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1. $2\tan 45° =$ （
A.$\dfrac{1}{2}$
B.1
C.$\sqrt{3}$
D.2
D
）A.$\dfrac{1}{2}$
B.1
C.$\sqrt{3}$
D.2
答案
1. D
解析
【分析】
本题解题核心是准确识记常见特殊角的三角函数值，解题思路为：先回忆45°角的正切值，再将其代入原式做乘法运算，最后匹配对应的正确选项即可。
【解析】
根据特殊角的三角函数值可得：$\tan45°=1$，
代入原式计算：$2\tan45°=2×1=2$，
因此对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数的乘法运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对特殊角三角函数值的掌握程度，只要牢记30°、45°、60°这几个常见特殊角的三角函数值，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
本题解题核心是准确识记常见特殊角的三角函数值，解题思路为：先回忆45°角的正切值，再将其代入原式做乘法运算，最后匹配对应的正确选项即可。
【解析】
根据特殊角的三角函数值可得：$\tan45°=1$，
代入原式计算：$2\tan45°=2×1=2$，
因此对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数的乘法运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对特殊角三角函数值的掌握程度，只要牢记30°、45°、60°这几个常见特殊角的三角函数值，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
2. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=3$，$BC=2$，则下列三角函数值正确的是（
A.$\sin A=\dfrac{2}{3}$
B.$\cos A=\dfrac{2}{3}$
C.$\tan A=\dfrac{3}{2}$
D.$\tan B=\dfrac{3}{2}$
A
）A.$\sin A=\dfrac{2}{3}$
B.$\cos A=\dfrac{2}{3}$
C.$\tan A=\dfrac{3}{2}$
D.$\tan B=\dfrac{3}{2}$
答案
2. A
解析
【分析】
本题是直角三角形中锐角三角函数值的判断问题，解题思路如下：第一步先明确直角三角形中锐角三角函数的定义：正弦=对边/斜边、余弦=邻边/斜边、正切=对边/邻边；第二步根据已知边长，用勾股定理求出第三条直角边AC的长度；第三步分别计算四个选项对应的三角函数值，和选项内容比对即可得出正确答案。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=3$是斜边，$BC=2$，先由勾股定理计算直角边$AC$的长度：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$
接下来逐个分析选项：
A. $\sin A$是$∠A$的对边与斜边的比值，即$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{3}$，该选项正确；
B. $\cos A$是$∠A$的邻边与斜边的比值，即$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{3}≠\frac{2}{3}$，该选项错误；
C. $\tan A$是$∠A$的对边与邻边的比值，即$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{2}{\sqrt{5}}≠\frac{3}{2}$，该选项错误；
D. $\tan B$是$∠B$的对边与邻边的比值，即$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{2}≠\frac{3}{2}$，该选项错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数的定义、勾股定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查对锐角三角函数定义的理解，解题时要准确区分每个锐角对应的对边和邻边，结合勾股定理计算未知边长后即可快速判断选项正误。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形中锐角三角函数值的判断问题，解题思路如下：第一步先明确直角三角形中锐角三角函数的定义：正弦=对边/斜边、余弦=邻边/斜边、正切=对边/邻边；第二步根据已知边长，用勾股定理求出第三条直角边AC的长度；第三步分别计算四个选项对应的三角函数值，和选项内容比对即可得出正确答案。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=3$是斜边，$BC=2$，先由勾股定理计算直角边$AC$的长度：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$
接下来逐个分析选项：
A. $\sin A$是$∠A$的对边与斜边的比值，即$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{3}$，该选项正确；
B. $\cos A$是$∠A$的邻边与斜边的比值，即$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{3}≠\frac{2}{3}$，该选项错误；
C. $\tan A$是$∠A$的对边与邻边的比值，即$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{2}{\sqrt{5}}≠\frac{3}{2}$，该选项错误；
