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例1 计算下列各题：
(1)$(-2)^2 × 2 + (-4)^2 ÷ 2$；
(2)$24 ÷ (5 - 2^2) + (-3)^3$。
【思路导析】(1)先乘方，再乘除，最后加减；
(2)有括号时先算括号里的。
【请你解答】
(1)$(-2)^2 × 2 + (-4)^2 ÷ 2$；
(2)$24 ÷ (5 - 2^2) + (-3)^3$。
【思路导析】(1)先乘方，再乘除，最后加减；
(2)有括号时先算括号里的。
【请你解答】
答案
解：
(1)
先计算乘方：
$(-2)^2=4$，$(-4)^2=16$
原式$=4×2 + 16÷2$
$=8 + 8$
$=16$
(2)
先计算括号内的运算：
$5-2^2=5-4=1$，再计算乘方：$(-3)^3=-27$
原式$=24÷1 + (-27)$
$=24 - 27$
$=-3$
(1)
先计算乘方：
$(-2)^2=4$，$(-4)^2=16$
原式$=4×2 + 16÷2$
$=8 + 8$
$=16$
(2)
先计算括号内的运算：
$5-2^2=5-4=1$，再计算乘方：$(-3)^3=-27$
原式$=24÷1 + (-27)$
$=24 - 27$
$=-3$
解析
【分析】
这两道题属于有理数混合运算类题目，解题需严格遵循有理数混合运算的优先级：首先计算乘方，其次计算乘除，最后计算加减；如果式子中有括号，要优先计算括号内的运算，括号内的运算同样遵循先乘方后加减的顺序。计算过程中要注意负数乘方的符号判断：负数的偶次幂为正，奇次幂为负，避免符号计算错误。
【解析】
(1) 先计算乘方：
$(-2)^2=4$，$(-4)^2=16$
原式$=4×2 + 16÷2$
$=8 + 8$
$=16$
(2) 先计算括号内的运算，再计算乘方：
括号内：$5-2^2=5-4=1$，乘方：$(-3)^3=-27$
原式$=24÷1 + (-27)$
$=24 - 27$
$=-3$
【答案】
(1) $\boxed{16}$；(2) $\boxed{-3}$
【知识点】
有理数乘方运算；有理数混合运算
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查有理数混合运算的顺序规则，只要牢记运算优先级，注意乘方的符号判断，就能顺利完成计算。
【难度系数】
0.8
这两道题属于有理数混合运算类题目，解题需严格遵循有理数混合运算的优先级：首先计算乘方，其次计算乘除，最后计算加减；如果式子中有括号，要优先计算括号内的运算，括号内的运算同样遵循先乘方后加减的顺序。计算过程中要注意负数乘方的符号判断：负数的偶次幂为正，奇次幂为负，避免符号计算错误。
【解析】
(1) 先计算乘方：
$(-2)^2=4$，$(-4)^2=16$
原式$=4×2 + 16÷2$
$=8 + 8$
$=16$
(2) 先计算括号内的运算，再计算乘方：
括号内：$5-2^2=5-4=1$，乘方：$(-3)^3=-27$
原式$=24÷1 + (-27)$
$=24 - 27$
$=-3$
【答案】
(1) $\boxed{16}$；(2) $\boxed{-3}$
【知识点】
有理数乘方运算；有理数混合运算
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查有理数混合运算的顺序规则，只要牢记运算优先级，注意乘方的符号判断，就能顺利完成计算。
【难度系数】
0.8
例2 仔细观察下列两组数：
第一组:1，4，9，16，25，…
第二组:0，-3，-8，-15，-24，…
(1)第一组数是按什么规律排列的？第二组数与第一组数有什么关系？
(2)取各组第20个数，计算这两个数的和。
【思路导析】第一组数是正整数的平方，第二组数是第一组数减1的相反数。
【请你解答】
第一组:1，4，9，16，25，…
第二组:0，-3，-8，-15，-24，…
(1)第一组数是按什么规律排列的？第二组数与第一组数有什么关系？
(2)取各组第20个数，计算这两个数的和。
【思路导析】第一组数是正整数的平方，第二组数是第一组数减1的相反数。
【请你解答】
答案
解：
