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8. 如图,一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东$60°$方向,渔船向正东方向航行$(\sqrt{3}-1)$海里到达点B处,测得灯塔C在它的北偏东$45°$方向,若渔船继续向正东方向航行,则渔船与灯塔C之间的最短距离是
1
海里。答案
8. 1
解析
【分析】
要求渔船与灯塔C的最短距离，即求点C到直线AB的垂线段长度。首先过C作CD⊥AB交AB的延长线于D，CD即为所求。结合方向角可知Rt△BCD是等腰直角三角形，即BD=CD；在Rt△ACD中，由北偏东60°可得∠CAD=30°，能推出AD与CD的数量关系，再结合AB=AD-BD的线段和差关系列方程，即可求出CD的长度。
【解析】
过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，设CD的长度为x海里。
由B处测得C在北偏东45°方向，可知Rt△BCD为等腰直角三角形，因此BD=CD=x海里。
由A处测得C在北偏东60°方向，可知∠CAD=90°-60°=30°。
在Rt△ACD中，$\tan∠ CAD=\frac{CD}{AD}$，即$\tan30°=\frac{x}{AD}$，因此$AD=\frac{x}{\tan30°}=\sqrt{3}x$海里。
已知AB=$(\sqrt{3}-1)$海里，且$AB=AD-BD$，代入得：
$\sqrt{3}x - x = \sqrt{3}-1$
整理得$x(\sqrt{3}-1)=\sqrt{3}-1$，解得$x=1$。
【答案】
1
【知识点】
解直角三角形；方向角应用；等腰直角三角形性质
【点评】
本题是解直角三角形的典型实际应用题，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，将方向角转化为直角三角形的内角，结合边角关系和线段和差列方程求解，考察了数形结合思想和方程思想的运用。
【难度系数】
0.7
要求渔船与灯塔C的最短距离，即求点C到直线AB的垂线段长度。首先过C作CD⊥AB交AB的延长线于D，CD即为所求。结合方向角可知Rt△BCD是等腰直角三角形，即BD=CD；在Rt△ACD中，由北偏东60°可得∠CAD=30°，能推出AD与CD的数量关系，再结合AB=AD-BD的线段和差关系列方程，即可求出CD的长度。
【解析】
过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，设CD的长度为x海里。
由B处测得C在北偏东45°方向，可知Rt△BCD为等腰直角三角形，因此BD=CD=x海里。
由A处测得C在北偏东60°方向，可知∠CAD=90°-60°=30°。
在Rt△ACD中，$\tan∠ CAD=\frac{CD}{AD}$，即$\tan30°=\frac{x}{AD}$，因此$AD=\frac{x}{\tan30°}=\sqrt{3}x$海里。
已知AB=$(\sqrt{3}-1)$海里，且$AB=AD-BD$，代入得：
$\sqrt{3}x - x = \sqrt{3}-1$
整理得$x(\sqrt{3}-1)=\sqrt{3}-1$，解得$x=1$。
【答案】
1
【知识点】
解直角三角形；方向角应用；等腰直角三角形性质
【点评】
本题是解直角三角形的典型实际应用题，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，将方向角转化为直角三角形的内角，结合边角关系和线段和差列方程求解，考察了数形结合思想和方程思想的运用。
【难度系数】
0.7
9. 一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，$AB=3\ \mathrm{m}$，已知木箱高$BE=\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，斜面坡角为$30°$，求木箱端点E距地面AC的高度EF。
答案
9. 解:连结 AE,如图
。在 $\mathrm{Rt}△ABE$ 中,$AB=3\ \mathrm{m}$,$BE=\sqrt{3}\ \mathrm{m}$,
则 $AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
又因为 $\tan∠EAB=\frac{BE}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,
所以$∠EAB=30°$。
在 $\mathrm{Rt}△AEF$ 中,$∠EAF=∠EAB+∠BAC=60°$,
所以 $EF=AE\sin∠EAF=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=3(\mathrm{m})$。
答:木箱端点 E 距地面 AC 的高度 EF 为 3 m。
解析
【分析】
