8. (2025·武汉期中)抛物线$y=x^2+kx+4k$在直线$y=16$下方的图象上恰好有五个横坐标为整数的点,则$k$的值不可能是 ()

A.2
B.$\sqrt{5}$
C.13
D.$4π+1$

8. C 解析:将抛物线$y=x^2+kx+4k$和直线y=16联立,得$x^2 + kx + 4k = 16$,即$x^2 + kx + 4k - 16 = 0$,
∴$x=\frac{-k±\sqrt{k^2-4×1×(4k-16)}}{2×1}$,化简得$x=\frac{-k±\sqrt{k^2-16k+64}}{2}$,解得$x_1=-4,x_2=-k+4$.当$-k+4＞-4$时,
∵抛物线$y=x^2+kx+4k$在直线y=16下方的图象上恰好有五个横坐标为整数的点,
∴这五个点的横坐标为-3,-2,-1,0,1,
∴$\begin{cases}-k+4＞1,\\-k+4≤2,\end{cases}$解得2≤k＜3,
∴k的值可以是2,$\sqrt{5}$.故选项A,B不符合题意;当$-k+4＜-4$时,
∵抛物线$y=x^2+kx+4k$在直线y=16下方的图象上恰好有五个横坐标为整数的点,
∴这五个点的横坐标为-5,-6,-7,-8,-9,
∴$\begin{cases}-k+4＜-9,\\-k+4≥-10,\end{cases}$解得13＜k≤14,
∴k的值不可以是13,可以是$4π+1$.故选项C符合题意,选项D不符合题意.故选 C.

9. (1)函数$y=ax^2+2ax+m(a＜0)$的图象过点$(2,0)$，则使函数值$y＜0$成立的$x$的取值范围是。
(2)如图，抛物线$y=ax^2+bx+c$分别交坐标轴于$A(-2,0)$，$B(6,0)$，$C(0,4)$，则$0≤ ax^2+bx+c＜4$的解集是。

9. (1)$x＜-4或x＞2$ 解析:抛物线$y=ax^2+2ax+m$的对称轴为直线$x=-\frac{2a}{2a}=-1$,而抛物线与x轴的一个交点坐标为(2,0),
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-4,0).
∵a＜0,
∴抛物线开口向下,
∴当x＜-4或x＞2时,y＜0.
(2)$-2≤x＜0或4＜x≤6$ 解析:
∵A(-2,0),B(6,0),
∴抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-2+6}{2}=2$,
∴点C关于对称轴的对称点的坐标为(4,4),
∴$0≤ax^2+bx+c＜4$的解集为$-2≤x＜0或4＜x≤6$.

10. (1)如图①,抛物线$y=ax^2+c$与直线$y=mx+n$交于$A(-1,p),B(3,q)$两点,则关于$x$的不等式$ax^2 - mx + c ＞ n$的解集为.

(2)如图②,抛物线$y_1=ax^2+c$与直线$y_2=kx+b$交于点$A(-4,p),B(2,q)$,则关于$x$的不等式$ax^2 + c + kx - b ＜0$的解集是.

10. (1)$x＜-1或x＞3$ 解析:
∵抛物线$y=ax^2+c$与直线$y=mx+n$交于A(-1,p),B(3,q)两点,
∴当x＜-1或x＞3时,抛物线$y=ax^2+c$在直线$y=mx+n$的上方,即$ax^2+c＞mx+n$,
∴不等式$ax^2-mx+c＞n$的解集为x＜-1或x＞3.
(2)$x＜-2或x＞4$ 解析:
∵$ax^2+c+kx-b＜0$,
∴$ax^2+c＜-kx+b$.设$y_3=-kx+b$,
∵抛物线$y_1=ax^2+c$与直线$y_2=kx+b$交于点A(-4,p),B(2,q),直线$y_3=-kx+b$与直线$y_2=kx+b$关于y轴对称,抛物线$y_1=ax^2+c$关于y轴对称,
∴抛物线$y_1=ax^2+c$与直线$y_3=-kx+b$交于点(4,p),(-2,q),
∴当x＜-2或x＞4时,抛物线位于直线$y_3=-kx+b$的下方,即此时$ax^2+c＜-kx+b$,
∴不等式$ax^2+c+kx-b＜0$的解集是x＜-2或x＞4.

11. (2024·武汉中考)抛物线$y=ax^2+bx+c$($a,b,c$是常数，$a＜0$)经过$(-1,1)$，$(m,1)$两点，且$0＜m＜1$.下列四个结论：①$b＞0$；②若$0＜x＜1$，则$a(x-1)^2+b(x-1)+c＞1$；③若$a=-1$，则关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=2$无实数解；④点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$在抛物线上，若$x_1+x_2＞-\dfrac{1}{2}$，$x_1＞x_2$，总有$y_1＜y_2$，则$0＜m≤\dfrac{1}{2}$.其中正确的是________(填序号).

