10. (武汉中考)抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 经过 $ A(-3, 0) $，$ B(4, 0) $ 两点，则关于 $ x $ 的一元二次方程 $ a(x-1)^2 + c = b - bx $ 的解是 ______。

10. $x_1=-2,x_2=5$ 解析: 把一元二次方程 $a(x-1)^2+c=b-bx$ 变形为 $a(x-1)^2+b(x-1)+c=0$,抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 沿x轴向右平移1个单位长度得到 $y=a(x-1)^2+b(x-1)+c$.因为抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过点 $A(-3,0)$,$B(4,0)$,所以抛物线 $y=a(x-1)^2+b(x-1)+c$ 与x轴的交点坐标为 $(-2,0)$,$(5,0)$,所以一元二次方程 $a(x-1)^2+b(x-1)+c=0$ 的解为 $x_1=-2$,$x_2=5$.

11. 新题型 新定义 在平面直角坐标系中，若点$P$的横坐标和纵坐标相等，则称点$P$为完美点。已知二次函数$y=ax^2+bx-\frac{9}{4}$（$a,b$是常数，$a≠0$）的图象上有且只有一个完美点$(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$，且当$0≤x≤m$时，函数$y=ax^2+bx-3$的最小值为$-3$，最大值为$1$，则$m$的取值范围是________。

$2≤m≤4$ 解析: 令 $x=ax^2+bx-\frac{9}{4}$,则 $ax^2+(b-1)x-\frac{9}{4}=0$,
∴ $(b-1)^2+9a=0$,
∴ 由题意可得 $\begin{cases}\frac{9}{4}a+\frac{3}{2}b-\frac{9}{4}=\frac{3}{2},\\(b-1)^2+9a=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-1,\\b=4,\end{cases}$ 函数 $y=-x^2+4x-3$ 的简图如图所示,若最小值为-3,最大值为1,结合图象可得 $2≤m≤4$.

12. (2025·德州中考)已知抛物线$y=x^2+(2m+3)x+n(m,n$为常数$)$过点$(1,5)$.
(1)若该抛物线与$y$轴交于点$(0,-1)$.
①求该抛物线的表达式；
②已知$A(x_1,y_1),B(2,y_2)$在该抛物线上,若对于$3t-1＜x_1＜3t+2$,都有$y_1＞y_2$,求$t$的取值范围.
(2)若对于任意实数$x$,都有$x^2+(2m+3)x+n≥3x+2$,此时抛物线$y=x^2+(2m+3)x+n$与直线$y=4$交于$M,N$两点,求$MN$的长.

12. (1)①
∵ 抛物线 $y=x^2+(2m+3)x+n$ 过点 $(1,5)$,$\therefore \begin{cases}1+2m+3+n=5,\\n=-1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=1,\\n=-1,\end{cases}$
∴ 抛物线的表达式为 $y=x^2+5x-1$.
② 抛物线 $y=x^2+5x-1$ 的对称轴为 $x=-\frac{5}{2}$,
∴ $B(2,y_2)$ 关于对称轴的对称点 $B'(-7,y_2)$.
∵ 对于 $3t-1＜x_1＜3t+2$,都有 $y_1＞y_2$,
∴ $3t+2≤-7$ 或 $3t-1≥2$,解得 $t≤-3$ 或 $t≥1$.
(2)
∵ 抛物线 $y=x^2+(2m+3)x+n$ 过点 $(1,5)$,
∴ $1+2m+3+n=5$,则 $n=1-2m$.
∵ 对于任意实数x,都有 $x^2+(2m+3)x+n≥3x+2$,
∴ $x^2+2mx-1-2m≥0$ 对任意实数x都成立,
∴ $b^2-4ac=4m^2-4(-1-2m)≤0$,
∴ $(m+1)^2≤0$,
∴ $m=-1$,
∴ 抛物线表达式为 $y=x^2+x+3$.联立抛物线 $y=x^2+x+3$ 与直线 $y=4$,得 $x^2+x+3=4$,解得 $x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$,
∴ 交点M,N的横坐标分别为 $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ 和 $\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$,
∴ $MN=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}-\frac{-1-\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$.

13. (2025·南充中考)已知某函数图象关于$y$轴对称，当$0≤ x≤2$时，$y=x^2 - 2x$；当$x＞2$时，$y=2x - 4$。若直线$y=x+b$与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数$b$的范围是 ()

A.$-\dfrac{1}{4}＜b＜0$
B.$-\dfrac{9}{4}＜b＜-\dfrac{1}{4}$
C.$-\dfrac{1}{4}≤ b≤0$
D.$b≤-\dfrac{1}{4}$或$b＞0$

13. A 解析:
∵ 函数图象关于y轴对称,当 $0≤x≤2$ 时,$y=x^2-2x$,
∴ 当 $-2≤x＜0$ 时,$y=x^2+2x$;当 $x＞2$ 时,$y=2x-4$,
∴ $x＜-2$ 时,$y=-2x-4$.
画出函数图象如下:

