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1. （2026·六安期中）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降2 m，水面宽度增加（
A.$(2\sqrt{2}+2)\mathrm{m}$
B.$(2\sqrt{2}-2)\mathrm{m}$
C.$(4\sqrt{2}-4)\mathrm{m}$
D.$(4\sqrt{2}+4)\mathrm{m}$
C
）A.$(2\sqrt{2}+2)\mathrm{m}$
B.$(2\sqrt{2}-2)\mathrm{m}$
C.$(4\sqrt{2}-4)\mathrm{m}$
D.$(4\sqrt{2}+4)\mathrm{m}$
答案
1. C
解析
【分析】
这是二次函数的实际应用类题目，解题思路如下：首先遇到抛物线形的实际问题，需要先建立合适的平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题求解；本题已知抛物线的顶点高度和对应水面宽度，选择顶点式求抛物线解析式最简便，求出解析式后，将水面下降后的纵坐标代入解析式，算出对应的横坐标，即可得到新的水面宽度，最后用新宽度减去原水面宽度，就是水面增加的宽度。
【解析】
解：建立平面直角坐标系，设拱顶（抛物线顶点）坐标为$(0,2)$，原水面在x轴上，此时水面与抛物线的交点为$(2,0)$和$(-2,0)$。
设抛物线的顶点式为$y=ax^2+k$，代入顶点坐标得$k=2$，即解析式为$y=ax^2+2$。
将点$(2,0)$代入解析式：
$0=a×2^2+2$
解得$a=-\frac{1}{2}$，因此抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+2$。
当水面下降2m时，此时水面对应的纵坐标$y=-2$，代入解析式：
$-2=-\frac{1}{2}x^2+2$
整理得$x^2=8$，解得$x_1=2\sqrt{2}$，$x_2=-2\sqrt{2}$。
此时水面宽度为$|2\sqrt{2}-(-2\sqrt{2})|=4\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，
水面宽度增加量为$4\sqrt{2}-4\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数实际应用；待定系数法求解析式；二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数结合生活场景的典型题型，核心是通过建立坐标系把实际问题转化为函数问题，解题时要注意所求的是宽度的增加量而非最终水面宽度，避免审题失误丢分。
【难度系数】
0.7
这是二次函数的实际应用类题目，解题思路如下：首先遇到抛物线形的实际问题，需要先建立合适的平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题求解；本题已知抛物线的顶点高度和对应水面宽度，选择顶点式求抛物线解析式最简便，求出解析式后，将水面下降后的纵坐标代入解析式，算出对应的横坐标，即可得到新的水面宽度，最后用新宽度减去原水面宽度，就是水面增加的宽度。
【解析】
解：建立平面直角坐标系，设拱顶（抛物线顶点）坐标为$(0,2)$，原水面在x轴上，此时水面与抛物线的交点为$(2,0)$和$(-2,0)$。
设抛物线的顶点式为$y=ax^2+k$，代入顶点坐标得$k=2$，即解析式为$y=ax^2+2$。
将点$(2,0)$代入解析式：
$0=a×2^2+2$
解得$a=-\frac{1}{2}$，因此抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+2$。
当水面下降2m时，此时水面对应的纵坐标$y=-2$，代入解析式：
$-2=-\frac{1}{2}x^2+2$
整理得$x^2=8$，解得$x_1=2\sqrt{2}$，$x_2=-2\sqrt{2}$。
此时水面宽度为$|2\sqrt{2}-(-2\sqrt{2})|=4\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，
水面宽度增加量为$4\sqrt{2}-4\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数实际应用；待定系数法求解析式；二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数结合生活场景的典型题型，核心是通过建立坐标系把实际问题转化为函数问题，解题时要注意所求的是宽度的增加量而非最终水面宽度，避免审题失误丢分。