D. $\tan B$是$∠B$的对边与邻边的比值，即$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{2}≠\frac{3}{2}$，该选项错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数的定义、勾股定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查对锐角三角函数定义的理解，解题时要准确区分每个锐角对应的对边和邻边，结合勾股定理计算未知边长后即可快速判断选项正误。
【难度系数】
0.8
3. 如图，在平面直角坐标系中，点$P(3,m)$是第一象限内的点，且$OP$与$x$轴正半轴的夹角$α$的正切值为$\frac{4}{3}$，则$\sinα$的值为（
A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{5}{4}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{5}{3}$
A
）A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{5}{4}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{5}{3}$
答案
3. A
解析
【分析】
要解决这道题可按以下思路推导：首先根据平面直角坐标系中锐角正切的定义，角α的正切值等于点P的纵坐标与横坐标的比值，结合已知的tanα数值即可求出m的值；再利用勾股定理计算线段OP的长度；最后根据正弦函数的定义，即角的对边与斜边的比值，代入对应数值就能算出sinα的结果。
【解析】
过点P作$PA ⊥ x$轴于点A，可得$OA=3$，$PA=m$。
根据正切的定义：$\tanα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{PA}{OA}=\frac{m}{3}$，已知$\tanα=\frac{4}{3}$，因此$\frac{m}{3}=\frac{4}{3}$，解得$m=4$。
由勾股定理计算OP的长度：$OP=\sqrt{OA^2+PA^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$。
再根据正弦的定义：$\sinα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{PA}{OP}=\frac{4}{5}$。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理
【点评】
本题属于解直角三角形的基础题型，结合了平面直角坐标系与锐角三角函数的知识点，解题关键是构造直角三角形，熟练运用三角函数定义和勾股定理计算，掌握基础概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题可按以下思路推导：首先根据平面直角坐标系中锐角正切的定义，角α的正切值等于点P的纵坐标与横坐标的比值，结合已知的tanα数值即可求出m的值；再利用勾股定理计算线段OP的长度；最后根据正弦函数的定义，即角的对边与斜边的比值，代入对应数值就能算出sinα的结果。
【解析】
过点P作$PA ⊥ x$轴于点A，可得$OA=3$，$PA=m$。
根据正切的定义：$\tanα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{PA}{OA}=\frac{m}{3}$，已知$\tanα=\frac{4}{3}$，因此$\frac{m}{3}=\frac{4}{3}$，解得$m=4$。
由勾股定理计算OP的长度：$OP=\sqrt{OA^2+PA^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$。
再根据正弦的定义：$\sinα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{PA}{OP}=\frac{4}{5}$。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理
【点评】
本题属于解直角三角形的基础题型，结合了平面直角坐标系与锐角三角函数的知识点，解题关键是构造直角三角形，熟练运用三角函数定义和勾股定理计算，掌握基础概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 如图,小明想利用“$∠ A=30°, AB=6\ \mathrm{cm}, BC=4\ \mathrm{cm}$”这些条件作$△ ABC$。他先作出了$∠ A$和$AB$,在用圆规作$BC$时,发现点$C$出现$C_1$和$C_2$两个位置,那么$C_1C_2$的长是 (
A.$3\ \mathrm{cm}$
B.$4\ \mathrm{cm}$
C.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
D.$2\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$
D
)A.$3\ \mathrm{cm}$
B.$4\ \mathrm{cm}$
C.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
D.$2\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$
答案
4. D
解析
【分析】
要解决本题，我们可以通过作高构造直角三角形求解：首先过点B作AC的垂线，构造出含30°角的直角三角形和等腰三角形，利用30°直角三角形的性质求出高，再结合等腰三角形三线合一的性质和勾股定理，就能算出C₁C₂的长度。
【解析】
过点B作BD⊥AC，垂足为D。
1. 在Rt△ABD中，∠A=30°，AB=6cm，根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，可得：
$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\mathrm{cm}$
2. 由作图可知$BC_1=BC_2=4\mathrm{cm}$，且$BD⊥ C_1C_2$，根据等腰三角形三线合一的性质，D是$C_1C_2$的中点，即$C_1C_2=2DC_1$。
3. 在Rt△BDC₁中，根据勾股定理：
$DC_1=\sqrt{BC_1^2-BD^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}\mathrm{cm}$