当 $0≤x≤2$ 时,$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$,这是一个开口向上,顶点为 $(1,-1)$,与x轴交点为 $(0,0)$,$(2,0)$ 的抛物线一部分.当 $x＞2$ 时,$y=2x-4$ 是一条k为2,过 $(2,0)$ 的射线.根据对称性画出 $x＜0$ 时的函数图象.
当 $-2≤x＜0$ 时,联立 $\begin{cases}y=x^2+2x,\\y=x+b,\end{cases}$ 得 $x^2+x-b=0$,当 $b^2-4ac=1+4b=0$,即 $b=-\frac{1}{4}$ 时,直线与 $y=x^2+2x(-2≤x＜0)$ 相切.
当直线过 $(0,0)$ 时,$b=0$.结合图象可知,当 $-\frac{1}{4}＜b＜0$ 时,直线 $y=x+b$ 与这个函数图象有且仅有四个不同交点.故选 A.

14. (2026·广州模拟)已知$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$是抛物线$y=ax^2+bx-\dfrac{1}{4a}$上两个不同的点.
(1)当$a=1$，且抛物线关于$y$轴对称时，
①若$M,N$两点都在$x$轴上，求线段$MN$的长；
②若直线$MN$经过平面直角坐标系的原点$O$，求$\dfrac{1}{OM}+\dfrac{1}{ON}$的值.
(2)当$a＞1$且$b=a^2$时，若点$M,N$在抛物线对称轴的左侧，其中$x_1＜x_2$且$x_1,x_2$均为整数，证明：$x_1 - x_2 + y_1 - y_2 ＞ 0$.

14. (1)①
∵ $a=1$,抛物线关于y轴对称,
∴ $b=0$,
∴ $y=x^2-\frac{1}{4}$.
∵ M,N两点都在x轴上,
∴ 当 $y=0$ 时,$x^2-\frac{1}{4}=0$.解得 $x=±\frac{1}{2}$,
∴ $MN=\frac{1}{2}-(-\frac{1}{2})=1$.
②
∵ 直线MN经过平面直角坐标系的原点O,
∴ 分情况讨论如下:
若MN在x轴上,则 $OM=ON=\frac{1}{2}$,
∴ $\frac{1}{OM}+\frac{1}{ON}=4$;若MN不在x轴上,设直线MN为 $y=kx(k≠0)$,
∵ 当 $x^2-\frac{1}{4}=kx$ 时, $x^2-kx-\frac{1}{4}=0$,
∴ $x_1x_2=-\frac{1}{4}＜0$,$x_1+x_2=k$,
∴ $x_1,x_2$ 异号,不妨设 $x_1＜0＜x_2$,
∴ $(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=k^2+1$,
∴ $x_2-x_1=\sqrt{k^2+1}$(负值已舍去).
∵ $OM=\sqrt{x_1^2+y_1^2}=\sqrt{x_1^2+k^2x_1^2}=\sqrt{1+k^2}|x_1|$,$ON=\sqrt{x_2^2+y_2^2}=\sqrt{x_2^2+k^2x_2^2}=\sqrt{1+k^2}|x_2|$,
∴ $\frac{1}{OM}+\frac{1}{ON}=\frac{1}{\sqrt{1+k^2}|x_1|}+\frac{1}{\sqrt{1+k^2}|x_2|}=\frac{x_2-x_1}{-\sqrt{1+k^2}x_1x_2}=\frac{\sqrt{1+k^2}}{\frac{1}{4}\sqrt{1+k^2}}=4$.
综上,$\frac{1}{OM}+\frac{1}{ON}$ 的值为4.
(2)
∵ $a＞1$ 且 $b=a^2$,
∴ $y=ax^2+a^2x-\frac{1}{4a}$,
∴ 对称轴为直线 $x=-\frac{a^2}{2a}=-\frac{a}{2}$.
∵ 点M,N在抛物线对称轴的左侧,其中 $x_1＜x_2$ 且 $x_1,x_2$ 均为整数,
∴ $x_1＜x_2＜-\frac{a}{2}$,
∴ $x_1≤x_2-1＜-\frac{a}{2}-1$.
$x_1-x_2+y_1-y_2=x_1-x_2+a(x_1^2-x_2^2)+a^2(x_1-x_2)=(x_1-x_2)·[a(x_1+x_2)+a^2+1]$,
其中 $x_1-x_2＜0$,$x_1+x_2＜-\frac{a}{2}-1+(-\frac{a}{2})$,即 $x_1+x_2＜-a-1$.
∵ $a＞1$,
∴ $a(x_1+x_2)+a^2+1＜a(-a-1)+a^2+1$,
∴ $a(x_1+x_2)+a^2+1＜1-a＜0$,
∴ $(x_1-x_2)[a(x_1+x_2)+a^2+1]＞0$,即 $x_1-x_2+y_1-y_2＞0$.