登录
1. 某超市以每件10元的价格购进一种文具.经过市场调查发现,该文具每天的销售数量$y$(件)与销售单价$x$(元)($15≤ x≤26$)满足函数表达式$y=-2x+60$,则销售这种文具每天的最大利润为
200
元.答案
1. 200
解析
【分析】
要解决该问题，首先明确销售利润的核心计算关系：总利润=单件利润×销售数量。先根据该关系列出利润关于销售单价x的函数表达式，再结合x的取值范围，利用二次函数的性质求出最大利润。具体思路如下：1. 用含x的式子表示单件利润（售价-进价）；2. 代入已知的销量表达式，推导得到利润的二次函数解析式；3. 将二次函数化为顶点式，结合开口方向和x的取值范围，判断最大值的位置并计算结果。
【解析】
设销售这种文具每天的利润为$w$元。
由题意可知，单件文具的利润为$(x-10)$元，日销售数量$y=-2x+60$，因此总利润为：
$\begin{aligned}w&=(x-10)y\\&=(x-10)(-2x+60)\\&=-2x^2+80x-600\\&=-2(x-20)^2+200\end{aligned}$
∵二次项系数$-2＜0$，
∴抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。
又
∵$15≤ x≤26$，顶点横坐标$x=20$在自变量取值范围内，
∴当$x=20$时，$w$取得最大值，最大值为200元。
【答案】
200
【知识点】
二次函数的应用；二次函数最值；销售利润计算
【点评】
本题是典型的销售利润类二次函数应用题，解题核心是正确建立利润的函数模型，求最值时需注意先判断顶点横坐标是否在自变量的取值范围内：若顶点在范围内则顶点处即为最值点，若顶点不在范围内则需结合函数增减性在区间端点处求最值。
【难度系数】
0.7
要解决该问题，首先明确销售利润的核心计算关系：总利润=单件利润×销售数量。先根据该关系列出利润关于销售单价x的函数表达式，再结合x的取值范围，利用二次函数的性质求出最大利润。具体思路如下：1. 用含x的式子表示单件利润（售价-进价）；2. 代入已知的销量表达式，推导得到利润的二次函数解析式；3. 将二次函数化为顶点式，结合开口方向和x的取值范围，判断最大值的位置并计算结果。
【解析】
设销售这种文具每天的利润为$w$元。
由题意可知，单件文具的利润为$(x-10)$元，日销售数量$y=-2x+60$，因此总利润为：
$\begin{aligned}w&=(x-10)y\\&=(x-10)(-2x+60)\\&=-2x^2+80x-600\\&=-2(x-20)^2+200\end{aligned}$
∵二次项系数$-2＜0$，
∴抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。
又
∵$15≤ x≤26$，顶点横坐标$x=20$在自变量取值范围内，
∴当$x=20$时，$w$取得最大值，最大值为200元。
【答案】
200
【知识点】
二次函数的应用；二次函数最值；销售利润计算
【点评】
本题是典型的销售利润类二次函数应用题，解题核心是正确建立利润的函数模型，求最值时需注意先判断顶点横坐标是否在自变量的取值范围内：若顶点在范围内则顶点处即为最值点，若顶点不在范围内则需结合函数增减性在区间端点处求最值。
【难度系数】
0.7
2. ★★★ (2026·广州期中)某超市销售一种商品,成本价为30元/千克,经市场调查,每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的关系如图所示,假设每千克售价不能低于30元,且不高于80元.
(1)求y与x之间的函数表达式,并直接写出自变量x的取值范围.
(2)若每天的总利润为w元,求出w关于x的函数表达式,并求出当销售单价定为多少元/千克时,该超市每天的利润最大?最大利润是多少元?
(1)求y与x之间的函数表达式,并直接写出自变量x的取值范围.
(2)若每天的总利润为w元,求出w关于x的函数表达式,并求出当销售单价定为多少元/千克时,该超市每天的利润最大?最大利润是多少元?
答案
(1)设 y 与 x 之间的函数表达式为 $y=kx+b(k≠0)$,将点(30,150),(80,100)代入,得$\begin{cases} 150=30k+b,\\ 100=80k+b, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-1,\\ b=180, \end{cases}$
∴ y 与x之间的函数表达式为 $y=-x+180(30≤x≤80)$.
(2)根据题意,得 $w = y(x-30) = (-x+180)(x-30) = -(x-105)^2+5\ 625$.