(1) 第一组数的排列规律：第n个数（n为正整数）是正整数n的平方，依次为$1^2,2^2,3^2,4^2,5^2,\dots$。
第二组数的对应位置的数，等于第一组数对应位置的数减1的相反数，即第二组第n个数为$-(n^2-1)$。
(2) 第一组第20个数为$20^2=400$，
第二组第20个数为$-(20^2-1)=-(400-1)=-399$，
两数之和为$400+(-399)=1$。
(1) 第一组数的排列规律：第n个数（n为正整数）是正整数n的平方，依次为$1^2,2^2,3^2,4^2,5^2,\dots$。
第二组数的对应位置的数，等于第一组数对应位置的数减1的相反数，即第二组第n个数为$-(n^2-1)$。
(2) 第一组第20个数为$20^2=400$，
第二组第20个数为$-(20^2-1)=-(400-1)=-399$，
两数之和为$400+(-399)=1$。
解析
【分析】
解决第(1)问时，先观察第一组给出的数，发现每个数都等于对应位置序号的平方，即可归纳出第一组数的排列规律；再将第二组每个数和第一组同位置的数对比，通过计算差值、符号即可找到两组数的对应关系。解决第(2)问时，先根据归纳出的规律分别求出两组的第20个数，再按照有理数加法规则计算两数之和即可。
【解析】
(1) 观察第一组数：$1=1^2$，$4=2^2$，$9=3^2$，$16=4^2$，$25=5^2$，因此第一组数的排列规律为：第n个数（n为正整数）是正整数n的平方，即第n个数为$n^2$。
对比两组数同位置的数：
第二组第1个数：$0=-(1^2-1)$，
第二组第2个数：$-3=-(2^2-1)$，
第二组第3个数：$-8=-(3^2-1)$，
……
因此第二组数与第一组数的关系为：第二组第n个数等于第一组对应位置的数减1的相反数，即第二组第n个数为$-(n^2-1)$。
(2) 计算第一组第20个数：当$n=20$时，$20^2=400$；
计算第二组第20个数：当$n=20$时，$-(20^2-1)=-(400-1)=-399$；
两个数的和为：$400+(-399)=1$。
【答案】
(1) 第一组第n个数为$n^2$（n为正整数）；第二组第n个数是第一组对应位置的数减1的相反数，即$-(n^2-1)$（n为正整数）。
(2) 1
【知识点】
数字规律探究，乘方运算，有理数加法
【点评】
本题是规律探究类基础题，主要考查数字观察、归纳总结的能力，解题关键是找到每组数和位置序号的对应关系，计算时注意符号的处理即可。
【难度系数】
0.8
解决第(1)问时，先观察第一组给出的数，发现每个数都等于对应位置序号的平方，即可归纳出第一组数的排列规律；再将第二组每个数和第一组同位置的数对比，通过计算差值、符号即可找到两组数的对应关系。解决第(2)问时，先根据归纳出的规律分别求出两组的第20个数，再按照有理数加法规则计算两数之和即可。
【解析】
(1) 观察第一组数：$1=1^2$，$4=2^2$，$9=3^2$，$16=4^2$，$25=5^2$，因此第一组数的排列规律为：第n个数（n为正整数）是正整数n的平方，即第n个数为$n^2$。
对比两组数同位置的数：
第二组第1个数：$0=-(1^2-1)$，
第二组第2个数：$-3=-(2^2-1)$，
第二组第3个数：$-8=-(3^2-1)$，
……
因此第二组数与第一组数的关系为：第二组第n个数等于第一组对应位置的数减1的相反数，即第二组第n个数为$-(n^2-1)$。
(2) 计算第一组第20个数：当$n=20$时，$20^2=400$；
计算第二组第20个数：当$n=20$时，$-(20^2-1)=-(400-1)=-399$；
两个数的和为：$400+(-399)=1$。
【答案】
(1) 第一组第n个数为$n^2$（n为正整数）；第二组第n个数是第一组对应位置的数减1的相反数，即$-(n^2-1)$（n为正整数）。
(2) 1
【知识点】
数字规律探究，乘方运算，有理数加法
【点评】
本题是规律探究类基础题，主要考查数字观察、归纳总结的能力，解题关键是找到每组数和位置序号的对应关系，计算时注意符号的处理即可。
【难度系数】
0.8
例3 同学们都看过《西游记》，知道孙悟空有七十二般变化，天不怕地不怕，可就怕他师傅唐僧念紧箍咒。唐僧一念紧箍咒，孙悟空就头痛欲裂。有精密仪器测出，当孙悟空感觉头痛时，疼痛系数为10，且疼痛系数越大，头痛得越厉害。疼痛系数的算法如图①所示。
