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1. （2026·武威期中）某公司投入20万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出后投入生产并进行销售.已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于22元，不高于32元.在销售过程中发现：销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示.设该公司销售这种电子产品的利润为S（万元）.
(1)求y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数表达式；
(2)求销售这种电子产品的利润的最大值（利润=总售价-总成本-研发费用）；
(3)公司决定每销售1件该产品就捐赠m（m≥2）元给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于23元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小，求m的取值范围.
(1)求y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数表达式；
(2)求销售这种电子产品的利润的最大值（利润=总售价-总成本-研发费用）；
(3)公司决定每销售1件该产品就捐赠m（m≥2）元给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于23元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小，求m的取值范围.
答案
(1) 设y(万件)与销售价格x(元/件)之间的函数表达式是$y = kx + b$，将$(12,20)$，$(32,0)$代入，得$\begin{cases}12k+b=20,\\32k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=32,\end{cases}$
∴ $y = -x + 32$.
(2) 根据题意得 $S = (x - 10) · y - 20 = (x - 10)(-x + 32) - 20 = -x^2 + 42x - 340 = -(x - 21)^2 + 101$，
∵ $-1＜0$，由已知可得 $22 ≤ x ≤ 32$，
∴ 当$x=22$时，$S$取最大值，最大值为100，
∴ 销售这种电子产品的利润的最大值为100万元.
(3) 由(2)得出 $S = (x - 10) · y - 20 = -x^2 + 42x - 340$，依题意，记扣除捐赠后的利润为$W$万元，则 $W = S - ym = -x^2 + 42x - 340 - (-x + 32)m = -x^2 + (42 + m)x - 340 - 32m$，
∵ $-1＜0$，开口向下，对称轴为直线 $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{42+m}{2×(-1)} = 21 + \frac{m}{2}$，又
∵ 公司决定每销售1件该产品就捐赠$m(m ≥ 2)$元给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于23元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格$x$（$x$为正整数）增大而减小，
∴ $21+\frac{m}{2}$最大不能超过25，且当对称轴在24和25之间时，要靠近24，即$21+\frac{m}{2}＜25$，且$21+\frac{m}{2}-24＜25-(21+\frac{m}{2})$，得$m＜7$，
∴ $2 ≤ m ＜ 7$.
∴ $y = -x + 32$.
(2) 根据题意得 $S = (x - 10) · y - 20 = (x - 10)(-x + 32) - 20 = -x^2 + 42x - 340 = -(x - 21)^2 + 101$，
∵ $-1＜0$，由已知可得 $22 ≤ x ≤ 32$，
∴ 当$x=22$时，$S$取最大值，最大值为100，
∴ 销售这种电子产品的利润的最大值为100万元.
(3) 由(2)得出 $S = (x - 10) · y - 20 = -x^2 + 42x - 340$，依题意，记扣除捐赠后的利润为$W$万元，则 $W = S - ym = -x^2 + 42x - 340 - (-x + 32)m = -x^2 + (42 + m)x - 340 - 32m$，
∵ $-1＜0$，开口向下，对称轴为直线 $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{42+m}{2×(-1)} = 21 + \frac{m}{2}$，又
∵ 公司决定每销售1件该产品就捐赠$m(m ≥ 2)$元给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于23元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格$x$（$x$为正整数）增大而减小，
∴ $21+\frac{m}{2}$最大不能超过25，且当对称轴在24和25之间时，要靠近24，即$21+\frac{m}{2}＜25$，且$21+\frac{m}{2}-24＜25-(21+\frac{m}{2})$，得$m＜7$，
∴ $2 ≤ m ＜ 7$.
