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10.(1)根据已知条件填空：
①已知$(-1.2)^2=1.44$，那么$(-12)^2=$，$(-0.12)^2=$；
②已知$(-3)^3=-27$，那么$(-30)^3=$，$(-0.3)^3=$.
(2)观察上述计算结果我们可以看出：
①底数的小数点每向左(右)移动一位，它的平方的小数点向左(右)移动位；
②底数的小数点每向左(右)移动一位，它的立方的小数点向左(右)移动位.
①已知$(-1.2)^2=1.44$，那么$(-12)^2=$，$(-0.12)^2=$；
②已知$(-3)^3=-27$，那么$(-30)^3=$，$(-0.3)^3=$.
(2)观察上述计算结果我们可以看出：
①底数的小数点每向左(右)移动一位，它的平方的小数点向左(右)移动位；
②底数的小数点每向左(右)移动一位，它的立方的小数点向左(右)移动位.
答案
(1)① $\boldsymbol{144}$，$\boldsymbol{0.0144}$；② $\boldsymbol{-27000}$，$\boldsymbol{-0.027}$
(2)① $\boldsymbol{2}$；② $\boldsymbol{3}$
(2)① $\boldsymbol{2}$；② $\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
解题时先结合已知的乘方结果，根据底数的变化推导乘方结果的变化来完成(1)的填空：底数的小数点向左或右移动1位，相当于底数除以10或乘10，结合乘方的定义计算变化后的乘方结果；再观察(1)的所有计算结果，归纳底数小数点移动位数与平方、立方结果小数点移动位数的对应规律，即可完成(2)的填空。
【解析】
(1)① 已知$(-1.2)^2=1.44$：
$(-12)^2=(-1.2×10)^2=(-1.2)^2×10^2=1.44×100=144$
$(-0.12)^2=(-1.2÷10)^2=(-1.2)^2÷10^2=1.44÷100=0.0144$
② 已知$(-3)^3=-27$：
$(-30)^3=(-3×10)^3=(-3)^3×10^3=-27×1000=-27000$
$(-0.3)^3=(-3÷10)^3=(-3)^3÷10^3=-27÷1000=-0.027$
(2)观察上述计算结果归纳规律：
① 底数的小数点每向左(右)移动一位，它的平方的小数点向左(右)移动2位；
② 底数的小数点每向左(右)移动一位，它的立方的小数点向左(右)移动3位。
【答案】
(1)① $\boldsymbol{144}$，$\boldsymbol{0.0144}$；② $\boldsymbol{-27000}$，$\boldsymbol{-0.027}$
(2)① $\boldsymbol{2}$；② $\boldsymbol{3}$
【知识点】
有理数乘方运算、小数点移动规律、规律归纳探究
【点评】
本题考查乘方的基础运算和观察归纳能力，通过对比底数与乘方结果的小数点变化关联，帮助理解乘方运算中底数倍数变化对结果的影响，属于乘方的基础应用型题目。
【难度系数】
0.85
解题时先结合已知的乘方结果，根据底数的变化推导乘方结果的变化来完成(1)的填空：底数的小数点向左或右移动1位，相当于底数除以10或乘10，结合乘方的定义计算变化后的乘方结果；再观察(1)的所有计算结果，归纳底数小数点移动位数与平方、立方结果小数点移动位数的对应规律，即可完成(2)的填空。
【解析】
(1)① 已知$(-1.2)^2=1.44$：
$(-12)^2=(-1.2×10)^2=(-1.2)^2×10^2=1.44×100=144$
$(-0.12)^2=(-1.2÷10)^2=(-1.2)^2÷10^2=1.44÷100=0.0144$
② 已知$(-3)^3=-27$：
$(-30)^3=(-3×10)^3=(-3)^3×10^3=-27×1000=-27000$
$(-0.3)^3=(-3÷10)^3=(-3)^3÷10^3=-27÷1000=-0.027$
(2)观察上述计算结果归纳规律：
① 底数的小数点每向左(右)移动一位，它的平方的小数点向左(右)移动2位；
② 底数的小数点每向左(右)移动一位，它的立方的小数点向左(右)移动3位。
【答案】
(1)① $\boldsymbol{144}$，$\boldsymbol{0.0144}$；② $\boldsymbol{-27000}$，$\boldsymbol{-0.027}$
(2)① $\boldsymbol{2}$；② $\boldsymbol{3}$
【知识点】
有理数乘方运算、小数点移动规律、规律归纳探究
【点评】
本题考查乘方的基础运算和观察归纳能力，通过对比底数与乘方结果的小数点变化关联，帮助理解乘方运算中底数倍数变化对结果的影响，属于乘方的基础应用型题目。
【难度系数】
0.85
11.有一张厚度为0.1 mm的纸，将它对折一次后，厚度为$2×0.1$ mm.
