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1.(2025·长沙)如图,AC,BC为⊙O的弦,连接OA,OB,OC.若∠AOB=40°,∠OCA=30°,则∠BCO的度数为 (
A.40°
B.45°
C.50°
D.55°
C
)A.40°
B.45°
C.50°
D.55°
答案
1.C
解析
【分析】
解题时先利用同圆的半径相等得到等腰三角形，首先在△OAC中根据等腰三角形性质和内角和求出∠AOC的度数，再通过角度差求出∠BOC的度数，最后在△OBC中再次利用等腰三角形性质和内角和即可算出∠BCO的度数。
【解析】
∵OA、OC都是⊙O的半径
∴OA=OC，△OAC为等腰三角形
∵∠OCA=30°
∴∠OAC=∠OCA=30°
由三角形内角和为180°得：
∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-30°-30°=120°
∵∠AOB=40°
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=120°-40°=80°
又
∵OB、OC都是⊙O的半径
∴OB=OC，△OBC为等腰三角形
∴∠BCO=∠CBO
则∠BCO=(180°-∠BOC)÷2=(180°-80°)÷2=50°
【答案】
C
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的基础计算类题型，核心是利用同圆半径相等构造等腰三角形，结合角度的和差关系即可求解，是圆相关角度计算的常见考法。
【难度系数】
0.7
解题时先利用同圆的半径相等得到等腰三角形，首先在△OAC中根据等腰三角形性质和内角和求出∠AOC的度数，再通过角度差求出∠BOC的度数，最后在△OBC中再次利用等腰三角形性质和内角和即可算出∠BCO的度数。
【解析】
∵OA、OC都是⊙O的半径
∴OA=OC，△OAC为等腰三角形
∵∠OCA=30°
∴∠OAC=∠OCA=30°
由三角形内角和为180°得：
∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-30°-30°=120°
∵∠AOB=40°
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=120°-40°=80°
又
∵OB、OC都是⊙O的半径
∴OB=OC，△OBC为等腰三角形
∴∠BCO=∠CBO
则∠BCO=(180°-∠BOC)÷2=(180°-80°)÷2=50°
【答案】
C
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的基础计算类题型，核心是利用同圆半径相等构造等腰三角形，结合角度的和差关系即可求解，是圆相关角度计算的常见考法。
【难度系数】
0.7
2.如图，$\odot O$的直径AB为3，B为OD的中点，DC切$\odot O$于点C，则AC的长为（
A.$2$
B.$\sqrt{3}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
D
）A.$2$
B.$\sqrt{3}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
答案
2.D
解析
【分析】
解题时首先根据切线的性质，连接过切点的半径OC，得到直角△OCD；结合已知直径长度和B是OD中点的条件，可求出OC、OD的长度，得到∠COD=60°；接下来连接BC，利用直径所对的圆周角是直角得到Rt△ABC，再证明△OBC是等边三角形得到BC的长度，最后用勾股定理即可求出AC的长。
【解析】
解：连接OC、BC。
∵DC是$\odot O$的切线，C为切点，
∴$OC⊥ CD$，即$∠ OCD=90°$。
∵$\odot O$的直径$AB=3$，
∴半径$OC=OB=OA=\frac{3}{2}$，且直径所对圆周角为直角，即$∠ ACB=90°$。
∵B为OD的中点，
∴$OD=2OB=2×\frac{3}{2}=3$。
在$Rt△ OCD$中，$OC=\frac{3}{2}=\frac{1}{2}OD$，
∴$∠ COD=60°$。
又
∵$OC=OB$，$∠ COD=60°$，
∴$△ OBC$是等边三角形，
∴$BC=OB=\frac{3}{2}$。
在$Rt△ ACB$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{3^2-(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{9-\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中计算的典型题型，综合考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质及勾股定理的应用，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形和等边三角形转化已知条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据切线的性质，连接过切点的半径OC，得到直角△OCD；结合已知直径长度和B是OD中点的条件，可求出OC、OD的长度，得到∠COD=60°；接下来连接BC，利用直径所对的圆周角是直角得到Rt△ABC，再证明△OBC是等边三角形得到BC的长度，最后用勾股定理即可求出AC的长。