解析
【分析】
(1) 观察图像可知y是x的一次函数，已知直线经过$(12,20)$和$(32,0)$两个点，因此采用待定系数法，设函数表达式为$y=kx+b$，将两点坐标代入得到二元一次方程组，解出$k、b$即可得到函数解析式，同时注意题目限定销售价格范围为$22≤ x≤32$。
(2) 求利润最大值需先根据利润公式：利润=总售价-总成本-研发费用，将$y$的表达式代入得到$S$关于$x$的二次函数，再结合二次函数的开口方向、对称轴，以及$x$的取值范围，即可求出$S$的最大值。
(3) 扣除捐赠后，每件利润减少$m$元，因此新利润$W=S-my$，代入$y$的表达式得到含参二次函数，该函数开口向下，对称轴右侧函数值随$x$增大而减小。题目要求$x＞23$（$x$为正整数，即$x≥24$）时$W$随$x$增大而减小，因此对称轴需满足对应的位置要求，结合$m≥2$的条件即可求出$m$的取值范围。
【解析】
(1) 设$y$(万件)与销售价格$x$(元/件)之间的函数表达式是$y = kx + b$，将$(12,20)$，$(32,0)$代入，得
$\begin{cases}12k+b=20\\32k+b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=32\end{cases}$
∴ $y = -x + 32 \quad (22≤ x≤32)$。
(2) 根据题意得 $S = (x - 10) · y - 20$，将$y=-x+32$代入得：
$\begin{aligned}S&=(x - 10)(-x + 32) - 20\\&=-x^2 + 42x - 340\\&=-(x - 21)^2 + 101\end{aligned}$
∵ $-1＜0$，抛物线开口向下，且$22 ≤ x ≤ 32$，该区间在对称轴$x=21$右侧，$S$随$x$增大而减小，
∴ 当$x=22$时，$S$取最大值，最大值为$-(22-21)^2+101=100$（万元）。
(3) 记扣除捐赠后的利润为$W$万元，则 $W = S - ym$，代入对应表达式得：
$\begin{aligned}W&=-x^2 + 42x - 340 - (-x + 32)m\\&=-x^2 + (42 + m)x - 340 - 32m\end{aligned}$
∵ $-1＜0$，开口向下，对称轴为直线 $x = 21 + \frac{m}{2}$，
∵ 销售价格大于23元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格$x$（$x$为正整数）增大而减小，
∴ 对称轴需满足$21+\frac{m}{2}＜24.5$，解得$m＜7$，结合$m≥2$，
可得$2 ≤ m ＜ 7$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-x+32\ (22≤ x≤32)}$
(2) $\boldsymbol{100}$万元
(3) $\boldsymbol{2≤ m＜7}$
【知识点】
一次函数解析式求解；二次函数实际应用；二次函数图像与性质
【点评】
本题综合考查一次函数、二次函数的实际应用，前两问为基础题型，侧重考查待定系数法求解析式、二次函数最值的求解；第三问为含参二次函数问题，需要结合自变量为正整数的隐含条件分析对称轴的取值范围，对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 观察图像可知y是x的一次函数，已知直线经过$(12,20)$和$(32,0)$两个点，因此采用待定系数法，设函数表达式为$y=kx+b$，将两点坐标代入得到二元一次方程组，解出$k、b$即可得到函数解析式，同时注意题目限定销售价格范围为$22≤ x≤32$。
(2) 求利润最大值需先根据利润公式：利润=总售价-总成本-研发费用，将$y$的表达式代入得到$S$关于$x$的二次函数，再结合二次函数的开口方向、对称轴，以及$x$的取值范围，即可求出$S$的最大值。
(3) 扣除捐赠后，每件利润减少$m$元，因此新利润$W=S-my$，代入$y$的表达式得到含参二次函数，该函数开口向下，对称轴右侧函数值随$x$增大而减小。题目要求$x＞23$（$x$为正整数，即$x≥24$）时$W$随$x$增大而减小，因此对称轴需满足对应的位置要求，结合$m≥2$的条件即可求出$m$的取值范围。
【解析】
(1) 设$y$(万件)与销售价格$x$(元/件)之间的函数表达式是$y = kx + b$，将$(12,20)$，$(32,0)$代入，得
$\begin{cases}12k+b=20\\32k+b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=32\end{cases}$
∴ $y = -x + 32 \quad (22≤ x≤32)$。
(2) 根据题意得 $S = (x - 10) · y - 20$，将$y=-x+32$代入得：
$\begin{aligned}S&=(x - 10)(-x + 32) - 20\\&=-x^2 + 42x - 340\\&=-(x - 21)^2 + 101\end{aligned}$
∵ $-1＜0$，抛物线开口向下，且$22 ≤ x ≤ 32$，该区间在对称轴$x=21$右侧，$S$随$x$增大而减小，
∴ 当$x=22$时，$S$取最大值，最大值为$-(22-21)^2+101=100$（万元）。
(3) 记扣除捐赠后的利润为$W$万元，则 $W = S - ym$，代入对应表达式得：
$\begin{aligned}W&=-x^2 + 42x - 340 - (-x + 32)m\\&=-x^2 + (42 + m)x - 340 - 32m\end{aligned}$
∵ $-1＜0$，开口向下，对称轴为直线 $x = 21 + \frac{m}{2}$，
∵ 销售价格大于23元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格$x$（$x$为正整数）增大而减小，
∴ 对称轴需满足$21+\frac{m}{2}＜24.5$，解得$m＜7$，结合$m≥2$，
可得$2 ≤ m ＜ 7$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-x+32\ (22≤ x≤32)}$
(2) $\boldsymbol{100}$万元
(3) $\boldsymbol{2≤ m＜7}$
【知识点】
一次函数解析式求解；二次函数实际应用；二次函数图像与性质
【点评】
本题综合考查一次函数、二次函数的实际应用，前两问为基础题型，侧重考查待定系数法求解析式、二次函数最值的求解；第三问为含参二次函数问题，需要结合自变量为正整数的隐含条件分析对称轴的取值范围，对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
2. （黄石中考）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为10万元/件.设第x个生产周期设备的售价为z万元/件，售价z与x之间的函数表达式是$z=\begin{cases}15, & 0＜x≤12, \\ mx+n, & 12＜x≤20,\end{cases}$其中x是正整数.当$x=16$时，$z=14$；当$x=20$时，$z=13$.
