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14 整理与复习
知识梳理
专题探究
知识梳理
专题探究
答案
①去括号 ②移项 ③合并同类项 ④未知数的系数化为1 ⑤等量关系 ⑥相遇
解析
【分析】
本题需要结合一元一次方程的相关基础知识逐一填空：首先回忆一元一次方程的标准解法步骤，按顺序为去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数系数化为1，即可确定①②③④的内容；再回忆一元一次方程实际应用的流程，列方程的前提是找到题目中的等量关系，可确定⑤的内容；最后回忆行程问题的常见分类，即可确定⑥的内容。
【解析】
1. 一元一次方程的解法按顺序为：去分母→去括号→移项→合并同类项→将未知数的系数化为1，因此①填去括号，②填移项，③填合并同类项，④填未知数的系数化为1。
2. 用一元一次方程解决实际问题时，首先需要从题干中寻找等量关系，再根据等量关系列方程，后续再解方程、验证，因此⑤填等量关系。
3. 行程问题的常见类型为相遇问题和追及问题，因此⑥填相遇。
【答案】
①去括号 ②移项 ③合并同类项 ④未知数的系数化为1 ⑤等量关系 ⑥相遇
【知识点】
一元一次方程的解法；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于一元一次方程章节的知识梳理题，能够帮助学生构建完整的知识体系，理清本章节核心知识点的逻辑关系，是后续解决方程类题目的基础，需熟练记忆相关内容。
【难度系数】
0.9
本题需要结合一元一次方程的相关基础知识逐一填空：首先回忆一元一次方程的标准解法步骤，按顺序为去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数系数化为1，即可确定①②③④的内容；再回忆一元一次方程实际应用的流程，列方程的前提是找到题目中的等量关系，可确定⑤的内容；最后回忆行程问题的常见分类，即可确定⑥的内容。
【解析】
1. 一元一次方程的解法按顺序为：去分母→去括号→移项→合并同类项→将未知数的系数化为1，因此①填去括号，②填移项，③填合并同类项，④填未知数的系数化为1。
2. 用一元一次方程解决实际问题时，首先需要从题干中寻找等量关系，再根据等量关系列方程，后续再解方程、验证，因此⑤填等量关系。
3. 行程问题的常见类型为相遇问题和追及问题，因此⑥填相遇。
【答案】
①去括号 ②移项 ③合并同类项 ④未知数的系数化为1 ⑤等量关系 ⑥相遇
【知识点】
一元一次方程的解法；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于一元一次方程章节的知识梳理题，能够帮助学生构建完整的知识体系，理清本章节核心知识点的逻辑关系，是后续解决方程类题目的基础，需熟练记忆相关内容。
【难度系数】
0.9
1. 解方程：$\frac{1}{2}(2x - 1) + \frac{1}{6}(2x - 1) = -\frac{1}{3}(2x - 1) + 9$。
答案
1. $x=5$
解析
【分析】观察方程可发现所有项都含有相同因式$(2x-1)$，可将$(2x-1)$看作一个整体简化运算，避免直接去括号带来的复杂分数计算。首先把含$(2x-1)$的项全部移到等号左侧，合并同类项后得到简易的一元一次方程，再按照移项、系数化为1的常规步骤求解即可。
【解析】
解：将$(2x-1)$看作整体，移项得：
$\frac{1}{2}(2x - 1) + \frac{1}{6}(2x - 1) + \frac{1}{3}(2x - 1) = 9$
合并同类项，计算左侧系数的和：
$(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3})(2x-1)=9$
通分计算得$\frac{3+1+2}{6}(2x-1)=9$，即$2x-1=9$
移项得：$2x=9+1=10$
系数化为1得：$x=5$
【答案】$x=5$
【知识点】一元一次方程求解；整体思想运用；合并同类项
【点评】本题属于一元一次方程的变式计算题，解题时优先观察方程结构特征，选用整体法可大幅减少计算量，降低分数运算的出错概率，提升解题效率。
【难度系数】0.7
【解析】
解：将$(2x-1)$看作整体，移项得：
$\frac{1}{2}(2x - 1) + \frac{1}{6}(2x - 1) + \frac{1}{3}(2x - 1) = 9$
合并同类项，计算左侧系数的和：
