】
解：
∵OD是∠AOB的平分线，∠AOB=114°
∴∠2 = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×114° = 57°
∵∠1与∠2互余，即∠1+∠2=90°
∴∠1 = 90° - ∠2 = 90° - 57° = 33°
【答案】
33°
【知识点】
角平分线的定义，余角的定义
【点评】
本题属于基础的角度运算题，解题核心是熟练掌握角平分线和余角的相关定义，计算时注意角度运算的准确性即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8

7. (1)一个角比它的余角大$10°$，求这个角的度数；
(2)(教材练习T3变式)一个角的补角比它的余角的3倍小$20°$，求这个角的度数.

7. 解:(1)设这个角的度数为 $x°$.
由题意,得 $x-(90-x)=10$,解得 $x=50$.
答:这个角的度数为 $50°$.
(2)设这个角的度数为 $x°$.
由题意,得 $180-x=3(90-x)-20$,解得 $x=35$.
答:这个角的度数为 $35°$.

【分析】
(1) 首先明确余角的定义：若两个角的和为90°，则两角互为余角，因此一个角的余角可表示为90°减去该角的度数。我们设这个角的度数为$x°$，根据“这个角比它的余角大10°”的等量关系列方程，解方程即可得到结果。
(2) 同时掌握补角定义：若两个角的和为180°，则两角互为补角。同样设这个角的度数为$x°$，分别表示出它的补角、余角的3倍减20°的表达式，根据“补角比余角的3倍小20°”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 设这个角的度数为 $x°$，则它的余角为$(90-x)°$。
由题意得：$x-(90-x)=10$
去括号得：$x-90+x=10$
合并同类项得：$2x=100$
解得：$x=50$
(2) 设这个角的度数为 $x°$，则它的补角为$(180-x)°$，余角为$(90-x)°$。
由题意得：$180-x=3(90-x)-20$
去括号得：$180-x=270-3x-20$
移项合并得：$2x=70$
解得：$x=35$
【答案】
(1) $50°$；(2) $35°$
【知识点】
余角的定义，补角的定义，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，解题核心是牢记余角、补角的数量关系，通过设未知数列方程是这类题的通用解法，解题时需准确梳理等量关系，避免计算失误。
【难度系数】
0.85

8. (2025乌鲁木齐期末)如图59-G-2,已知O为直线AB上的一点,∠COE是直角,OF平分∠AOE.

(1)与∠AOC互余的角是,互补的角是；
(2)若∠COF=34°,求∠BOE的度数.

8. 解:(1)因为$∠COE=90°$,
所以$∠AOC+∠BOE=90°$,
所以与$∠AOC$互余的角是$∠BOE$；
因为$∠AOC+∠BOC=180°$,
所以与$∠AOC$互补的角是$∠BOC$.
故答案为$∠BOE,∠BOC$.
(2)因为$∠COE=90°,∠COF=34°$,
所以$∠EOF=90°-34°=56°$.
因为OF平分$∠AOE$,
所以$∠AOE=2∠EOF=112°$,
所以$∠BOE=180°-∠AOE=68°$.

【分析】
(1) 解决第一问需先明确互余、互补的定义：两个角和为90°则互余，和为180°则互补。已知O在直线AB上，故∠AOB=180°，又∠COE=90°，因此可算出∠AOC与∠BOE的和为90°，即可找到互余的角；再根据平角性质，∠AOC与∠BOC的和为180°，即可找到互补的角。
(2) 解决第二问先利用∠COE是直角，结合已知∠COF的度数，先求出∠EOF的度数；再根据OF平分∠AOE，得到∠AOE=2∠EOF，最后利用平角∠AOB=180°，用180°减去∠AOE的度数即可求出∠BOE的度数。
【解析】
(1) 因为∠COE是直角，即∠COE=90°，且O在直线AB上，∠AOB=180°，
所以$∠ AOC + ∠ BOE = 180° - ∠ COE = 90°$，
因此与∠AOC互余的角是∠BOE；
又因为$∠ AOC + ∠ BOC = ∠ AOB = 180°$，
所以与∠AOC互补的角是∠BOC。
(2) 因为$∠ COE=90°$，$∠ COF=34°$，
所以$∠ EOF = ∠ COE - ∠ COF = 90° - 34° = 56°$，
因为OF平分∠AOE，
所以$∠ AOE = 2∠ EOF = 2 × 56° = 112°$，
又因为∠AOB是平角，即180°，
所以$∠ BOE = 180° - ∠ AOE = 180° - 112° = 68°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠BOE}$，$\boldsymbol{∠BOC}$；
(2) $\boldsymbol{68°}$
【知识点】
余角与补角的定义；角平分线的定义；平角的性质
【点评】
本题属于角的计算基础题，解题核心是结合图形理清各角的和差关系，熟练运用相关定义进行推理计算即可快速求解。
【难度系数】
0.8