∵ $a=-1＜0$,
∴ 该函数图象开口向下,且其对称轴为直线 $x=105$.又
∵ $30≤x≤80$,
∴ 在此范围内,w 随 x 的增大而增大,
∴ 当 $x=80$ 时,w 取最大值,此时 $w=5\ 000$,即销售单价定为 80 元/千克时,该超市每天的利润最大,最大利润是5 000元.
∴ y 与x之间的函数表达式为 $y=-x+180(30≤x≤80)$.
(2)根据题意,得 $w = y(x-30) = (-x+180)(x-30) = -(x-105)^2+5\ 625$.
∵ $a=-1＜0$,
∴ 该函数图象开口向下,且其对称轴为直线 $x=105$.又
∵ $30≤x≤80$,
∴ 在此范围内,w 随 x 的增大而增大,
∴ 当 $x=80$ 时,w 取最大值,此时 $w=5\ 000$,即销售单价定为 80 元/千克时,该超市每天的利润最大,最大利润是5 000元.
解析
【分析】
(1) 由图象可知y与x为一次函数关系，采用待定系数法求解：先设一次函数一般形式$y=kx+b(k≠0)$，将图象上的两个已知点(30,150)、(80,100)代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出参数即可得到函数表达式，再结合题目给出的售价范围确定自变量x的取值范围。
(2) 根据“总利润=每千克利润×销售量”的等量关系，每千克利润为$(x-30)$元，销售量y已在第(1)问求出，代入即可得到w与x的二次函数关系式。再结合二次函数的图象性质，注意自变量的取值范围是$30≤x≤80$，判断该区间内函数的增减性，进而求出最大利润及对应的销售单价。
【解析】
(1) 设y与x之间的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
将点(30,150)、(80,100)代入解析式，得：
$\begin{cases} 150=30k+b\\ 100=80k+b \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-1\\ b=180 \end{cases}$
因此y与x之间的函数表达式为$y=-x+180$，结合售价要求得自变量x的取值范围为$30≤x≤80$。
(2) 由总利润计算公式得：
$w = y(x-30) = (-x+180)(x-30) = -(x-105)^2+5625$
∵$a=-1＜0$，
∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线$x=105$，
又
∵$30≤x≤80$，该区间在对称轴左侧，因此w随x的增大而增大，
∴当$x=80$时，w取最大值，代入得$w=-(80-105)^2+5625=5000$。
【答案】
(1) $y=-x+180(30≤x≤80)$
(2) $w=-(x-105)^2+5625$（或$w=-x^2+210x-5400$），当销售单价定为80元/千克时，该超市每天的利润最大，最大利润是5000元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，二次函数利润应用，二次函数区间最值
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，考查了一次函数和二次函数的综合应用，解题的核心是掌握利润的基本计算公式，同时要注意二次函数求解实际问题的最值时，必须结合自变量的取值范围判断函数增减性，不能直接取顶点值作为最值，避免忽略实际限制条件出错。
【难度系数】
0.7
(1) 由图象可知y与x为一次函数关系，采用待定系数法求解：先设一次函数一般形式$y=kx+b(k≠0)$，将图象上的两个已知点(30,150)、(80,100)代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出参数即可得到函数表达式，再结合题目给出的售价范围确定自变量x的取值范围。
(2) 根据“总利润=每千克利润×销售量”的等量关系，每千克利润为$(x-30)$元，销售量y已在第(1)问求出，代入即可得到w与x的二次函数关系式。再结合二次函数的图象性质，注意自变量的取值范围是$30≤x≤80$，判断该区间内函数的增减性，进而求出最大利润及对应的销售单价。
【解析】
(1) 设y与x之间的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
将点(30,150)、(80,100)代入解析式，得：
$\begin{cases} 150=30k+b\\ 100=80k+b \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-1\\ b=180 \end{cases}$
因此y与x之间的函数表达式为$y=-x+180$，结合售价要求得自变量x的取值范围为$30≤x≤80$。
(2) 由总利润计算公式得：
$w = y(x-30) = (-x+180)(x-30) = -(x-105)^2+5625$
∵$a=-1＜0$，
∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线$x=105$，
又
∵$30≤x≤80$，该区间在对称轴左侧，因此w随x的增大而增大，
∴当$x=80$时，w取最大值，代入得$w=-(80-105)^2+5625=5000$。
【答案】
(1) $y=-x+180(30≤x≤80)$
(2) $w=-(x-105)^2+5625$（或$w=-x^2+210x-5400$），当销售单价定为80元/千克时，该超市每天的利润最大，最大利润是5000元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，二次函数利润应用，二次函数区间最值
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，考查了一次函数和二次函数的综合应用，解题的核心是掌握利润的基本计算公式，同时要注意二次函数求解实际问题的最值时，必须结合自变量的取值范围判断函数增减性，不能直接取顶点值作为最值，避免忽略实际限制条件出错。
【难度系数】
0.7
3. (2025·深圳月考)某宾馆有80个房间供游客居住,当每个房间每天的定价是200元时,房间会全部住满,当每个房间每天的定价每增加5元时,就会有一个房间空闲,空闲的房间可以出租储存货物,每个空闲房间每天储存货物可获得40元的利润,如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天额外支出30元的各种费用,储存货物不需要额外支出费用,设空闲房间有x个且全部用于出租储存货物.