【难度系数】
0.7
2. 如图,为了提醒司机安全驾驶,要在隧道中安装电子显示屏.已知隧道截面为抛物线型,水平路面宽AB为16米,抛物线顶点C到AB距离为12米.根据计划,安装矩形显示屏MNPQ的高MQ为1米,为了确保行车安全,显示屏底部距离地面至少8米,若距离左右墙壁各留至少1.5米的空间,则该矩形显示屏MNPQ的长QP的最大长度为
5
米. 答案
2. 5
解析
【分析】
解决本题的核心是利用抛物线的性质求解，首先通过建立平面直角坐标系简化计算：将AB的中点O设为原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，这样抛物线对称轴为y轴，方便用顶点式求解析式。接下来根据显示屏的高度要求，求出显示屏顶部对应的抛物线上的水平宽度，最后减去左右预留的空间即可得到显示屏的最大长度。
【解析】
1. 建立平面直角坐标系：以O为原点，AB为x轴，OC为y轴。
由题意得：A(-8,0)，B(8,0)，顶点C(0,12)。
2. 求抛物线解析式：设抛物线解析式为$y=ax^2+12$（顶点式），将B(8,0)代入得：
$0=a×8^2+12$，解得$a=-\frac{3}{16}$
因此抛物线解析式为$y=-\frac{3}{16}x^2+12$。
3. 求显示屏顶部对应抛物线的水平宽度：
显示屏底部距地面8m，高1m，因此顶部纵坐标为$8+1=9$。
将$y=9$代入解析式：
$9=-\frac{3}{16}x^2+12$
移项得：$\frac{3}{16}x^2=3$，解得$x^2=16$，即$x=\pm4$。
因此此时抛物线上两点的水平距离为$4-(-4)=8\mathrm{m}$。
4. 计算显示屏最大长度：
左右各留1.5m空间，因此$QP=8-1.5×2=5\mathrm{m}$。
【答案】
5
【知识点】
抛物线实际应用；待定系数法求解析式；二次函数求值
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的常见应用题型，解题的关键是合理建立平面直角坐标系简化抛物线解析式的计算，再结合题干的高度、预留空间等条件逐步推导即可，计算量较小，不易出错。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是利用抛物线的性质求解，首先通过建立平面直角坐标系简化计算：将AB的中点O设为原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，这样抛物线对称轴为y轴，方便用顶点式求解析式。接下来根据显示屏的高度要求，求出显示屏顶部对应的抛物线上的水平宽度，最后减去左右预留的空间即可得到显示屏的最大长度。
【解析】
1. 建立平面直角坐标系：以O为原点，AB为x轴，OC为y轴。
由题意得：A(-8,0)，B(8,0)，顶点C(0,12)。
2. 求抛物线解析式：设抛物线解析式为$y=ax^2+12$（顶点式），将B(8,0)代入得：
$0=a×8^2+12$，解得$a=-\frac{3}{16}$
因此抛物线解析式为$y=-\frac{3}{16}x^2+12$。
3. 求显示屏顶部对应抛物线的水平宽度：
显示屏底部距地面8m，高1m，因此顶部纵坐标为$8+1=9$。
将$y=9$代入解析式：
$9=-\frac{3}{16}x^2+12$
移项得：$\frac{3}{16}x^2=3$，解得$x^2=16$，即$x=\pm4$。
因此此时抛物线上两点的水平距离为$4-(-4)=8\mathrm{m}$。
4. 计算显示屏最大长度：
左右各留1.5m空间，因此$QP=8-1.5×2=5\mathrm{m}$。
【答案】
5
【知识点】
抛物线实际应用；待定系数法求解析式；二次函数求值
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的常见应用题型，解题的关键是合理建立平面直角坐标系简化抛物线解析式的计算，再结合题干的高度、预留空间等条件逐步推导即可，计算量较小，不易出错。
【难度系数】
0.7
3. （2025·玉树模拟）如图①所示的是某小区设计的一个车棚，其截面如图②所示，顶棚是抛物线的一部分，$OA$，$BC$垂直于地面$OC$，且$AO=BC=2\ \mathrm{m}$，$OC=8\ \mathrm{m}$，以$OC$所在的直线为$x$轴，$OA$所在直线为$y$轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数表达式$y=ax^2+x+c$（$a,c$为常数，$a≠0$）。