9. 若$∠α=∠β$，且$∠α+∠1=180°$，$∠β+∠2=180°$，则$∠1$与$∠2$的大小关系是________，理由是________。

$∠1=∠2$ 等角的补角相等

【分析】
解题时首先结合已知条件中两个角的和为180°，联想到补角的定义，可先将∠1和∠2分别用含∠α、∠β的式子表示；再结合题目给出的∠α=∠β的条件，代入后即可判断∠1和∠2的大小关系，最后对应补角的性质填写理由即可。
【解析】
已知∠α + ∠1 = 180°，根据补角的定义可得：∠1 = 180° - ∠α；
同理，由∠β + ∠2 = 180°可得：∠2 = 180° - ∠β；
又因为∠α = ∠β，所以180° - ∠α = 180° - ∠β，即∠1 = ∠2。
该结论的推理依据为等角的补角相等。
【答案】
$∠1=∠2$ 等角的补角相等
【知识点】
1. 补角的定义
2. 等角的补角相等
【点评】
本题是基础类题型，重点考查补角相关性质的直接应用，熟练掌握余角、补角的定义和性质是快速解决此类题目的核心。
【难度系数】
0.9

10. 将两个三角尺按图59-G-3所示的位置摆放，已知$∠α = 36°$，则$∠β =$ 。

10. 36°

【分析】
解题时首先观察图形特征：两个直角三角尺的直角顶点重合，两个直角存在公共的重叠角。我们可以先分别写出∠α、∠β与公共角的数量关系：∠α与公共角的和等于90°，∠β与公共角的和也等于90°，由此可知∠α和∠β都是同一个公共角的余角，根据余角的性质即可推出二者相等，代入已知角度就能得到∠β的度数。
【解析】
由图可得，两个三角尺的直角均为90°，且两个直角有公共的重叠部分：
$∠α +$ 公共重叠角 $= 90°$，
$∠β +$ 公共重叠角 $= 90°$，
根据“同角的余角相等”，可得$∠β = ∠α$，
已知$∠α = 36°$，因此$∠β = 36°$。
【答案】
$36°$
【知识点】
同角的余角相等；直角的定义
【点评】
本题考查余角性质的应用，解题的关键是准确找到两个角与公共重叠角的关系，结合余角性质即可快速得出结果，是角的运算类的基础题型。
【难度系数】
0.85

11. 如图59-G-4，已知$∠ 1+∠ 3=90°$，$∠ 2+∠ 3=90°$，$∠ 1+∠ 4=90°$. 请在$∠ 1$，$∠ 2$，$∠ 3$，$∠ 4$中找出相等的角，并说明理由.

11. 解:$∠1=∠2,∠3=∠4$.理由如下：
因为$∠1+∠3=90°,∠2+∠3=90°$,所以$∠1=∠2$.
因为$∠1+∠4=90°,∠1+∠3=90°$,所以$∠3=∠4$.

【分析】
解题时首先观察已知条件，给出的都是两角之和为90°的互余关系，我们可以利用余角的性质“同角的余角相等”来判断相等的角：第一步先找与同一个角互余的两个角，这两个角就相等。首先看∠1和∠2都与∠3相加等于90°，可判断∠1和∠2相等；再看∠3和∠4都与∠1相加等于90°，可判断∠3和∠4相等。
【解析】
解：相等的角为∠1=∠2，∠3=∠4，理由如下：
因为∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，根据“同角的余角相等”，可得∠1=∠2；
又因为∠1+∠4=90°，∠1+∠3=90°，根据“同角的余角相等”，可得∠3=∠4。
【答案】
∠1=∠2，∠3=∠4
【知识点】
余角的定义；同角的余角相等
【点评】
本题是基础类题目，重点考查余角性质的应用，只要准确识别角的互余关系，熟练运用同角的余角相等的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9