5.【数学文化】我国古代名著《九章算术》中有一题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今凫雁俱起，问何日相逢。”（凫：野鸭）设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过$x$天相遇，可列方程为（）。

A.$(9-7)x=1$
B.$(9+7)x=1$
C.$(\frac{1}{7}-\frac{1}{9})x=1$
D.$(\frac{1}{7}+\frac{1}{9})x=1$

5. D

【分析】
这是一道行程类的相遇问题，解题思路如下：第一步，题目未给出南海到北海的具体路程，我们可以将总路程看作单位“1”，这是解决无具体路程类行程题的常用方法；第二步，根据“速度=路程÷时间”分别计算野鸭和大雁的飞行速度：野鸭7天走完全程，每天走全程的$\frac{1}{7}$，大雁9天走完全程，每天走全程的$\frac{1}{9}$；第三步，两者相向而行，相遇时两者飞行的总路程等于全程，依据“速度和×相遇时间=总路程”的等量关系即可列出方程，再匹配对应选项。
【解析】
我们把南海到北海的总路程看作单位“1”：
1. 计算野鸭的速度：野鸭7天飞完全程，因此每天飞行全程的$\frac{1}{7}$；
2. 计算大雁的速度：大雁9天飞完全程，因此每天飞行全程的$\frac{1}{9}$；
3. 两者同时相向起飞，经过$x$天相遇，此时两者飞行的路程和等于总路程1，因此可列方程：
$(\frac{1}{7}+\frac{1}{9})x=1$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
相遇问题；一元一次方程的应用；单位“1”的运用
【点评】
本题结合古代数学名著的内容出题，既考查数学知识的应用，也渗透了数学文化的考查，解题核心是掌握将未知总路程设为单位“1”的技巧，熟练运用相向相遇问题的基本数量关系，是行程类应用题的基础题型。
【难度系数】
0.8

6.【数学文化】《算法统宗》中有一道题：“甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后。戏问甲及一百否。甲云所说无差谬。若得这般一群凑，再添半群小半群，得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？”译文大致是：甲在草原上放羊，乙牵着一只羊过来，并问甲：“你的羊有100只吗？”甲答：“如果再得这样的一群羊，然后加上原来这群羊只数的一半，再加上原来这群羊只数的四分之一，最后加上你的一只羊，就是一百只羊。”甲有多少只羊？

6. 解:设甲有 $x$ 只羊。根据题意列方程为
$(1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4})x+1=100$,
解得 $x=36$,
所以甲有 36 只羊。

【分析】
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题首先要梳理题目中的等量关系：甲原有羊的数量 + 和原有数量相同的羊的数量 + 原有羊数量的$\frac{1}{2}$ + 原有羊数量的$\frac{1}{4}$ + 乙的1只羊 = 100只。我们可以设甲原有羊的数量为未知数$x$，将各部分用含$x$的式子表示后代入等量关系列出方程，再按一元一次方程的解法步骤求解即可得到答案。
【解析】
解：设甲有$x$只羊。
根据题意列方程：
$x + x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x + 1 = 100$
合并同类项得：$\frac{11}{4}x + 1 = 100$
移项计算得：$\frac{11}{4}x = 99$
系数化为1得：$x = 99 × \frac{4}{11} = 36$
【答案】
甲有36只羊。
【知识点】
一元一次方程应用，等量关系建立，一元一次方程求解
【点评】
本题以古代数学著作中的趣味问题为载体，考查用一元一次方程解决实际问题的能力，解题核心是读懂题意，准确提取数量关系列出方程，整体计算难度较低。
【难度系数】
0.8