要求木箱端点E到地面AC的高度EF，可通过构造直角三角形求解：首先连接AE，先在Rt△ABE中，利用已知的AB、BE的长度，通过勾股定理求出AE的长度，再通过正切三角函数求出∠EAB的度数；再结合斜面坡角∠BAC=30°，得到∠EAF的度数；最后在Rt△AEF中，利用正弦三角函数即可求出EF的长度。
【解析】
解：连结AE，如图。
∵木箱是长方体，
∴$∠ ABE=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ABE$中，$AB=3\ \mathrm{m}$，$BE=\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
又
∵$\tan∠EAB=\frac{BE}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$∠EAB=30°$，
∵斜面坡角为$30°$，
∴$∠BAC=30°$，
∴$∠EAF=∠EAB+∠BAC=30°+30°=60°$，
在$\mathrm{Rt}△AEF$中，$\sin∠EAF=\frac{EF}{AE}$，
∴$EF=AE·\sin∠EAF=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=3(\mathrm{m})$。
【答案】
木箱端点E距地面AC的高度EF为$\boldsymbol{3\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
勾股定理、锐角三角函数、解直角三角形的应用
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用问题，解题核心是通过构造辅助线将待求线段转化到直角三角形中，结合勾股定理和三角函数的性质求解，能够有效考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
要求木箱端点E到地面AC的高度EF，可通过构造直角三角形求解：首先连接AE，先在Rt△ABE中，利用已知的AB、BE的长度，通过勾股定理求出AE的长度，再通过正切三角函数求出∠EAB的度数；再结合斜面坡角∠BAC=30°，得到∠EAF的度数；最后在Rt△AEF中，利用正弦三角函数即可求出EF的长度。
【解析】
解：连结AE，如图
。∵木箱是长方体，
∴$∠ ABE=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ABE$中，$AB=3\ \mathrm{m}$，$BE=\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
又
∵$\tan∠EAB=\frac{BE}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$∠EAB=30°$，
∵斜面坡角为$30°$，
∴$∠BAC=30°$，
∴$∠EAF=∠EAB+∠BAC=30°+30°=60°$，
在$\mathrm{Rt}△AEF$中，$\sin∠EAF=\frac{EF}{AE}$，
∴$EF=AE·\sin∠EAF=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=3(\mathrm{m})$。
【答案】
木箱端点E距地面AC的高度EF为$\boldsymbol{3\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
勾股定理、锐角三角函数、解直角三角形的应用
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用问题，解题核心是通过构造辅助线将待求线段转化到直角三角形中，结合勾股定理和三角函数的性质求解，能够有效考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
10. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义。电力部门在试验点安装了一批风力发电机，如图1，某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图(点A，B，C，D，E在同一平面内，AB⊥BC)。已知斜坡CD的长为30米，斜坡CD的坡角为60°，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20°，坡底与塔杆底端之间的距离BC=40米，求该风力发电机的塔杆AB的高度。(结果精确到个位；参考数据：$\sin20°\approx0.34$，$\cos20°\approx0.94$，$\tan20°\approx0.36$，$\sqrt{3}\approx1.73$)
答案
10. 解:过点 D 作 $DF⊥BE$ 于点 F,过点 D 作 $DG⊥AB$ 于点 G,如图
。在 $\mathrm{Rt}△DCF$ 中,$DF=CD\sin 60°=30×\frac{\sqrt{3}}{2}≈25.95$(米),
$CF=CD\cos 60°=\frac{1}{2}×30=15$(米)。
因为 $AB⊥BC$,
所以四边形 GBFD 为矩形,
所以 $DG=BF=BC+CF=40+15=55$(米)。