因此$C_1C_2=2×\sqrt{7}=2\sqrt{7}\mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的典型应用题型，通过作辅助线构造直角三角形是解题的突破口，需要学生熟练掌握特殊角度直角三角形的性质和勾股定理的应用。
【难度系数】
0.7
要解决本题，我们可以通过作高构造直角三角形求解：首先过点B作AC的垂线，构造出含30°角的直角三角形和等腰三角形，利用30°直角三角形的性质求出高，再结合等腰三角形三线合一的性质和勾股定理，就能算出C₁C₂的长度。
【解析】
过点B作BD⊥AC，垂足为D。
1. 在Rt△ABD中，∠A=30°，AB=6cm，根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，可得：
$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\mathrm{cm}$
2. 由作图可知$BC_1=BC_2=4\mathrm{cm}$，且$BD⊥ C_1C_2$，根据等腰三角形三线合一的性质，D是$C_1C_2$的中点，即$C_1C_2=2DC_1$。
3. 在Rt△BDC₁中，根据勾股定理：
$DC_1=\sqrt{BC_1^2-BD^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}\mathrm{cm}$
因此$C_1C_2=2×\sqrt{7}=2\sqrt{7}\mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的典型应用题型，通过作辅助线构造直角三角形是解题的突破口，需要学生熟练掌握特殊角度直角三角形的性质和勾股定理的应用。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在$△ ABC$中,$\sin B=\frac{1}{2},AB=8,AC=5$,且$B,C$为锐角,则$\cos C$的值是（
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{3}{4}$
第5题图 第6题图
A
）A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{3}{4}$
第5题图 第6题图
答案
5. A
解析
【分析】
求解本题的核心思路是通过作高将斜三角形转化为直角三角形，利用已知的锐角三角函数值和边长逐步计算：首先过点A作BC的垂线，得到两个直角三角形；先在含∠B的直角三角形中，利用sinB的定义求出高AD的长度；再在含∠C的直角三角形中用勾股定理求出CD的长度，最后根据余弦的定义即可求出cosC的值。
【解析】
过点A作$AD ⊥ BC$，垂足为D，构造两个直角三角形：
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，
由$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，$AB=8$，
得$AD=AB · \sin B=8 × \frac{1}{2}=4$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ADC=90°$，$AC=5$，$AD=4$，
由勾股定理得$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$。
3. 根据余弦的定义，$\cos C=\frac{\mathrm{∠C的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{CD}{AC}=\frac{3}{5}$。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的典型题型，解题关键是通过作辅助线（高）将非直角三角形转化为直角三角形，再结合锐角三角函数和勾股定理计算，考查学生对基础知识点的运用能力。
【难度系数】
0.7
求解本题的核心思路是通过作高将斜三角形转化为直角三角形，利用已知的锐角三角函数值和边长逐步计算：首先过点A作BC的垂线，得到两个直角三角形；先在含∠B的直角三角形中，利用sinB的定义求出高AD的长度；再在含∠C的直角三角形中用勾股定理求出CD的长度，最后根据余弦的定义即可求出cosC的值。
【解析】
过点A作$AD ⊥ BC$，垂足为D，构造两个直角三角形：
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，
由$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，$AB=8$，
得$AD=AB · \sin B=8 × \frac{1}{2}=4$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ADC=90°$，$AC=5$，$AD=4$，
由勾股定理得$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$。
3. 根据余弦的定义，$\cos C=\frac{\mathrm{∠C的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{CD}{AC}=\frac{3}{5}$。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的典型题型，解题关键是通过作辅助线（高）将非直角三角形转化为直角三角形，再结合锐角三角函数和勾股定理计算，考查学生对基础知识点的运用能力。
【难度系数】
0.7
6. 如图，A，B，C是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则$\sin∠ ACB$的值为（
A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
A
）A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
答案
6. A
解析
【分析】