(1)对折2次后，厚度为多少毫米？
(2)对折10次后，厚度为多少毫米？
(1)对折2次后，厚度为多少毫米？
(2)对折10次后，厚度为多少毫米？
答案
解：
(1) 对折2次后，厚度为：
$2^2 × 0.1 = 4 × 0.1 = 0.4\ (\mathrm{mm})$
(2) 对折10次后，厚度为：
$2^{10} × 0.1 = 1024 × 0.1 = 102.4\ (\mathrm{mm})$
答：(1) 对折2次后，厚度为0.4毫米；(2) 对折10次后，厚度为102.4毫米。
(1) 对折2次后，厚度为：
$2^2 × 0.1 = 4 × 0.1 = 0.4\ (\mathrm{mm})$
(2) 对折10次后，厚度为：
$2^{10} × 0.1 = 1024 × 0.1 = 102.4\ (\mathrm{mm})$
答：(1) 对折2次后，厚度为0.4毫米；(2) 对折10次后，厚度为102.4毫米。
解析
【分析】
解题前先找对折次数和厚度的规律：每对折1次，纸的厚度就变为原来的2倍。对折1次厚度为$2^1×0.1\ \mathrm{mm}$，对折2次厚度为$2^2×0.1\ \mathrm{mm}$，以此类推，对折n次的厚度为$2^n×0.1\ \mathrm{mm}$。因此只需将对折次数代入该规律式，结合乘方运算就能求出对应厚度。
【解析】
(1) 对折2次后，厚度为：
$2^2 × 0.1 = 4 × 0.1 = 0.4\ (\mathrm{mm})$
(2) 对折10次后，厚度为：
$2^{10} × 0.1 = 1024 × 0.1 = 102.4\ (\mathrm{mm})$
答：(1) 对折2次后，厚度为0.4毫米；(2) 对折10次后，厚度为102.4毫米。
【答案】
(1) 0.4毫米；(2) 102.4毫米
【知识点】
1. 乘方的意义
2. 乘方的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查乘方的应用，解题关键是归纳出对折次数与厚度的倍增规律，掌握基础的乘方运算即可顺利求解，同时能直观感受到乘方增长速度快的特点。
【难度系数】
0.8
解题前先找对折次数和厚度的规律：每对折1次，纸的厚度就变为原来的2倍。对折1次厚度为$2^1×0.1\ \mathrm{mm}$，对折2次厚度为$2^2×0.1\ \mathrm{mm}$，以此类推，对折n次的厚度为$2^n×0.1\ \mathrm{mm}$。因此只需将对折次数代入该规律式，结合乘方运算就能求出对应厚度。
【解析】
(1) 对折2次后，厚度为：
$2^2 × 0.1 = 4 × 0.1 = 0.4\ (\mathrm{mm})$
(2) 对折10次后，厚度为：
$2^{10} × 0.1 = 1024 × 0.1 = 102.4\ (\mathrm{mm})$
答：(1) 对折2次后，厚度为0.4毫米；(2) 对折10次后，厚度为102.4毫米。
【答案】
(1) 0.4毫米；(2) 102.4毫米
【知识点】
1. 乘方的意义
2. 乘方的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查乘方的应用，解题关键是归纳出对折次数与厚度的倍增规律，掌握基础的乘方运算即可顺利求解，同时能直观感受到乘方增长速度快的特点。
【难度系数】
0.8
12.给出下列两组算式：
$(4 × 5)^2$与$4^2 × 5^2$；
$[ (-\dfrac{1}{3}) × 9 ]^3$与$(-\dfrac{1}{3})^3 × 9^3$。
(1)每组的结果相等吗？
(2)想一想:当$n$是正整数时，$(a · b)^n =$；
(3)用你发现的规律计算：
$(-0.125)^{20} × 8^{20}$。
$(4 × 5)^2$与$4^2 × 5^2$；
$[ (-\dfrac{1}{3}) × 9 ]^3$与$(-\dfrac{1}{3})^3 × 9^3$。
(1)每组的结果相等吗？
(2)想一想:当$n$是正整数时，$(a · b)^n =$；
(3)用你发现的规律计算：
$(-0.125)^{20} × 8^{20}$。
答案
解：
(1) 计算第一组算式：
$(4×5)^2 = 20^2 = 400$
$4^2×5^2 = 16×25 = 400$
可得$(4×5)^2 = 4^2×5^2$。
计算第二组算式：
$[(-\dfrac{1}{3})×9]^3 = (-3)^3 = -27$