其中$a,b,c,d$是唐僧所念咒语翻译的有理数。某一天，孙悟空又不服管教，唐僧催动咒语(如图②)。请问，这次唐僧能否制服孙悟空？
【思路导析】按算法求$a^2 × c - b^2 × d$的值并将之与10比较大小。
【规范解答】
$\because 6^2 × 1.5 - (-2.9)^2 × 5 = 11.95 ＞ 10,$
$\therefore$这次唐僧能制服孙悟空。
变式探究
计算：$-7^2 + 2 × (-3)^2 + (-6) ÷ (-\dfrac{1}{3})^2.$
其中$a,b,c,d$是唐僧所念咒语翻译的有理数。某一天，孙悟空又不服管教，唐僧催动咒语(如图②)。请问，这次唐僧能否制服孙悟空？
【思路导析】按算法求$a^2 × c - b^2 × d$的值并将之与10比较大小。
【规范解答】
$\because 6^2 × 1.5 - (-2.9)^2 × 5 = 11.95 ＞ 10,$
$\therefore$这次唐僧能制服孙悟空。
变式探究
计算：$-7^2 + 2 × (-3)^2 + (-6) ÷ (-\dfrac{1}{3})^2.$
答案
解：
原式$=-49 + 2×9 + (-6)÷\dfrac{1}{9}$
$=-49 + 18 + (-6)×9$
$=-49 + 18 - 54$
$=-85$
原式$=-49 + 2×9 + (-6)÷\dfrac{1}{9}$
$=-49 + 18 + (-6)×9$
$=-49 + 18 - 54$
$=-85$
解析
【分析】
本题属于有理数混合运算题，解题要严格遵循有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。首先要注意区分$-7^2$和$(-7)^2$的差异，$-7^2$表示$7^2$的相反数，先算出所有乘方项的值，再依次计算乘除部分，最后计算加减部分即可得到结果。
【解析】
按照有理数混合运算顺序逐步计算：
1. 先计算乘方项：
$-7^2=-49$，$(-3)^2=9$，$(-\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{1}{9}$
原式$=-49 + 2×9 + (-6)÷\dfrac{1}{9}$
2. 再计算乘除运算：
$2×9=18$，除以分数等于乘该分数的倒数，因此$(-6)÷\dfrac{1}{9}=(-6)×9=-54$
原式$=-49 + 18 - 54$
3. 最后计算加减运算：
从左到右依次计算，$-49+18=-31$，$-31-54=-85$
【答案】
$-85$
【知识点】
乘方运算、有理数混合运算
【点评】
本题的易错点是对$-7^2$的符号判断错误，以及除法转乘法时符号处理失误，解题时要严格按照运算顺序分步计算，每完成一步都要核查符号是否正确，避免低级错误。
【难度系数】
0.7
本题属于有理数混合运算题，解题要严格遵循有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。首先要注意区分$-7^2$和$(-7)^2$的差异，$-7^2$表示$7^2$的相反数，先算出所有乘方项的值，再依次计算乘除部分，最后计算加减部分即可得到结果。
【解析】
按照有理数混合运算顺序逐步计算：
1. 先计算乘方项：
$-7^2=-49$，$(-3)^2=9$，$(-\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{1}{9}$
原式$=-49 + 2×9 + (-6)÷\dfrac{1}{9}$
2. 再计算乘除运算：
$2×9=18$，除以分数等于乘该分数的倒数，因此$(-6)÷\dfrac{1}{9}=(-6)×9=-54$
原式$=-49 + 18 - 54$
3. 最后计算加减运算：
从左到右依次计算，$-49+18=-31$，$-31-54=-85$
【答案】
$-85$
【知识点】
乘方运算、有理数混合运算
【点评】
本题的易错点是对$-7^2$的符号判断错误，以及除法转乘法时符号处理失误，解题时要严格按照运算顺序分步计算，每完成一步都要核查符号是否正确，避免低级错误。
【难度系数】
0.7