（1）求顶棚抛物线的函数表达式。
（2）小军想驾驶一辆宽为$2\ \mathrm{m}$，高为$3.5\ \mathrm{m}$的货车进入车棚，通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？
（3）如图③，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固。在顶棚$A$，$B$之间抛物线上有两个点$D$和$E$（不与点$A$，$B$重合）。它们的横坐标分别为$t,2t$，连结$AD$，$AE$。设点$A$与点$D$之间部分（含点$A$和点$D$）的最高点与最低点的纵坐标的差为$h_1$，点$A$与点$E$之间部分（含点$A$和点$E$）的最高点与最低点的纵坐标的差为$h_2$，当$h_2-h_1=\frac{1}{3}t$时，求出$t$的值。
＞＞ 进一步挑战进阶专题:P15 专题15
（1）求顶棚抛物线的函数表达式。
（2）小军想驾驶一辆宽为$2\ \mathrm{m}$，高为$3.5\ \mathrm{m}$的货车进入车棚，通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？
（3）如图③，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固。在顶棚$A$，$B$之间抛物线上有两个点$D$和$E$（不与点$A$，$B$重合）。它们的横坐标分别为$t,2t$，连结$AD$，$AE$。设点$A$与点$D$之间部分（含点$A$和点$D$）的最高点与最低点的纵坐标的差为$h_1$，点$A$与点$E$之间部分（含点$A$和点$E$）的最高点与最低点的纵坐标的差为$h_2$，当$h_2-h_1=\frac{1}{3}t$时，求出$t$的值。
＞＞ 进一步挑战进阶专题:P15 专题15
答案
3. (1)由题意得,图象过A(0,2),B(8,2),
∴ $\begin{cases}2=c,\\2=64a+8+c,\end{cases}$
$\therefore \begin{cases}a=-\dfrac{1}{8},\\c=2.\end{cases}$
∴ 顶棚抛物线的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{8}x^2+x+2(0≤ x≤8)$.
(2)由题意得,对称轴为直线 $x = -\dfrac{1}{2×(-\dfrac{1}{8})}=4$,$\because$ 车身的宽为2 m,$\therefore$ 车身的一端点F的坐标为(3,0),
,过F作$FM⊥ OC$于点F,交抛物线于点M,将$x=3$代入$y=-\dfrac{1}{8}x^2+x+2$,得$y=\dfrac{31}{8}$,即$FM=\dfrac{31}{8}＞3.5$,$\therefore$ 小军能驾驶这辆车进入车棚.(3)由题意得 D,E 在抛物线 A,B 之间,$\therefore 0＜2t＜8$,$\therefore 0＜t＜4$,
$\therefore D(t,-\dfrac{1}{8}t^2+t+2)$,$E(2t,-\dfrac{1}{2}t^2+2t+2)$,$\therefore h_1=-\dfrac{1}{8}t^2+t+2-2=-\dfrac{1}{8}t^2+t$.
①当 D,E 都在对称轴的左侧时,
,则$0＜2t＜4$,$\therefore 0＜t＜2$.$\because h_2=-\dfrac{1}{2}t^2+2t+2-2=-\dfrac{1}{2}t^2+2t$,$\therefore h_2-h_1=-\dfrac{1}{2}t^2+2t+\dfrac{1}{8}t^2-t=\dfrac{1}{3}t$,
$\therefore t_1=\dfrac{16}{9}$,$t_2=0$(舍).
②当 D 在对称轴的左侧,点 E 在对称轴上或右侧时,如图③,则$0＜t＜4$,且$4≤2t＜8$,$\therefore 2≤ t＜4$.令$x=4$,可得顶点坐标为$(4,4)$,$\therefore h_2=4-2=2$,$\therefore h_2-h_1=2+\dfrac{1}{8}t^2-t=\dfrac{1}{3}t$,$\therefore t_3=\dfrac{16+4\sqrt{7}}{3}$(舍),$t_4=\dfrac{16-4\sqrt{7}}{3}$(舍).综上所述,$t=\dfrac{16}{9}$.