11. ②③④ 解析:
∵抛物线$y=ax^2+bx+c$(a,b,c是常数,a＜0)经过(-1,1),(m,1)两点,且0＜m＜1,
∴对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=\frac{-1+m}{2}$,$-\frac{1}{2}＜\frac{-1+m}{2}＜0$.
∵$x=-\frac{b}{2a}＜0,a＜0$,
∴b＜0,故①错误.
∵0＜m＜1,
∴m-(-1)＞1,即(-1,1),(m,1)两点之间的距离大于1.又
∵a＜0,
∴当x=m-1时,y＞1,
∴若0＜x＜1,则$a(x-1)^2+b(x-1)+c＞1$,故②正确;③由①可得$-\frac{1}{2}＜\frac{-1+m}{2}＜0$,当a=-1时,$-\frac{1}{2}＜\frac{b}{2}＜0$,即-1＜b＜0,抛物线表达式为$y=-x^2+bx+c$,设顶点纵坐标为$t=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{-4c-b^2}{-4}$.
∵抛物线$y=-x^2+bx+c$(a,b,c是常数)经过(-1,1),
∴-1-b+c=1,
∴c=b+2,
∴$t=\frac{-4c-b^2}{-4}=\frac{b^2+4c}{4}=\frac{1}{4}b^2+c=\frac{1}{4}b^2+b+2=\frac{1}{4}(b+2)^2+1$.
∵-1＜b＜0,$\frac{1}{4}＞0$,对称轴为直线b=-2,
∴当b=0时,t取得最大值为2,而b＜0,
∴关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=2$无实数解,故③正确;④
∵a＜0,抛物线开口向下,点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$在抛物线上,$x_1+x_2＞-\frac{1}{2}$,$x_1＞x_2$,总有$y_1＜y_2$,又$x=\frac{x_1+x_2}{2}＞-\frac{1}{4}$,
∴点$A(x_1,y_1)$离直线$x=-\frac{1}{4}$较远,
∴$-\frac{1}{2}＜\frac{-1+m}{2}≤-\frac{1}{4}$,解得$0＜m≤\frac{1}{2}$,故④正确.故答案为②③④.

12. (2026·武汉期中)方程 $x^2+3x=1$ 的根可视为函数 $y=x+3$ 的图象与函数 $y=\frac{1}{x}$ 的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程 $x^3-2x^2+x=3$ 的实数根 $x$ 所在的范围是（）

A.$1＜x＜2$
B.$2＜x＜3$
C.$3＜x＜4$
D.$4＜x＜5$

12. B 解析:
∵方程$x^3-2x^2+x=3$,
∴$x^2-2x+1=\frac{3}{x}$,
∴方程$x^3-2x^2+x=3$的实数根是函数$y_1=x^2-2x+1$和$y_2=\frac{3}{x}$的图象交点的横坐标,这两个函数的图象如图所示,则它们的交点在第一象限,当x=1时,$y_1=0,y_2=3$,此时抛物线在反比例函数图象的下方;
当x=2时,$y_1=1,y_2=\frac{3}{2}$,此时抛物线在反比例函数图象的下方;
当x=3时,$y_1=4,y_2=1$,此时抛物线在反比例函数图象的上方;
∴方程$x^3-2x^2+x=3$的实根x所在范围为2＜x＜3.故选 B.

13. (2026·北京期中)小君在课后探究学习中遇到一个函数 $y=\frac{1}{3}x^4 - \frac{4}{3}x^2$.她类比二次函数对其进行探究,请回答下列问题:
(1)函数 $y=\frac{1}{3}x^4 - \frac{4}{3}x^2$ 的自变量 $x$ 在实数范围内的取值范围是 .
(2)小君写出该函数 $x$ 与 $y$ 的部分对应值如下表:

①$m$ 的值为 ;
②小君发现该函数的图象关于 $y$ 轴对称,并用软件画出了该函数在 $x≥0$ 时的图象,请在平面直角坐标系 $xOy$ 中补全该函数的图象.

(3)写出方程 $\frac{1}{3}x^4 - \frac{4}{3}x^2 = -\frac{9}{10}$ 最小的解的近似值是 (精确到0.1).
(4)过点 $(0,n)$ 作垂直于 $y$ 轴的直线 $l$,若直线 $l$ 与函数 $y=\frac{1}{3}x^4 - \frac{4}{3}x^2$ 的图象有两个公共点,则 $n$ 的取值范围是 .

13. (1)所有实数 解析:x取任意值时均有意义,则函数$y=\frac{1}{3}x^4-\frac{4}{3}x^2$的自变量x的取值范围是所有实数.
(2)①$-\frac{5}{16}$ 解析:当$x=-\frac{1}{2}$时,$y=\frac{1}{3}×(-\frac{1}{2})^4-\frac{4}{3}×(-\frac{1}{2})^2=-\frac{5}{16}$.
②补图如图①.

(3)-1.8 解析:令$y=-\frac{9}{10}=-0.9$,如图②.
方程$\frac{1}{3}x^4-\frac{4}{3}x^2=-\frac{9}{10}$最小的解接近-2,
∵当x=-1.7时,$y=\frac{1}{3}×(-1.7)^4-\frac{4}{3}×(-1.7)^2≈-1.07$;
当x=-1.8时,$y=\frac{1}{3}×(-1.8)^4-\frac{4}{3}×(-1.8)^2≈-0.82$;
当x=-1.9时,$y=\frac{1}{3}×(-1.9)^4-\frac{4}{3}×(-1.9)^2≈-0.47$,
∴由图象可知:方程$\frac{1}{3}x^4-\frac{4}{3}x^2=-\frac{9}{10}$最小的解的近似值是-1.8.
(4)$n=-\frac{4}{3}或n＞0$ 解析:$y=\frac{1}{3}x^4-\frac{4}{3}x^2=\frac{1}{3}(x^4-4x^2)=\frac{1}{3}(x^2-2)^2-\frac{4}{3}$,
∴当$x^2=2$,即$x=±\sqrt{2}$时,y有最小值为$-\frac{4}{3}$,如图③.
由图象可知,当$n=-\frac{4}{3}$或n＞0时,直线l与函数$y=\frac{1}{3}x^4-\frac{4}{3}x^2$的图象有两个公共点.