【解析】
解：连接OC、BC。
∵DC是$\odot O$的切线，C为切点，
∴$OC⊥ CD$，即$∠ OCD=90°$。
∵$\odot O$的直径$AB=3$，
∴半径$OC=OB=OA=\frac{3}{2}$，且直径所对圆周角为直角，即$∠ ACB=90°$。
∵B为OD的中点，
∴$OD=2OB=2×\frac{3}{2}=3$。
在$Rt△ OCD$中，$OC=\frac{3}{2}=\frac{1}{2}OD$，
∴$∠ COD=60°$。
又
∵$OC=OB$，$∠ COD=60°$，
∴$△ OBC$是等边三角形，
∴$BC=OB=\frac{3}{2}$。
在$Rt△ ACB$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{3^2-(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{9-\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中计算的典型题型，综合考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质及勾股定理的应用，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形和等边三角形转化已知条件。
【难度系数】
0.7
3.(2025·宿迁泗阳县期中)一个圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角为$72°$,则该正多边形的边数是 (
A.4
B.5
C.6
D.7
B
)A.4
B.5
C.6
D.7
答案
3.B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆圆内接正多边形的相关性质：正n边形的所有边所对的圆心角（即正多边形的中心角）大小相等，且所有中心角的和为周角360°。因此要求正多边形的边数，只需要用360°除以单个中心角的度数即可。
【解析】
设该正多边形的边数为n，
∵ 圆内接正n边形的n个中心角的和为360°，且每个中心角相等，
∴ 可得等式：$ n × 72° = 360° $
解得 $ n = 360° ÷ 72° = 5 $
因此该正多边形的边数是5，故选B。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆的关系；正多边形中心角性质
【点评】
本题是基础题型，核心考查正多边形中心角的相关计算，只要掌握正多边形所有中心角之和为360°、单个中心角相等的性质，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先回忆圆内接正多边形的相关性质：正n边形的所有边所对的圆心角（即正多边形的中心角）大小相等，且所有中心角的和为周角360°。因此要求正多边形的边数，只需要用360°除以单个中心角的度数即可。
【解析】
设该正多边形的边数为n，
∵ 圆内接正n边形的n个中心角的和为360°，且每个中心角相等，
∴ 可得等式：$ n × 72° = 360° $
解得 $ n = 360° ÷ 72° = 5 $
因此该正多边形的边数是5，故选B。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆的关系；正多边形中心角性质
【点评】
本题是基础题型，核心考查正多边形中心角的相关计算，只要掌握正多边形所有中心角之和为360°、单个中心角相等的性质，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
4.如图，AB是$\odot O$的弦，半径$OC⊥ AB$于点D，连接AO并延长，交$\odot O$于点E，连接BE，DE。若$DE=3DO$，$AB=6\sqrt{5}$，则$△ ODE$的面积为（
A.9
B.15
C.$\frac{9\sqrt{5}}{2}$
D.$9\sqrt{5}$
C
）A.9
B.15
C.$\frac{9\sqrt{5}}{2}$
D.$9\sqrt{5}$
答案
4.C
解析
【分析】
解题时首先运用垂径定理得到AB的中点D，求出BD的长度；再根据直径所对圆周角为直角，推出BE与OD平行，判断OD是△ABE的中位线，得到BE和OD的数量关系；接着设OD为x，结合DE=3DO的条件，在Rt△BDE中用勾股定理列方程求出x的值；最后根据三角形面积公式计算△ODE的面积即可。
【解析】
1. 由垂径定理，已知半径$OC⊥AB$，$AB=6\sqrt{5}$，因此$AD=BD=\frac{1}{2}AB = 3\sqrt{5}$。
2. 因为AE是$\odot O$的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，故$∠ ABE=90°$，即$EB⊥AB$。
3. 又$OC⊥AB$，因此$OD// BE$，且O是AE的中点，D是AB的中点，所以OD是$△ ABE$的中位线，可得$BE=2OD$。