解析
【分析】
（1）求二次函数解析式可使用待定系数法：已知抛物线过A(0,2)和B(8,2)两点，将两点坐标代入函数表达式$y=ax^2+x+c$，解二元一次方程组即可求出a、c的值，同时要标注自变量x的取值范围。
（2）判断货车能否进入，需先找到抛物线对称轴，货车宽2m，取对称轴左侧1m处的横坐标代入解析式，计算对应高度，和货车高度3.5m比较，若计算出的高度更大则可以通行。
（3）首先根据D、E横坐标分别为t、2t确定t的初步取值范围，再分两种情况讨论：①D、E都在对称轴左侧时，A到D、A到E的最高点分别为D、E，最低点均为A，分别求出$h_1$、$h_2$后代入$h_2-h_1=\frac{1}{3}t$解方程；②D在对称轴左侧、E在对称轴及右侧时，A到E的最高点为抛物线顶点，求出此时的$h_2$后代入条件解方程，最后根据t的取值范围舍去不符合的根，得到最终结果。
【解析】
(1) 由题意得，抛物线过A(0,2)，B(8,2)，将两点坐标代入$y=ax^2+x+c$，得：
$\begin{cases}2=c,\\2=64a+8+c,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a=-\dfrac{1}{8},\\c=2.\end{cases}$
因此顶棚抛物线的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{8}x^2+x+2(0≤ x≤8)$。
(2) 抛物线的对称轴为直线 $x = -\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2×(-\dfrac{1}{8})}=4$，
车身宽2m，对称轴两侧各占1m，因此取横坐标为3的位置计算高度，，过F(3,0)作$FM⊥ OC$于点F，交抛物线于点M，
将$x=3$代入$y=-\dfrac{1}{8}x^2+x+2$，得$y=-\dfrac{9}{8}+3+2=\dfrac{31}{8}=3.875$，
因为$\dfrac{31}{8}＞3.5$，所以小军能驾驶这辆车进入车棚。
(3) 由题意得D、E在A、B之间的抛物线上，因此$0＜2t＜8$，即$0＜t＜4$，
则$D(t,-\dfrac{1}{8}t^2+t+2)$，$E(2t,-\dfrac{1}{2}t^2+2t+2)$，
A到D段最低点为A(0,2)，最高点为D，因此$h_1=-\dfrac{1}{8}t^2+t+2-2=-\dfrac{1}{8}t^2+t$。
分两种情况讨论：
①当D、E都在对称轴的左侧时，，则$0＜2t＜4$，即$0＜t＜2$，
此时A到E段最高点为E，最低点为A，因此$h_2=-\dfrac{1}{2}t^2+2t+2-2=-\dfrac{1}{2}t^2+2t$，
代入$h_2-h_1=\dfrac{1}{3}t$得：$-\dfrac{1}{2}t^2+2t +\dfrac{1}{8}t^2-t=\dfrac{1}{3}t$，
解得$t_1=\dfrac{16}{9}$，$t_2=0$（不符合取值范围，舍去）。
②当D在对称轴左侧，点E在对称轴上或右侧时，则$\begin{cases}0＜t＜4\\4≤2t＜8\end{cases}$，即$2≤ t＜4$，
抛物线顶点坐标为$(4,4)$，此时A到E段最高点为顶点，因此$h_2=4-2=2$，
代入$h_2-h_1=\dfrac{1}{3}t$得：$2+\dfrac{1}{8}t^2-t=\dfrac{1}{3}t$，
解得$t_3=\dfrac{16+4\sqrt{7}}{3}$、$t_4=\dfrac{16-4\sqrt{7}}{3}$，均不符合$2≤ t＜4$的取值范围，全部舍去。
综上所述，$t=\dfrac{16}{9}$。
【答案】
(1) 顶棚抛物线的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{8}x^2+x+2(0≤ x≤8)$；
(2) 小军能驾驶这辆车进入车棚；
(3) $t$的值为$\dfrac{16}{9}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数实际应用，分类讨论思想
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的综合应用，解题时要注意结合实际情况确定自变量的取值范围，分类讨论后需要对解的合理性进行验证，避免产生增根。
【难度系数】