(1)求$m,n$的值.
(2)设第$x$个生产周期生产并销售完设备的数量为$y$件，且$y$与$x$满足关系式$y=5x+20$.
①当$12＜x≤20$时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？
②当$0＜x≤20$时，若有且只有3个生产周期的利润不小于$a$万元，求实数$a$的取值范围.
(1)求$m,n$的值.
(2)设第$x$个生产周期生产并销售完设备的数量为$y$件，且$y$与$x$满足关系式$y=5x+20$.
①当$12＜x≤20$时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？
②当$0＜x≤20$时，若有且只有3个生产周期的利润不小于$a$万元，求实数$a$的取值范围.
答案
(1) 把$\begin{cases}x=16,\\z=14,\end{cases}\begin{cases}x=20,\\z=13\end{cases}$代入 $z = mx + n$，得$\begin{cases}16m+n=14,\\20m+n=13,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-\frac{1}{4},\\n=18.\end{cases}$
(2) ①设第$x$个生产周期获得的利润为$w$万元，由(1)知，当$12＜x ≤ 20$时，$z=-\frac{1}{4}x+18$，
∴ $w = (z - 10)y = (-\frac{1}{4}x + 18 - 10) · (5x + 20) = -\frac{5}{4}x^2 + 35x + 160 = -\frac{5}{4}(x - 14)^2 + 405$，
∵ $-\frac{5}{4}＜0$，$12＜x ≤ 20$，
∴ 当$x=14$时，$w$取得最大值，最大值为405，
∴ 工厂第14个生产周期获得的利润最大，最大的利润是405万元.
②当$0＜x ≤ 12$时，$z=15$，
∴ $w = (15 - 10) · (5x + 20) = 25x + 100$，
∴ $w=\begin{cases}25x+100,0＜x≤12,\\-\frac{5}{4}(x-14)^2+405,12＜x≤20,\end{cases}$
则$w$与$x$的函数图象如图所示
，由图象可知，若有且只有3个生产周期的利润不小于$a$万元，∴ 当$x=13,15$时，$w=403.75$，当$x=12,16$时，$w=400$，
∴ $a$的取值范围为$400 ＜ a ≤ 403.75$.
解析
【分析】
(1) 求m、n的值时，已知分段函数12＜x≤20部分的两组x、z对应值，直接将两组值代入z=mx+n得到二元一次方程组，解方程组即可得结果。
(2) ①利润的计算公式为“总利润=(单件售价-单件成本)×销售数量”，12＜x≤20时z的表达式可由第一问结果得到，结合已知的成本、销量表达式代入利润公式，整理为二次函数顶点式，结合二次函数开口方向和x的取值范围即可求最大利润。
②先分0＜x≤12和12＜x≤20两段分别推导利润w关于x的函数表达式，分析两段函数的增减性，计算各整数x对应的w值，结合“有且只有3个生产周期利润不小于a”的条件，即可确定a的取值范围。
【解析】
(1) 把$\begin{cases}x=16,\\z=14,\end{cases}$$\begin{cases}x=20,\\z=13\end{cases}$代入 $z = mx + n$，得：
$\begin{cases}16m+n=14,\\20m+n=13,\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$4m=-1$，解得$m=-\frac{1}{4}$，
将$m=-\frac{1}{4}$代入$16m+n=14$，得$-4+n=14$，解得$n=18$。
(2) ①设第$x$个生产周期获得的利润为$w$万元，
由(1)知，当$12＜x ≤ 20$时，$z=-\frac{1}{4}x+18$，
根据利润公式得：
$w = (z - 10)y = (-\frac{1}{4}x + 18 - 10) · (5x + 20)$
$= -\frac{5}{4}x^2 + 35x + 160$
配方得$w= -\frac{5}{4}(x - 14)^2 + 405$，
∵ $-\frac{5}{4}＜0$，二次函数开口向下，且$12＜x ≤ 20$，x为正整数，
∴ 当$x=14$时，$w$取得最大值，最大值为405万元。
②当$0＜x ≤ 12$时，$z=15$，