$(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3})(2x-1)=9$
通分计算得$\frac{3+1+2}{6}(2x-1)=9$，即$2x-1=9$
移项得：$2x=9+1=10$
系数化为1得：$x=5$
【答案】$x=5$
【知识点】一元一次方程求解；整体思想运用；合并同类项
【点评】本题属于一元一次方程的变式计算题，解题时优先观察方程结构特征，选用整体法可大幅减少计算量，降低分数运算的出错概率，提升解题效率。
【难度系数】0.7
2.解方程:$2(x+1)-\frac{1}{2}(x-1)=2(x-1)+\frac{1}{2}(x+1)$。
答案
2. $x=4$
解析
【分析】
观察方程可以发现左右两边均含有$(x+1)$和$(x-1)$的同类整式项，有两种常见解题思路：思路一：先将含$(x+1)$的项全部移到方程左边，含$(x-1)$的项全部移到方程右边，合并同类项后再去括号计算，可简化运算步骤；思路二：按解一元一次方程的常规步骤，先去分母消去分数，再依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解，注意移项时要改变符号，去括号时不要漏乘括号内的项。
【解析】
按常规步骤求解如下：
1. 去分母：方程两边同时乘以2，消去分母，得
$4(x+1) - (x-1) = 4(x-1) + (x+1)$
2. 去括号：根据去括号法则展开，得
$4x + 4 - x + 1 = 4x - 4 + x + 1$
3. 合并同类项：左右两边分别合并同类项，得
$3x + 5 = 5x - 3$
4. 移项：将含$x$的项移到左边，常数项移到右边，移项需变号，得
$3x - 5x = -3 - 5$
5. 合并同类项，得
$-2x = -8$
6. 系数化为1：两边同时除以$-2$，得
$x = 4$
【答案】
$x=4$
【知识点】
一元一次方程的解法、移项法则、去括号与去分母
【点评】
本题考查一元一次方程的求解，解题时可先观察方程结构，选择更简便的运算方法降低计算出错率，计算时需注意移项要变号，去括号时不要漏乘括号内的每一项，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
观察方程可以发现左右两边均含有$(x+1)$和$(x-1)$的同类整式项，有两种常见解题思路：思路一：先将含$(x+1)$的项全部移到方程左边，含$(x-1)$的项全部移到方程右边，合并同类项后再去括号计算，可简化运算步骤；思路二：按解一元一次方程的常规步骤，先去分母消去分数，再依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解，注意移项时要改变符号，去括号时不要漏乘括号内的项。
【解析】
按常规步骤求解如下：
1. 去分母：方程两边同时乘以2，消去分母，得
$4(x+1) - (x-1) = 4(x-1) + (x+1)$
2. 去括号：根据去括号法则展开，得
$4x + 4 - x + 1 = 4x - 4 + x + 1$
3. 合并同类项：左右两边分别合并同类项，得
$3x + 5 = 5x - 3$
4. 移项：将含$x$的项移到左边，常数项移到右边，移项需变号，得
$3x - 5x = -3 - 5$
5. 合并同类项，得
$-2x = -8$
6. 系数化为1：两边同时除以$-2$，得
$x = 4$
【答案】
$x=4$
【知识点】
一元一次方程的解法、移项法则、去括号与去分母
【点评】
本题考查一元一次方程的求解，解题时可先观察方程结构，选择更简便的运算方法降低计算出错率，计算时需注意移项要变号，去括号时不要漏乘括号内的每一项，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
3.如图所示的是由6个正方形拼成的长方形，若中间最小的正方形的边长为1，则拼成的长方形的面积是
143
。答案
3. 143
解析
【分析】
解决本题的核心是利用数形结合思想，通过设未知数表示各正方形边长，再找到等量关系列方程求解。首先观察图形特征：6个正方形拼接成长方形，最小正方形边长为1，我们可以设右下角两个相同的小正方形边长为x，依次推导出其他正方形的边长，再利用同一正方形边长相等的性质列方程，求出未知数后计算长方形的长和宽，最终得到面积。
【解析】
解：设右下角的正方形边长为$ x $。
根据图形中各正方形的边长关系：