$(-\dfrac{1}{3})^3×9^3 = -\dfrac{1}{27}×729 = -27$
可得$[(-\dfrac{1}{3})×9]^3 = (-\dfrac{1}{3})^3×9^3$。
因此每组的结果相等。
(2) $a^n·b^n$
(3) $(-0.125)^{20}×8^{20}$
$=(-0.125×8)^{20}$
$=(-1)^{20}$
$=1$
(1) 计算第一组算式：
$(4×5)^2 = 20^2 = 400$
$4^2×5^2 = 16×25 = 400$
可得$(4×5)^2 = 4^2×5^2$。
计算第二组算式：
$[(-\dfrac{1}{3})×9]^3 = (-3)^3 = -27$
$(-\dfrac{1}{3})^3×9^3 = -\dfrac{1}{27}×729 = -27$
可得$[(-\dfrac{1}{3})×9]^3 = (-\dfrac{1}{3})^3×9^3$。
因此每组的结果相等。
(2) $a^n·b^n$
(3) $(-0.125)^{20}×8^{20}$
$=(-0.125×8)^{20}$
$=(-1)^{20}$
$=1$
解析
【分析】
解决本题可分三步思考：第一步解决第(1)问，按照有理数运算顺序，分别计算每组两个算式的结果，对比结果是否相等即可；第二步解决第(2)问，从第(1)问的特殊例子出发，由特殊到一般，将具体数字替换为字母a、b，正整数n，归纳得出积的乘方的运算公式；第三步解决第(3)问，观察算式发现两个乘方的指数相同，可逆用第(2)问得到的规律，先计算底数的乘积，再计算乘方，简化计算过程。
【解析】
(1) 计算第一组算式：
$(4×5)^2 = 20^2 = 400$
$4^2×5^2 = 16×25 = 400$
因此$(4×5)^2 = 4^2×5^2$。
计算第二组算式：
$[(-\dfrac{1}{3})×9]^3 = (-3)^3 = -27$
$(-\dfrac{1}{3})^3×9^3 = -\dfrac{1}{27}×729 = -27$
因此$[(-\dfrac{1}{3})×9]^3 = (-\dfrac{1}{3})^3×9^3$。
综上，每组的结果相等。
(2) 根据(1)中的规律可得，当n是正整数时，$(a·b)^n = a^n·b^n$。
(3) 逆用上述规律计算：
$(-0.125)^{20}×8^{20}$
$=(-0.125×8)^{20}$
$=(-1)^{20}$
$=1$
【答案】
(1) 每组的结果相等；
(2) $a^n·b^n$；
(3) $1$
【知识点】
乘方运算，积的乘方规律，有理数乘法
【点评】
本题以具体算式为载体，引导学生经历计算对比、归纳规律、应用规律的过程，既考查了基础的乘方、乘法运算能力，又培养了从特殊到一般的归纳推理能力，以及灵活运用规律简化运算的意识。
【难度系数】
0.8
解决本题可分三步思考：第一步解决第(1)问，按照有理数运算顺序，分别计算每组两个算式的结果，对比结果是否相等即可；第二步解决第(2)问，从第(1)问的特殊例子出发，由特殊到一般，将具体数字替换为字母a、b，正整数n，归纳得出积的乘方的运算公式；第三步解决第(3)问，观察算式发现两个乘方的指数相同，可逆用第(2)问得到的规律，先计算底数的乘积，再计算乘方，简化计算过程。
【解析】
(1) 计算第一组算式：
$(4×5)^2 = 20^2 = 400$
$4^2×5^2 = 16×25 = 400$
因此$(4×5)^2 = 4^2×5^2$。
计算第二组算式：
$[(-\dfrac{1}{3})×9]^3 = (-3)^3 = -27$
$(-\dfrac{1}{3})^3×9^3 = -\dfrac{1}{27}×729 = -27$
因此$[(-\dfrac{1}{3})×9]^3 = (-\dfrac{1}{3})^3×9^3$。
综上，每组的结果相等。
(2) 根据(1)中的规律可得，当n是正整数时，$(a·b)^n = a^n·b^n$。
(3) 逆用上述规律计算：
$(-0.125)^{20}×8^{20}$
$=(-0.125×8)^{20}$
$=(-1)^{20}$
$=1$
【答案】
(1) 每组的结果相等；
(2) $a^n·b^n$；
(3) $1$
【知识点】
乘方运算，积的乘方规律，有理数乘法
【点评】
本题以具体算式为载体，引导学生经历计算对比、归纳规律、应用规律的过程，既考查了基础的乘方、乘法运算能力，又培养了从特殊到一般的归纳推理能力，以及灵活运用规律简化运算的意识。
【难度系数】
0.8
13.阅读材料：