4. 设$OD=x$，由题意$DE=3DO=3x$，则$BE=2x$。
5. 在$Rt△ BDE$中，根据勾股定理：$BD^2 + BE^2 = DE^2$，代入得：
$(3\sqrt{5})^2 + (2x)^2 = (3x)^2$
化简得：$45 + 4x^2 = 9x^2$，解得$x^2=9$，因为长度为正，所以$x=3$，即$OD=3$。
6. 计算$△ ODE$的面积：直线OC为OD所在直线，点E到OC的距离等于BD的长度$3\sqrt{5}$，因此
$S_{△ ODE}=\frac{1}{2} × OD × BD = \frac{1}{2} × 3 × 3\sqrt{5} = \frac{9\sqrt{5}}{2}$
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础综合题，解题核心是通过圆的性质得到线段间的平行和数量关系，结合勾股定理建立方程求解，需要熟练掌握圆的基本性质和三角形的相关计算方法。
【难度系数】
0.6
解题时首先运用垂径定理得到AB的中点D，求出BD的长度；再根据直径所对圆周角为直角，推出BE与OD平行，判断OD是△ABE的中位线，得到BE和OD的数量关系；接着设OD为x，结合DE=3DO的条件，在Rt△BDE中用勾股定理列方程求出x的值；最后根据三角形面积公式计算△ODE的面积即可。
【解析】
1. 由垂径定理，已知半径$OC⊥AB$，$AB=6\sqrt{5}$，因此$AD=BD=\frac{1}{2}AB = 3\sqrt{5}$。
2. 因为AE是$\odot O$的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，故$∠ ABE=90°$，即$EB⊥AB$。
3. 又$OC⊥AB$，因此$OD// BE$，且O是AE的中点，D是AB的中点，所以OD是$△ ABE$的中位线，可得$BE=2OD$。
4. 设$OD=x$，由题意$DE=3DO=3x$，则$BE=2x$。
5. 在$Rt△ BDE$中，根据勾股定理：$BD^2 + BE^2 = DE^2$，代入得：
$(3\sqrt{5})^2 + (2x)^2 = (3x)^2$
化简得：$45 + 4x^2 = 9x^2$，解得$x^2=9$，因为长度为正，所以$x=3$，即$OD=3$。
6. 计算$△ ODE$的面积：直线OC为OD所在直线，点E到OC的距离等于BD的长度$3\sqrt{5}$，因此
$S_{△ ODE}=\frac{1}{2} × OD × BD = \frac{1}{2} × 3 × 3\sqrt{5} = \frac{9\sqrt{5}}{2}$
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础综合题，解题核心是通过圆的性质得到线段间的平行和数量关系，结合勾股定理建立方程求解，需要熟练掌握圆的基本性质和三角形的相关计算方法。
【难度系数】
0.6
5.(2025·山西)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别以点B,C为圆心、BC的长为半径画弧,与BA,CA的延长线分别交于点D,E.若BC=4,则图中阴影部分的面积为 (
A.$2π - 4$
B.$4π - 4$
C.$8π - 8$
D.$4π - 8$
D
)A.$2π - 4$
B.$4π - 4$
C.$8π - 8$
D.$4π - 8$
答案
5.D
解析
【分析】
要求阴影部分面积，可采用割补法将不规则阴影转化为规则图形面积的和差计算。首先由等腰直角三角形的性质得出∠B、∠C的度数均为45°，再确定两个扇形的圆心角和半径，算出两个扇形的面积之和，最后减去2倍等腰直角△ABC的面积即可得到阴影面积。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°。
已知BC=4，先计算△ABC的面积：
等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，即BC边上的高为2，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×2=4$。
再计算两个扇形的面积之和：
每个扇形的圆心角为45°，半径$r=BC=4$，
单个扇形面积$S_{\mathrm{扇}}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{45π×4^2}{360}=2π$，
则两个扇形面积和为$2×2π=4π$。
观察图形可知，阴影部分面积=两个扇形面积和$-2× S_{△ ABC}$，
∴$S_{\mathrm{阴影}}=4π - 2×4=4π - 8$。
【答案】
D
【知识点】
扇形面积计算，等腰直角三角形性质，割补法求阴影面积
【点评】
本题考查不规则图形的面积计算，解题关键是准确梳理阴影部分与扇形、等腰直角三角形的面积和差关系，熟记扇形及特殊三角形的面积公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分面积，可采用割补法将不规则阴影转化为规则图形面积的和差计算。首先由等腰直角三角形的性质得出∠B、∠C的度数均为45°，再确定两个扇形的圆心角和半径，算出两个扇形的面积之和，最后减去2倍等腰直角△ABC的面积即可得到阴影面积。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°。
