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1. (2025·南通期中)已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的变量$x,y$的部分对应值如表：
根据表中信息，可得一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个近似解$x_1$的范围是（
A.$-3＜x_1＜-2$
B.$-2＜x_1＜-1$
C.$-1＜x_1＜0$
D.$0＜x_1＜1$
根据表中信息，可得一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个近似解$x_1$的范围是（
C
）A.$-3＜x_1＜-2$
B.$-2＜x_1＜-1$
C.$-1＜x_1＜0$
D.$0＜x_1＜1$
答案
1. C 解析:由表可知,当x=-1时,y=1＞0;当x=0时,y=-2＜0,
∴方程的一个根在-1与0之间.故选 C.
∴方程的一个根在-1与0之间.故选 C.
2. (2025·苏州校级月考)如图,二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象过点$(-2,0)$,对称轴为直线$x=1$,则不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集为 (
A.$-2＜x＜2$
B.$-2＜x＜4$
C.$x＜-2$或$x＞4$
D.$x＜-2$或$x＞2$
C
)A.$-2＜x＜2$
B.$-2＜x＜4$
C.$x＜-2$或$x＞4$
D.$x＜-2$或$x＞2$
答案
2. C 解析:
∵抛物线与x轴的一个交点为(-2,0),对称轴为直线x=1,
∴另一个交点为(4,0).由题图可知抛物线开口向上,
∴$ax^2+bx+c＞0$的解集为x＜-2或x＞4.故选 C.
∵抛物线与x轴的一个交点为(-2,0),对称轴为直线x=1,
∴另一个交点为(4,0).由题图可知抛物线开口向上,
∴$ax^2+bx+c＞0$的解集为x＜-2或x＞4.故选 C.
3. 如图是二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象，则根据图象可得方程$-x^2+bx+c=1$的解为
$x_1=-1,x_2=3$
.答案
3. $x_1=-1,x_2=3$ 解析:根据函数图象可知,当x=-1或3时,y=1,
∴方程$-x^2+bx+c=1$的解为$x_1=-1,x_2=3$.
∴方程$-x^2+bx+c=1$的解为$x_1=-1,x_2=3$.
4. (1)不论$x$取何值，函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的值永远是负值的条件是
(2)若抛物线$y=(m-1)x^2+2mx+m+2$恒在$x$轴上方，则$m$的取值范围是
$a＜0且b^2-4ac＜0$
。(2)若抛物线$y=(m-1)x^2+2mx+m+2$恒在$x$轴上方，则$m$的取值范围是
$m＞2$
。答案
4. (1)$a＜0且b^2-4ac＜0$ 解析:
∵函数值恒为负,
∴抛物线开口向下,且与x轴没有交点,
∴$a＜0且b^2-4ac＜0$.
(2)$m＞2$ 解析:抛物线恒在x轴上方,
∴m-1＞0且$b^2-4ac=(2m)^2-4(m-1)(m+2)＜0$,化简得8-4m＜0,解得m＞2.
∵函数值恒为负,
∴抛物线开口向下,且与x轴没有交点,
∴$a＜0且b^2-4ac＜0$.
(2)$m＞2$ 解析:抛物线恒在x轴上方,
∴m-1＞0且$b^2-4ac=(2m)^2-4(m-1)(m+2)＜0$,化简得8-4m＜0,解得m＞2.
5. (2026·扬州模拟)如图是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象，若关于$x$的方程$ax^2+bx+c=m$总有一正一负两个实数根，则$m$的取值范围是
$m＞3$
。答案
5. $m＞3$ 解析:如图,二次函数开口向上,故a＞0;且二次函数过(0,3),因此c=3.
∵关于x的方程$ax^2+bx+c=m$总有一正一负两个实数根,
∴二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线y=m有两个交点,一个在第一象限,一个在第二象限内,
∴m＞3.