求 $1+2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{245}$ 的值.
解:设 $S=1+2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{245}$,①
将等式两边同乘2,得
$2S=2+2^2+2^3+2^4+2^5+\dots+2^{245}+2^{246}$.②
②−①,得 $S=2^{246}-1$.
所以 $1+2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{245}=2^{246}-1$.
请你仿照上述方法计算:
(1)$1+5+5^2+5^3+\dots+5^{10}$;
(2)$\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\dots+\frac{1}{3^{19}}$.
求 $1+2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{245}$ 的值.
解:设 $S=1+2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{245}$,①
将等式两边同乘2,得
$2S=2+2^2+2^3+2^4+2^5+\dots+2^{245}+2^{246}$.②
②−①,得 $S=2^{246}-1$.
所以 $1+2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{245}=2^{246}-1$.
请你仿照上述方法计算:
(1)$1+5+5^2+5^3+\dots+5^{10}$;
(2)$\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\dots+\frac{1}{3^{19}}$.
答案
解：
(1) 设$S=1+5+5^2+5^3+\dots+5^{10}$，①
将等式两边同乘5，得
$5S=5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{10}+5^{11}$，②
②$-$①，得$4S=5^{11}-1$，
所以$S=\dfrac{5^{11}-1}{4}$，
即$1+5+5^2+5^3+\dots+5^{10}=\dfrac{5^{11}-1}{4}$。
(2) 设$S=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}+\dots+\dfrac{1}{3^{19}}$，①
将等式两边同乘3，得
$3S=1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+\dots+\dfrac{1}{3^{18}}$，②
②$-$①，得$2S=1-\dfrac{1}{3^{19}}$，
所以$S=\dfrac{1}{2}(1-\dfrac{1}{3^{19}})=\dfrac{3^{19}-1}{2×3^{19}}$，
即$\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}+\dots+\dfrac{1}{3^{19}}=\dfrac{3^{19}-1}{2·3^{19}}$。
(1) 设$S=1+5+5^2+5^3+\dots+5^{10}$，①
将等式两边同乘5，得
$5S=5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{10}+5^{11}$，②
②$-$①，得$4S=5^{11}-1$，
所以$S=\dfrac{5^{11}-1}{4}$，
即$1+5+5^2+5^3+\dots+5^{10}=\dfrac{5^{11}-1}{4}$。
(2) 设$S=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}+\dots+\dfrac{1}{3^{19}}$，①
将等式两边同乘3，得
$3S=1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+\dots+\dfrac{1}{3^{18}}$，②
②$-$①，得$2S=1-\dfrac{1}{3^{19}}$，
所以$S=\dfrac{1}{2}(1-\dfrac{1}{3^{19}})=\dfrac{3^{19}-1}{2×3^{19}}$，