已知BC=4，先计算△ABC的面积：
等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，即BC边上的高为2，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×2=4$。
再计算两个扇形的面积之和：
每个扇形的圆心角为45°，半径$r=BC=4$，
单个扇形面积$S_{\mathrm{扇}}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{45π×4^2}{360}=2π$，
则两个扇形面积和为$2×2π=4π$。
观察图形可知，阴影部分面积=两个扇形面积和$-2× S_{△ ABC}$，
∴$S_{\mathrm{阴影}}=4π - 2×4=4π - 8$。
【答案】
D
【知识点】
扇形面积计算，等腰直角三角形性质，割补法求阴影面积
【点评】
本题考查不规则图形的面积计算，解题关键是准确梳理阴影部分与扇形、等腰直角三角形的面积和差关系，熟记扇形及特殊三角形的面积公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
6.(2025·宿迁宿豫区期中)若圆弧所在圆的半径为12,所对的圆心角为$150°$,则这条弧的长为
10π
.答案
6.10π
解析
【分析】
本题要求计算圆弧的弧长，解题时首先回忆弧长的计算公式，明确公式中各参数的含义：n表示圆弧所对的圆心角度数，R表示圆弧所在圆的半径。从题干中提取已知条件：圆心角n=150°，半径R=12，将已知量代入弧长公式，通过化简计算即可得到弧长。
【解析】
解：弧长的计算公式为$ l=\frac{nπ R}{180} $（其中n为圆心角度数，R为圆的半径）。
已知圆心角$ n=150° $，圆的半径$ R=12 $，代入公式得：
$ l=\frac{150×π×12}{180}=10π $
【答案】
10π
【知识点】
弧长计算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查弧长公式的直接应用，解题的关键是熟记弧长公式，代入数值时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.9
本题要求计算圆弧的弧长，解题时首先回忆弧长的计算公式，明确公式中各参数的含义：n表示圆弧所对的圆心角度数，R表示圆弧所在圆的半径。从题干中提取已知条件：圆心角n=150°，半径R=12，将已知量代入弧长公式，通过化简计算即可得到弧长。
【解析】
解：弧长的计算公式为$ l=\frac{nπ R}{180} $（其中n为圆心角度数，R为圆的半径）。
已知圆心角$ n=150° $，圆的半径$ R=12 $，代入公式得：
$ l=\frac{150×π×12}{180}=10π $
【答案】
10π
【知识点】
弧长计算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查弧长公式的直接应用，解题的关键是熟记弧长公式，代入数值时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.9
7.如图，AB是$\odot O$的直径，BD，CD分别是过$\odot O$上点B，C的切线，且$∠ BDC=110°$.连接AC，则$∠ A$的度数是
35°
.答案
7.35°
解析
【分析】
解题时首先结合切线的性质思考：切线垂直于过切点的半径，因此连接辅助线OC，可得OB⊥BD、OC⊥CD；接下来在四边形OBDC中，利用四边形内角和为360°，结合已知∠BDC=110°和两个直角，即可求出圆心角∠BOC的度数；最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，就能求出∠A的度数。
【解析】
解：连接OC，
∵BD、CD分别是过⊙O上点B、C的切线，
∴OB⊥BD，OC⊥CD，即∠OBD=∠OCD=90°，
∵四边形OBDC的内角和为360°，且∠BDC=110°，
∴∠BOC=360° - ∠OBD - ∠OCD - ∠BDC = 360° - 90° - 90° - 110° = 70°，
又
∵∠A是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，
∴∠A = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×70° = 35°。
【答案】
35°
【知识点】
切线的性质；四边形内角和；圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是正确连接辅助线OC，结合切线性质得到直角，再利用圆周角与圆心角的数量关系求解，是圆相关计算的常见典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合切线的性质思考：切线垂直于过切点的半径，因此连接辅助线OC，可得OB⊥BD、OC⊥CD；接下来在四边形OBDC中，利用四边形内角和为360°，结合已知∠BDC=110°和两个直角，即可求出圆心角∠BOC的度数；最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，就能求出∠A的度数。