因为 $AG=DG\tan 20°≈55×0.36=19.8$(米)。
所以 $AB=AG+BG=AG+DF=19.8+25.95≈46$(米),
答:风力发电机的塔杆 AB 的高度为 46 米。
解析
【分析】
这是解直角三角形的实际应用问题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将未知的塔杆高度拆分为两段分别求解。首先针对斜坡CD的坡角60°，过D作BE的垂线得到Rt△DCF，可求出斜坡的垂直高度DF和水平宽度CF；再结合D处的仰角20°，过D作AB的垂线得到Rt△ADG，利用矩形的性质可得DG的长度等于BF（即BC+CF），进而求出AG的长度，最后将AG和与DF相等的GB相加即可得到AB的高度。
【解析】
过点D作$DF⊥BE$于点F，过点D作$DG⊥AB$于点G，如图。
在$\mathrm{Rt}△DCF$中，$∠ DCF=60°$，$CD=30$米：
$DF=CD·\sin60°=30×\frac{\sqrt{3}}{2}≈25.95$（米），
$CF=CD·\cos60°=30×\frac{1}{2}=15$（米）。
因为$AB⊥BC$，$DF⊥BE$，$DG⊥AB$，所以四边形GBFD为矩形，
因此$BG=DF≈25.95$米，$DG=BF=BC+CF=40+15=55$（米）。
在$\mathrm{Rt}△ADG$中，$∠ ADG=20°$，
$AG=DG·\tan20°≈55×0.36=19.8$（米）。
最后$AB=AG+BG≈19.8+25.95≈46$（米）。
【答案】
10. 解:过点 D 作 $DF⊥BE$ 于点 F,过点 D 作 $DG⊥AB$ 于点 G,如图。
在 $\mathrm{Rt}△DCF$ 中,$DF=CD\sin 60°=30×\frac{\sqrt{3}}{2}≈25.95$(米),
$CF=CD\cos 60°=\frac{1}{2}×30=15$(米)。
因为 $AB⊥BC$,
所以四边形 GBFD 为矩形,
所以 $DG=BF=BC+CF=40+15=55$(米)。
因为 $AG=DG\tan 20°≈55×0.36=19.8$(米)。
所以 $AB=AG+BG=AG+DF=19.8+25.95≈46$(米),
答:风力发电机的塔杆 AB 的高度为 46 米。
【知识点】
解直角三角形应用，矩形的性质，锐角三角函数定义
【点评】
本题是三角函数在实际测量问题中的典型应用，通过作垂直辅助线构造直角三角形与矩形，将实际测量的长度、角度条件转化为几何图形中的边角关系，既考查了锐角三角函数的计算，也考查了学生将实际问题转化为几何模型的能力，计算时需注意参考数据的合理使用，按要求对结果取近似值。
【难度系数】
0.6
这是解直角三角形的实际应用问题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将未知的塔杆高度拆分为两段分别求解。首先针对斜坡CD的坡角60°，过D作BE的垂线得到Rt△DCF，可求出斜坡的垂直高度DF和水平宽度CF；再结合D处的仰角20°，过D作AB的垂线得到Rt△ADG，利用矩形的性质可得DG的长度等于BF（即BC+CF），进而求出AG的长度，最后将AG和与DF相等的GB相加即可得到AB的高度。
【解析】
过点D作$DF⊥BE$于点F，过点D作$DG⊥AB$于点G，如图
。在$\mathrm{Rt}△DCF$中，$∠ DCF=60°$，$CD=30$米：
$DF=CD·\sin60°=30×\frac{\sqrt{3}}{2}≈25.95$（米），
$CF=CD·\cos60°=30×\frac{1}{2}=15$（米）。
因为$AB⊥BC$，$DF⊥BE$，$DG⊥AB$，所以四边形GBFD为矩形，
因此$BG=DF≈25.95$米，$DG=BF=BC+CF=40+15=55$（米）。
在$\mathrm{Rt}△ADG$中，$∠ ADG=20°$，
$AG=DG·\tan20°≈55×0.36=19.8$（米）。
最后$AB=AG+BG≈19.8+25.95≈46$（米）。
【答案】
10. 解:过点 D 作 $DF⊥BE$ 于点 F,过点 D 作 $DG⊥AB$ 于点 G,如图
。在 $\mathrm{Rt}△DCF$ 中,$DF=CD\sin 60°=30×\frac{\sqrt{3}}{2}≈25.95$(米),
$CF=CD\cos 60°=\frac{1}{2}×30=15$(米)。
因为 $AB⊥BC$,
所以四边形 GBFD 为矩形,
所以 $DG=BF=BC+CF=40+15=55$(米)。
因为 $AG=DG\tan 20°≈55×0.36=19.8$(米)。
所以 $AB=AG+BG=AG+DF=19.8+25.95≈46$(米),
答:风力发电机的塔杆 AB 的高度为 46 米。
【知识点】
解直角三角形应用，矩形的性质，锐角三角函数定义
【点评】
本题是三角函数在实际测量问题中的典型应用，通过作垂直辅助线构造直角三角形与矩形，将实际测量的长度、角度条件转化为几何图形中的边角关系，既考查了锐角三角函数的计算，也考查了学生将实际问题转化为几何模型的能力，计算时需注意参考数据的合理使用，按要求对结果取近似值。
【难度系数】
0.6