∴ $w = (15 - 10) · (5x + 20) = 25x + 100$，
综上，利润w的表达式为：
$w=\begin{cases}25x+100,&0＜x≤12,\\-\frac{5}{4}(x-14)^2+405,&12＜x≤20,\end{cases}$（x为正整数）
计算各整数x对应的w值：
0＜x≤12时w随x增大而增大，x=12时w=400；
12＜x≤20时，x=13时w=403.75，x=14时w=405，x=15时w=403.75，x=16时w=400，x＞16后w持续减小。
要使有且只有3个生产周期的利润不小于a，即仅x=13、14、15满足条件，因此a的取值范围为$400 ＜ a ≤ 403.75$。
【答案】
(1) $\begin{cases}m=-\frac{1}{4},\\n=18.\end{cases}$
(2) ①工厂第14个生产周期获得的利润最大，最大的利润是405万元；
②$a$的取值范围为$400 ＜ a ≤ 403.75$。
$w$与$x$的函数图象如图所示
【知识点】
一次函数应用，二次函数应用，分段函数
【点评】
本题以生产销售利润为背景，考查函数的实际应用，解题时需注意自变量的取值范围，结合函数增减性分析最值和参数范围，能有效考查综合分析问题的能力。
【难度系数】
0.55
(1) 求m、n的值时，已知分段函数12＜x≤20部分的两组x、z对应值，直接将两组值代入z=mx+n得到二元一次方程组，解方程组即可得结果。
(2) ①利润的计算公式为“总利润=(单件售价-单件成本)×销售数量”，12＜x≤20时z的表达式可由第一问结果得到，结合已知的成本、销量表达式代入利润公式，整理为二次函数顶点式，结合二次函数开口方向和x的取值范围即可求最大利润。
②先分0＜x≤12和12＜x≤20两段分别推导利润w关于x的函数表达式，分析两段函数的增减性，计算各整数x对应的w值，结合“有且只有3个生产周期利润不小于a”的条件，即可确定a的取值范围。
【解析】
(1) 把$\begin{cases}x=16,\\z=14,\end{cases}$$\begin{cases}x=20,\\z=13\end{cases}$代入 $z = mx + n$，得：
$\begin{cases}16m+n=14,\\20m+n=13,\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$4m=-1$，解得$m=-\frac{1}{4}$，
将$m=-\frac{1}{4}$代入$16m+n=14$，得$-4+n=14$，解得$n=18$。
(2) ①设第$x$个生产周期获得的利润为$w$万元，
由(1)知，当$12＜x ≤ 20$时，$z=-\frac{1}{4}x+18$，
根据利润公式得：
$w = (z - 10)y = (-\frac{1}{4}x + 18 - 10) · (5x + 20)$
$= -\frac{5}{4}x^2 + 35x + 160$
配方得$w= -\frac{5}{4}(x - 14)^2 + 405$，
∵ $-\frac{5}{4}＜0$，二次函数开口向下，且$12＜x ≤ 20$，x为正整数，
∴ 当$x=14$时，$w$取得最大值，最大值为405万元。
②当$0＜x ≤ 12$时，$z=15$，
∴ $w = (15 - 10) · (5x + 20) = 25x + 100$，
综上，利润w的表达式为：
$w=\begin{cases}25x+100,&0＜x≤12,\\-\frac{5}{4}(x-14)^2+405,&12＜x≤20,\end{cases}$（x为正整数）
计算各整数x对应的w值：
0＜x≤12时w随x增大而增大，x=12时w=400；
12＜x≤20时，x=13时w=403.75，x=14时w=405，x=15时w=403.75，x=16时w=400，x＞16后w持续减小。
要使有且只有3个生产周期的利润不小于a，即仅x=13、14、15满足条件，因此a的取值范围为$400 ＜ a ≤ 403.75$。
【答案】
(1) $\begin{cases}m=-\frac{1}{4},\\n=18.\end{cases}$
(2) ①工厂第14个生产周期获得的利润最大，最大的利润是405万元；
②$a$的取值范围为$400 ＜ a ≤ 403.75$。
$w$与$x$的函数图象如图所示
【知识点】
一次函数应用，二次函数应用，分段函数
【点评】
本题以生产销售利润为背景，考查函数的实际应用，解题时需注意自变量的取值范围，结合函数增减性分析最值和参数范围，能有效考查综合分析问题的能力。
【难度系数】
0.55