即$\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}+\dots+\dfrac{1}{3^{19}}=\dfrac{3^{19}-1}{2·3^{19}}$。
解析
【分析】
这是一道材料模仿型的求和计算题，解题核心是运用材料给出的“错位相消法”。首先观察待求式子的规律：每一项都是前一项乘同一个固定的数（第(1)题是乘5，第(2)题是乘$\frac{1}{3}$）。解题时先仿照材料设待求式子的总和为S，再将等式两边同乘这个固定的倍数，得到另一个等式，把两个等式相减就能消去大部分相同的中间项，只剩下首尾几项，最后整理计算就能求出S也就是原式的结果。
【解析】
(1) 设$S=1+5+5^2+5^3+\dots+5^{10}$，①
将等式两边同时乘5，得
$5S=5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{10}+5^{11}$，②
用②式减去①式，得$5S - S = 5^{11} - 1$，即$4S=5^{11}-1$，
解得$S=\dfrac{5^{11}-1}{4}$。
(2) 设$S=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}+\dots+\dfrac{1}{3^{19}}$，①
将等式两边同时乘3，得
$3S=1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+\dots+\dfrac{1}{3^{18}}$，②
用②式减去①式，得$3S - S = 1 - \dfrac{1}{3^{19}}$，即$2S=1-\dfrac{1}{3^{19}}$，
解得$S=\dfrac{1}{2}(1-\dfrac{1}{3^{19}})=\dfrac{3^{19}-1}{2×3^{19}}$。
【答案】
(1)$\dfrac{5^{11}-1}{4}$；(2)$\dfrac{3^{19}-1}{2×3^{19}}$
【知识点】
乘方运算；错位相减求和；有理数巧算
【点评】
本题属于阅读模仿类题型，主要考察对给定解题方法的理解和迁移应用能力，关键是找准式子中相邻两项的倍数关系，按照材料给出的步骤操作即可快速求解，能有效锻炼类比思维和运算能力。
【难度系数】
0.7
这是一道材料模仿型的求和计算题，解题核心是运用材料给出的“错位相消法”。首先观察待求式子的规律：每一项都是前一项乘同一个固定的数（第(1)题是乘5，第(2)题是乘$\frac{1}{3}$）。解题时先仿照材料设待求式子的总和为S，再将等式两边同乘这个固定的倍数，得到另一个等式，把两个等式相减就能消去大部分相同的中间项，只剩下首尾几项，最后整理计算就能求出S也就是原式的结果。
【解析】
(1) 设$S=1+5+5^2+5^3+\dots+5^{10}$，①
将等式两边同时乘5，得
$5S=5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{10}+5^{11}$，②
用②式减去①式，得$5S - S = 5^{11} - 1$，即$4S=5^{11}-1$，
解得$S=\dfrac{5^{11}-1}{4}$。
(2) 设$S=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}+\dots+\dfrac{1}{3^{19}}$，①
将等式两边同时乘3，得
$3S=1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+\dots+\dfrac{1}{3^{18}}$，②
用②式减去①式，得$3S - S = 1 - \dfrac{1}{3^{19}}$，即$2S=1-\dfrac{1}{3^{19}}$，
解得$S=\dfrac{1}{2}(1-\dfrac{1}{3^{19}})=\dfrac{3^{19}-1}{2×3^{19}}$。
【答案】
(1)$\dfrac{5^{11}-1}{4}$；(2)$\dfrac{3^{19}-1}{2×3^{19}}$
【知识点】
乘方运算；错位相减求和；有理数巧算
【点评】
本题属于阅读模仿类题型，主要考察对给定解题方法的理解和迁移应用能力，关键是找准式子中相邻两项的倍数关系，按照材料给出的步骤操作即可快速求解，能有效锻炼类比思维和运算能力。
【难度系数】
0.7