【解析】
解：连接OC，
∵BD、CD分别是过⊙O上点B、C的切线，
∴OB⊥BD，OC⊥CD，即∠OBD=∠OCD=90°，
∵四边形OBDC的内角和为360°，且∠BDC=110°，
∴∠BOC=360° - ∠OBD - ∠OCD - ∠BDC = 360° - 90° - 90° - 110° = 70°，
又
∵∠A是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，
∴∠A = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×70° = 35°。
【答案】
35°
【知识点】
切线的性质；四边形内角和；圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是正确连接辅助线OC，结合切线性质得到直角，再利用圆周角与圆心角的数量关系求解，是圆相关计算的常见典型题型。
【难度系数】
0.7
8.(2025·成都)如图，$\odot O$的半径为1，A，B，C是$\odot O$上的三个点.若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为
$\frac{π}{6}$
.答案
8.$\frac{π}{6}$
解析
【分析】
首先由圆的半径相等可得OA=OC，结合四边形OABC是平行四边形可推出它是菱形，进而得到△OAB是等边三角形，确定圆心角∠AOB的度数；再根据菱形对边平行的性质，得出点C和点O到AB的距离相等，因此△ABC和△ABO面积相等，可将阴影部分面积转化为扇形OAB的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
1. 证明四边形OABC是菱形：
∵OA、OC均为⊙O的半径，
∴OA=OC，
又
∵四边形OABC是平行四边形，
∴平行四边形OABC是菱形，
∴OA=AB。
2. 求∠AOB的度数：
∵OB也是⊙O的半径，
∴OA=OB=AB，即△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°。
3. 转化阴影面积：
∵菱形OABC中AB//OC，
∴点C和点O到直线AB的距离相等，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABO}$，
因此阴影部分面积$S_{阴影}=S_{弓形AB}+S_{△ ABC}=S_{弓形AB}+S_{△ ABO}=S_{扇形OAB}$。
4. 计算扇形面积：
扇形面积公式为$S=\frac{nπ r^2}{360}$，其中$n=60°$，$r=1$，
代入得$S_{扇形OAB}=\frac{60π×1^2}{360}=\frac{π}{6}$。
【答案】
$\frac{π}{6}$
【知识点】
平行四边形性质，等边三角形判定，扇形面积计算
【点评】
本题核心是用割补法将不规则阴影面积转化为规则扇形面积，解题的关键是结合特殊四边形的性质找到等面积的三角形，完成面积的转化，对几何图形的性质综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
首先由圆的半径相等可得OA=OC，结合四边形OABC是平行四边形可推出它是菱形，进而得到△OAB是等边三角形，确定圆心角∠AOB的度数；再根据菱形对边平行的性质，得出点C和点O到AB的距离相等，因此△ABC和△ABO面积相等，可将阴影部分面积转化为扇形OAB的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
1. 证明四边形OABC是菱形：
∵OA、OC均为⊙O的半径，
∴OA=OC，
又
∵四边形OABC是平行四边形，
∴平行四边形OABC是菱形，
∴OA=AB。
2. 求∠AOB的度数：
∵OB也是⊙O的半径，
∴OA=OB=AB，即△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°。
3. 转化阴影面积：
∵菱形OABC中AB//OC，
∴点C和点O到直线AB的距离相等，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABO}$，
因此阴影部分面积$S_{阴影}=S_{弓形AB}+S_{△ ABC}=S_{弓形AB}+S_{△ ABO}=S_{扇形OAB}$。
4. 计算扇形面积：
扇形面积公式为$S=\frac{nπ r^2}{360}$，其中$n=60°$，$r=1$，
代入得$S_{扇形OAB}=\frac{60π×1^2}{360}=\frac{π}{6}$。
【答案】
$\frac{π}{6}$
【知识点】
平行四边形性质，等边三角形判定，扇形面积计算
【点评】
本题核心是用割补法将不规则阴影面积转化为规则扇形面积，解题的关键是结合特殊四边形的性质找到等面积的三角形，完成面积的转化，对几何图形的性质综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