6. 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程$ax^2+bx+c=0$的两个根；
(2)写出不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集；
(3)写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围；
(4)若方程$ax^2+bx+c+k=0$有两个不相等的实数根，写出k的取值范围。
(1)写出方程$ax^2+bx+c=0$的两个根；
(2)写出不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集；
(3)写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围；
(4)若方程$ax^2+bx+c+k=0$有两个不相等的实数根，写出k的取值范围。
答案
6. (1)从题图中可以看出抛物线与x轴交于(1,0)和(3,0),
∴方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1=1,x_2=3$.
(2)当不等式$ax^2+bx+c＞0$时,通过题图可以看出:当1＜x＜3时,y＞0,
∴不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集为1＜x＜3.
(3)从题图中可以看出对称轴为直线x=2,
∴当x≥2时,y随x的增大而减小.
(4)
∵方程$ax^2+bx+c+k=0$有两个不相等的实数根,即$ax^2+bx+c=-k$有两个不相等的实数根,
∴直线y=-k与二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象有两个交点,
∴k的取值范围为k＞-2.
∴方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1=1,x_2=3$.
(2)当不等式$ax^2+bx+c＞0$时,通过题图可以看出:当1＜x＜3时,y＞0,
∴不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集为1＜x＜3.
(3)从题图中可以看出对称轴为直线x=2,
∴当x≥2时,y随x的增大而减小.
(4)
∵方程$ax^2+bx+c+k=0$有两个不相等的实数根,即$ax^2+bx+c=-k$有两个不相等的实数根,
∴直线y=-k与二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象有两个交点,
∴k的取值范围为k＞-2.
7. (2026·江西中考)如图,观察函数$y=x^2+3x-3$的图象,可以发现方程$x^2+3x-3=0$在0,1之间有根.取0,1的平均数0.5,当$x=0.5$时,$y＜0$,进一步可知这个根在0.5和1之间,则与方程$x^2+3x-3=0$另一根更接近的是
A.-4.5
B.-4
C.-3.5
D.-3
A.-4.5
B.-4
C.-3.5
D.-3
答案
7. B 解析:设方程$x^2+3x-3=0$的两个根为$x_1,x_2$,
∵a=1,b=3,c=-3,由一元二次方程根与系数的关系可知$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-3$.
∵已知$x_1$在0.5与1之间,
∴$x_2=-3-x_1$,当x在0.5和1之间时,
∴另一根$x_2$在-4与-3.5之间,取x=-3.75,$y=(-3.75)^2+3×(-3.75)-3=14.0625-11.25-3=-0.1875＜0$,当x=-4时,$y=(-4)^2+3×(-4)-3=16-12-3=1＞0$,
∴$x_2$在-4与-3.75之间,
∴$x_2$到-4的距离=$x_2-(-4)＜-3.75-(-4)=0.25$,$x_2$到-3.5的距离=$(-3.5)-x_2＞(-3.5)-(-3.75)=0.25$,
∴$x_2$到-4的距离小于$x_2$到-3.5的距离,
∴与另一根更接近的是-4.
∵a=1,b=3,c=-3,由一元二次方程根与系数的关系可知$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-3$.
∵已知$x_1$在0.5与1之间,
∴$x_2=-3-x_1$,当x在0.5和1之间时,
∴另一根$x_2$在-4与-3.5之间,取x=-3.75,$y=(-3.75)^2+3×(-3.75)-3=14.0625-11.25-3=-0.1875＜0$,当x=-4时,$y=(-4)^2+3×(-4)-3=16-12-3=1＞0$,
∴$x_2$在-4与-3.75之间,
∴$x_2$到-4的距离=$x_2-(-4)＜-3.75-(-4)=0.25$,$x_2$到-3.5的距离=$(-3.5)-x_2＞(-3.5)-(-3.75)=0.25$,
∴$x_2$到-4的距离小于$x_2$到-3.5的距离,
∴与另一根更接近的是-4.