(1)用含x的式子表示该宾馆每天的总利润w是
(2)若游客每天居住带来的那部分总利润为12 600元,求空闲房间每天储存货物获得的总利润是多少元.
(3)该宾馆计划接收100吨的货物存储,每个房间最多可以存储3吨,当每间房价定价为多少元时,宾馆每天的总利润w最大,最大利润是多少元?
(1)用含x的式子表示该宾馆每天的总利润w是
$-5x^2+270x+13\ 600$
元.(2)若游客每天居住带来的那部分总利润为12 600元,求空闲房间每天储存货物获得的总利润是多少元.
(3)该宾馆计划接收100吨的货物存储,每个房间最多可以存储3吨,当每间房价定价为多少元时,宾馆每天的总利润w最大,最大利润是多少元?
答案
(1)$(-5x^2+270x+13\ 600)$
(2)若游客每天居住带来的那部分总利润为 12 600 元,则游客每天居住带来的那部分总利润为 $(80-x)(200+5x-30) = -5x^2+230x+13\ 600=12\ 600$,解得 $x_1=50,x_2=-4$(舍去),
∴ 空闲房间每天储存货物获得的总利润是 $40×50=2\ 000$(元).
(3)
∵ 该宾馆计划接受 100 吨的货物存储,每个房间最多可以存储3 吨,且宾馆有 80 个房间供游客居住,故 $3x≥100$,且 $x≤80$,故 x 的取值范围为 $\frac{100}{3} ≤ x ≤ 80$,由 (1) 得 $w = -5x^2+270x+13\ 600 = -5(x-27)^2+17\ 245$,
∵ $-5＜0$,且二次函数对称轴为直线 $x=27$,
∴ 当 $\frac{100}{3} ≤ x ≤ 80$(x 为整数)时,w 随 x 的增大而减小,
∴ 当 $x=34$ 时,w 最大,最大值为 $-5×(34-27)^2+17\ 245=17\ 000$,此时,每间房价定价为 $200+5×34=370$(元),宾馆每天的总利润最大是 17 000 元.
(2)若游客每天居住带来的那部分总利润为 12 600 元,则游客每天居住带来的那部分总利润为 $(80-x)(200+5x-30) = -5x^2+230x+13\ 600=12\ 600$,解得 $x_1=50,x_2=-4$(舍去),
∴ 空闲房间每天储存货物获得的总利润是 $40×50=2\ 000$(元).
(3)
∵ 该宾馆计划接受 100 吨的货物存储,每个房间最多可以存储3 吨,且宾馆有 80 个房间供游客居住,故 $3x≥100$,且 $x≤80$,故 x 的取值范围为 $\frac{100}{3} ≤ x ≤ 80$,由 (1) 得 $w = -5x^2+270x+13\ 600 = -5(x-27)^2+17\ 245$,
∵ $-5＜0$,且二次函数对称轴为直线 $x=27$,
∴ 当 $\frac{100}{3} ≤ x ≤ 80$(x 为整数)时,w 随 x 的增大而减小,
∴ 当 $x=34$ 时,w 最大,最大值为 $-5×(34-27)^2+17\ 245=17\ 000$,此时,每间房价定价为 $200+5×34=370$(元),宾馆每天的总利润最大是 17 000 元.