左下角正方形边长为$ x+1 $，左上角正方形边长为$ x+2 $，右上角正方形边长可表示为$ x+3 $，也可表示为$ 2x-1 $（由下方两个边长为$ x $的正方形边长和减去最小正方形边长1得到）。
根据同一正方形边长相等，列方程：
$ x + 3 = 2x - 1 $
解得$ x = 4 $
则长方形的长为：$ x + x + (x + 1) = 4 + 4 + 5 = 13 $
长方形的宽为：$ (x + 2) + (x + 1) = 6 + 5 = 11 $
长方形面积：$ 13 × 11 = 143 $
【答案】
143
【知识点】
一元一次方程的应用，正方形的性质，长方形的性质
【点评】
本题将几何图形边长关系与一元一次方程结合，解题关键是找准等量关系建立方程，能够有效考察学生的观察能力和数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是利用数形结合思想，通过设未知数表示各正方形边长，再找到等量关系列方程求解。首先观察图形特征：6个正方形拼接成长方形，最小正方形边长为1，我们可以设右下角两个相同的小正方形边长为x，依次推导出其他正方形的边长，再利用同一正方形边长相等的性质列方程，求出未知数后计算长方形的长和宽，最终得到面积。
【解析】
解：设右下角的正方形边长为$ x $。
根据图形中各正方形的边长关系：
左下角正方形边长为$ x+1 $，左上角正方形边长为$ x+2 $，右上角正方形边长可表示为$ x+3 $，也可表示为$ 2x-1 $（由下方两个边长为$ x $的正方形边长和减去最小正方形边长1得到）。
根据同一正方形边长相等，列方程：
$ x + 3 = 2x - 1 $
解得$ x = 4 $
则长方形的长为：$ x + x + (x + 1) = 4 + 4 + 5 = 13 $
长方形的宽为：$ (x + 2) + (x + 1) = 6 + 5 = 11 $
长方形面积：$ 13 × 11 = 143 $
【答案】
143
【知识点】
一元一次方程的应用，正方形的性质，长方形的性质
【点评】
本题将几何图形边长关系与一元一次方程结合，解题关键是找准等量关系建立方程，能够有效考察学生的观察能力和数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.6
4.如图,在长方形ABCD中,AD=BC=12 cm,AB=DC=8 cm。动点P从点A出发沿AD向点D运动,速度是1 cm/s,动点Q从点C出发沿CB向点B运动,当到达点B后继续沿BA向点A运动,速度是3 cm/s。P,Q两点同时出发,并开始计时,设运动的时间是t s。
(1)当点Q在线段CB上运动,t为何值时,PD=CQ?
(2)当点Q在线段BA上运动,t为何值时,AP=AQ?
(3)当点Q在线段CB上运动,t为何值时,四边形PQCD的面积是长方形ABCD面积的$\frac{2}{3}$?
(1)当点Q在线段CB上运动,t为何值时,PD=CQ?
(2)当点Q在线段BA上运动,t为何值时,AP=AQ?
(3)当点Q在线段CB上运动,t为何值时,四边形PQCD的面积是长方形ABCD面积的$\frac{2}{3}$?
答案
4. 解:(1)由 $PD=CQ$,
得 $12-t=3t$,
即 $4t=12$,
解得 $t=3$。
(2)由 $AP=AQ$,
得 $t=12+8-3t$,
即 $4t=20$,
解得 $t=5$。
(3)由 $S_{四边形PQCD}=\frac{2}{3}S_{长方形ABCD}$,
得 $\frac{1}{2}×(12-t+3t)×8=\frac{2}{3}×12×8$,
即 $6+t=8$,
解得 $t=2$。
得 $12-t=3t$,
即 $4t=12$,
解得 $t=3$。
(2)由 $AP=AQ$,
得 $t=12+8-3t$,
即 $4t=20$,
解得 $t=5$。
(3)由 $S_{四边形PQCD}=\frac{2}{3}S_{长方形ABCD}$,
得 $\frac{1}{2}×(12-t+3t)×8=\frac{2}{3}×12×8$,
即 $6+t=8$,
解得 $t=2$。
解析
【分析】
(1) 首先明确Q在CB上运动时，CQ的长度为速度乘时间即3t，PD为AD减去AP的长度，AP是t，因此PD=12-t，根据PD=CQ的等量关系列一元一次方程即可求解。
(2) Q在BA上运动时，Q先走完CB段的12cm再沿BA运动，总路程为3t，因此Q在BA上走的路程为3t-12，AQ的长度为AB减去这段路程即20-3t，AP长度为t，根据AP=AQ列方程求解即可。