0.6
（1）求二次函数解析式可使用待定系数法：已知抛物线过A(0,2)和B(8,2)两点，将两点坐标代入函数表达式$y=ax^2+x+c$，解二元一次方程组即可求出a、c的值，同时要标注自变量x的取值范围。
（2）判断货车能否进入，需先找到抛物线对称轴，货车宽2m，取对称轴左侧1m处的横坐标代入解析式，计算对应高度，和货车高度3.5m比较，若计算出的高度更大则可以通行。
（3）首先根据D、E横坐标分别为t、2t确定t的初步取值范围，再分两种情况讨论：①D、E都在对称轴左侧时，A到D、A到E的最高点分别为D、E，最低点均为A，分别求出$h_1$、$h_2$后代入$h_2-h_1=\frac{1}{3}t$解方程；②D在对称轴左侧、E在对称轴及右侧时，A到E的最高点为抛物线顶点，求出此时的$h_2$后代入条件解方程，最后根据t的取值范围舍去不符合的根，得到最终结果。
【解析】
(1) 由题意得，抛物线过A(0,2)，B(8,2)，将两点坐标代入$y=ax^2+x+c$，得：
$\begin{cases}2=c,\\2=64a+8+c,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a=-\dfrac{1}{8},\\c=2.\end{cases}$
因此顶棚抛物线的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{8}x^2+x+2(0≤ x≤8)$。
(2) 抛物线的对称轴为直线 $x = -\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2×(-\dfrac{1}{8})}=4$，
车身宽2m，对称轴两侧各占1m，因此取横坐标为3的位置计算高度，
，过F(3,0)作$FM⊥ OC$于点F，交抛物线于点M，将$x=3$代入$y=-\dfrac{1}{8}x^2+x+2$，得$y=-\dfrac{9}{8}+3+2=\dfrac{31}{8}=3.875$，
因为$\dfrac{31}{8}＞3.5$，所以小军能驾驶这辆车进入车棚。
(3) 由题意得D、E在A、B之间的抛物线上，因此$0＜2t＜8$，即$0＜t＜4$，
则$D(t,-\dfrac{1}{8}t^2+t+2)$，$E(2t,-\dfrac{1}{2}t^2+2t+2)$，
A到D段最低点为A(0,2)，最高点为D，因此$h_1=-\dfrac{1}{8}t^2+t+2-2=-\dfrac{1}{8}t^2+t$。
分两种情况讨论：
①当D、E都在对称轴的左侧时，
，则$0＜2t＜4$，即$0＜t＜2$，此时A到E段最高点为E，最低点为A，因此$h_2=-\dfrac{1}{2}t^2+2t+2-2=-\dfrac{1}{2}t^2+2t$，
代入$h_2-h_1=\dfrac{1}{3}t$得：$-\dfrac{1}{2}t^2+2t +\dfrac{1}{8}t^2-t=\dfrac{1}{3}t$，
解得$t_1=\dfrac{16}{9}$，$t_2=0$（不符合取值范围，舍去）。
②当D在对称轴左侧，点E在对称轴上或右侧时，则$\begin{cases}0＜t＜4\\4≤2t＜8\end{cases}$，即$2≤ t＜4$，
抛物线顶点坐标为$(4,4)$，此时A到E段最高点为顶点，因此$h_2=4-2=2$，
代入$h_2-h_1=\dfrac{1}{3}t$得：$2+\dfrac{1}{8}t^2-t=\dfrac{1}{3}t$，
解得$t_3=\dfrac{16+4\sqrt{7}}{3}$、$t_4=\dfrac{16-4\sqrt{7}}{3}$，均不符合$2≤ t＜4$的取值范围，全部舍去。
综上所述，$t=\dfrac{16}{9}$。
【答案】
(1) 顶棚抛物线的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{8}x^2+x+2(0≤ x≤8)$；
(2) 小军能驾驶这辆车进入车棚；
(3) $t$的值为$\dfrac{16}{9}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数实际应用，分类讨论思想
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的综合应用，解题时要注意结合实际情况确定自变量的取值范围，分类讨论后需要对解的合理性进行验证，避免产生增根。
【难度系数】
0.6