解析
【分析】
本题是二次函数与一元二次方程结合的实际利润问题，解题思路如下：
(1) 总利润=游客居住房间的总利润+空闲房间存储货物的总利润。先确定居住房间数量为(80-x)间，每间居住房间的实际利润为（定价-额外支出），定价为(200+5x)元，额外支出30元，再加上空闲房间每间40元的利润，合并即可得到w关于x的表达式。
(2) 先写出游客居住部分的利润表达式，令其等于12600，解一元二次方程，舍去不符合实际的负根，得到x的值后乘以40即可得存储货物的总利润。
(3) 首先根据存储货物的重量要求，求出x的最小取值，结合x的实际意义确定x的取值范围；再将总利润的二次函数解析式配方，结合开口方向和对称轴判断函数在取值范围内的单调性，进而找到最值对应的x值，最后计算定价和最大利润。
【解析】
(1) 居住房间数量为(80-x)间，每间居住房间的利润为(200+5x-30)元，空闲房间存储利润为40x元，因此：
$\begin{aligned}w&=(80-x)(200+5x-30)+40x\\&=(80-x)(170+5x)+40x\\&=-5x^2+270x+13600\end{aligned}$
(2) 游客居住带来的利润为$(80-x)(200+5x-30)=-5x^2+230x+13600$，令其等于12600：
$-5x^2+230x+13600=12600$
整理得$x^2-46x-200=0$，解得$x_1=50$，$x_2=-4$（空闲房间数不能为负，舍去）。
空闲房间存储总利润为$40×50=2000$元。
(3) 由存储100吨货物，每间最多存3吨，得$3x≥100$，即$x≥\frac{100}{3}\approx33.33$，又x为整数且$x≤80$，故x的取值范围为$34≤ x≤80$且x为整数。
将总利润解析式配方：
$w=-5x^2+270x+13600=-5(x-27)^2+17245$
$\because a=-5＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=27$，
$\therefore$当$x≥27$时，w随x的增大而减小，因此在$34≤ x≤80$范围内，x取最小值34时，w最大。
此时$w_{最大}=-5×(34-27)^2+17245=17000$元，
每间房价定价为$200+5×34=370$元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-5x^2+270x+13600}$
(2) 空闲房间每天储存货物获得的总利润是2000元
(3) 当每间房价定价为370元时，宾馆每天总利润最大，最大利润是17000元
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程的应用，二次函数区间最值
【点评】
本题结合经营类实际场景考查利润问题的数学建模，解题时需注意自变量的取值必须符合实际约束，求解区间内二次函数最值时，不能直接套用顶点坐标，要结合函数单调性判断最值点，避免忽略限制条件导致错误。
【难度系数】
0.6
本题是二次函数与一元二次方程结合的实际利润问题，解题思路如下：
(1) 总利润=游客居住房间的总利润+空闲房间存储货物的总利润。先确定居住房间数量为(80-x)间，每间居住房间的实际利润为（定价-额外支出），定价为(200+5x)元，额外支出30元，再加上空闲房间每间40元的利润，合并即可得到w关于x的表达式。
(2) 先写出游客居住部分的利润表达式，令其等于12600，解一元二次方程，舍去不符合实际的负根，得到x的值后乘以40即可得存储货物的总利润。
(3) 首先根据存储货物的重量要求，求出x的最小取值，结合x的实际意义确定x的取值范围；再将总利润的二次函数解析式配方，结合开口方向和对称轴判断函数在取值范围内的单调性，进而找到最值对应的x值，最后计算定价和最大利润。
【解析】
(1) 居住房间数量为(80-x)间，每间居住房间的利润为(200+5x-30)元，空闲房间存储利润为40x元，因此：
$\begin{aligned}w&=(80-x)(200+5x-30)+40x\\&=(80-x)(170+5x)+40x\\&=-5x^2+270x+13600\end{aligned}$
(2) 游客居住带来的利润为$(80-x)(200+5x-30)=-5x^2+230x+13600$，令其等于12600：
$-5x^2+230x+13600=12600$
整理得$x^2-46x-200=0$，解得$x_1=50$，$x_2=-4$（空闲房间数不能为负，舍去）。
空闲房间存储总利润为$40×50=2000$元。
(3) 由存储100吨货物，每间最多存3吨，得$3x≥100$，即$x≥\frac{100}{3}\approx33.33$，又x为整数且$x≤80$，故x的取值范围为$34≤ x≤80$且x为整数。
将总利润解析式配方：
$w=-5x^2+270x+13600=-5(x-27)^2+17245$
$\because a=-5＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=27$，
$\therefore$当$x≥27$时，w随x的增大而减小，因此在$34≤ x≤80$范围内，x取最小值34时，w最大。
此时$w_{最大}=-5×(34-27)^2+17245=17000$元，
每间房价定价为$200+5×34=370$元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-5x^2+270x+13600}$
(2) 空闲房间每天储存货物获得的总利润是2000元
(3) 当每间房价定价为370元时，宾馆每天总利润最大，最大利润是17000元
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程的应用，二次函数区间最值
【点评】
本题结合经营类实际场景考查利润问题的数学建模，解题时需注意自变量的取值必须符合实际约束，求解区间内二次函数最值时，不能直接套用顶点坐标，要结合函数单调性判断最值点，避免忽略限制条件导致错误。
【难度系数】
0.6