(3) Q在CB上时，四边形PQCD是梯形，上底PD=12-t，下底CQ=3t，高为长方形的宽8cm，先计算长方形总面积，再根据四边形PQCD面积是长方形的$\frac{2}{3}$的等量关系，代入梯形面积公式列方程求解。
【解析】
(1) 当Q在线段CB上时，$AP=t\ \mathrm{cm}$，$CQ=3t\ \mathrm{cm}$，$PD=AD-AP=(12-t)\ \mathrm{cm}$。
由$PD=CQ$列方程：
$12-t=3t$
移项得$4t=12$
解得$t=3$。
(2) 当Q在线段BA上时，Q运动总路程为$3t\ \mathrm{cm}$，在BA上运动的路程为$(3t-12)\ \mathrm{cm}$，因此$AQ=AB-(3t-12)=(20-3t)\ \mathrm{cm}$，$AP=t\ \mathrm{cm}$。
由$AP=AQ$列方程：
$t=20-3t$
移项得$4t=20$
解得$t=5$。
(3) 当Q在线段CB上时，四边形PQCD为梯形，上底$PD=(12-t)\ \mathrm{cm}$，下底$CQ=3t\ \mathrm{cm}$，高$CD=8\ \mathrm{cm}$。
长方形$ABCD$的面积为$12×8=96\ \mathrm{cm}^2$，因此四边形$PQCD$的面积为$\frac{2}{3}×96=64\ \mathrm{cm}^2$。
根据梯形面积公式列方程：
$\frac{1}{2}×(12-t+3t)×8=64$
化简得$4×(12+2t)=64$，即$12+2t=16$
解得$t=2$。
【答案】
(1)$t=3$；(2)$t=5$；(3)$t=2$
【知识点】
一元一次方程应用；动点问题求解；梯形面积计算
【点评】
本题是典型的动点结合方程的应用题，解题核心是结合动点的运动范围，准确用含t的代数式表示对应线段长度，再根据题干给出的等量关系列方程求解，考查了数形结合的思想，理清动点的运动阶段即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确Q在CB上运动时，CQ的长度为速度乘时间即3t，PD为AD减去AP的长度，AP是t，因此PD=12-t，根据PD=CQ的等量关系列一元一次方程即可求解。
(2) Q在BA上运动时，Q先走完CB段的12cm再沿BA运动，总路程为3t，因此Q在BA上走的路程为3t-12，AQ的长度为AB减去这段路程即20-3t，AP长度为t，根据AP=AQ列方程求解即可。
(3) Q在CB上时，四边形PQCD是梯形，上底PD=12-t，下底CQ=3t，高为长方形的宽8cm，先计算长方形总面积，再根据四边形PQCD面积是长方形的$\frac{2}{3}$的等量关系，代入梯形面积公式列方程求解。
【解析】
(1) 当Q在线段CB上时，$AP=t\ \mathrm{cm}$，$CQ=3t\ \mathrm{cm}$，$PD=AD-AP=(12-t)\ \mathrm{cm}$。
由$PD=CQ$列方程：
$12-t=3t$
移项得$4t=12$
解得$t=3$。
(2) 当Q在线段BA上时，Q运动总路程为$3t\ \mathrm{cm}$，在BA上运动的路程为$(3t-12)\ \mathrm{cm}$，因此$AQ=AB-(3t-12)=(20-3t)\ \mathrm{cm}$，$AP=t\ \mathrm{cm}$。
由$AP=AQ$列方程：
$t=20-3t$
移项得$4t=20$
解得$t=5$。
(3) 当Q在线段CB上时，四边形PQCD为梯形，上底$PD=(12-t)\ \mathrm{cm}$，下底$CQ=3t\ \mathrm{cm}$，高$CD=8\ \mathrm{cm}$。
长方形$ABCD$的面积为$12×8=96\ \mathrm{cm}^2$，因此四边形$PQCD$的面积为$\frac{2}{3}×96=64\ \mathrm{cm}^2$。
根据梯形面积公式列方程：
$\frac{1}{2}×(12-t+3t)×8=64$
化简得$4×(12+2t)=64$，即$12+2t=16$
解得$t=2$。
【答案】
(1)$t=3$；(2)$t=5$；(3)$t=2$
【知识点】
一元一次方程应用；动点问题求解；梯形面积计算
【点评】
本题是典型的动点结合方程的应用题，解题核心是结合动点的运动范围，准确用含t的代数式表示对应线段长度，再根据题干给出的等量关系列方程求解，考查了数形结合的思想，理清动点的运动阶段即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