要求$\sin∠ ACB$的值，需将$∠ ACB$放到直角三角形中，结合正弦的定义（锐角的对边与斜边的比值）求解。我们可以先设每个小正方形的边长为1，第一步通过勾股定理求出$AC$、$BC$的长度；第二步用割补法计算$△ ABC$的面积，再结合三角形面积公式求出$AC$边上的高（即$∠ ACB$的对边）；最后代入正弦的定义即可得到结果。
【解析】
解：设每个小正方形的边长为1，过点$B$作$BD⊥ AC$，垂足为$D$。
1. 由勾股定理计算边长：
数网格可得，$AC=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$，$BC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$。
2. 用割补法求$△ ABC$的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×4=8$。
3. 求高$BD$：
由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BD$，代入数值得：
$8=\frac{1}{2}×2\sqrt{10}× BD$，解得$BD=\frac{4\sqrt{10}}{5}$。
4. 计算$\sin∠ ACB$：
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$\sin∠ ACB=\frac{BD}{BC}=\frac{\frac{4\sqrt{10}}{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数的定义，三角形面积计算
【点评】
本题考查锐角三角函数的求解，解题的核心是通过作高构造含所求角的直角三角形，结合勾股定理和面积法得到所需边长，再代入三角函数定义计算，体现了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.65
要求$\sin∠ ACB$的值，需将$∠ ACB$放到直角三角形中，结合正弦的定义（锐角的对边与斜边的比值）求解。我们可以先设每个小正方形的边长为1，第一步通过勾股定理求出$AC$、$BC$的长度；第二步用割补法计算$△ ABC$的面积，再结合三角形面积公式求出$AC$边上的高（即$∠ ACB$的对边）；最后代入正弦的定义即可得到结果。
【解析】
解：设每个小正方形的边长为1，过点$B$作$BD⊥ AC$，垂足为$D$。
1. 由勾股定理计算边长：
数网格可得，$AC=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$，$BC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$。
2. 用割补法求$△ ABC$的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×4=8$。
3. 求高$BD$：
由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BD$，代入数值得：
$8=\frac{1}{2}×2\sqrt{10}× BD$，解得$BD=\frac{4\sqrt{10}}{5}$。
4. 计算$\sin∠ ACB$：
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$\sin∠ ACB=\frac{BD}{BC}=\frac{\frac{4\sqrt{10}}{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数的定义，三角形面积计算
【点评】
本题考查锐角三角函数的求解，解题的核心是通过作高构造含所求角的直角三角形，结合勾股定理和面积法得到所需边长，再代入三角函数定义计算，体现了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.65
7. 若$\cos A=\dfrac{1}{2}$,则锐角$A=$
60°
。答案
7. 60°
解析
【分析】
本题考查特殊锐角的三角函数值的应用，解题思路如下：第一步，明确题目限定条件A是锐角，即A的范围在0°~90°之间；第二步，回忆30°、45°、60°这几个常见特殊锐角的余弦值，找到余弦值等于$\dfrac{1}{2}$对应的角度即可。
【解析】
已知常见特殊锐角的余弦值：
$\cos30°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos60°=\dfrac{1}{2}$
又因为A是锐角，满足$0°＜A＜90°$，结合$\cos A=\dfrac{1}{2}$，可得锐角$A=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，重点考查对特殊锐角三角函数值的识记，熟练掌握30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题考查特殊锐角的三角函数值的应用，解题思路如下：第一步，明确题目限定条件A是锐角，即A的范围在0°~90°之间；第二步，回忆30°、45°、60°这几个常见特殊锐角的余弦值，找到余弦值等于$\dfrac{1}{2}$对应的角度即可。
【解析】
已知常见特殊锐角的余弦值：
$\cos30°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos60°=\dfrac{1}{2}$
又因为A是锐角，满足$0°＜A＜90°$，结合$\cos A=\dfrac{1}{2}$，可得锐角$A=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，重点考查对特殊锐角三角函数值的识记，熟练掌握30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值即可快速求解。
【难度系数】
0.9
8. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$BC=4$,$\tan A=\dfrac{2}{3}$,则$AC=$
6
。答案
8. 6
解析
【分析】
本题是直角三角形中利用正切值求边长的基础题，解题思路如下：首先回忆锐角三角函数中正切的定义，在直角三角形中，一个锐角的正切值等于它的对边长度与邻边长度的比值；接着确定∠A的对边和邻边，本题中∠C为直角，因此∠A的对边是BC，邻边是AC；最后将已知的BC长度和tanA的值代入正切公式，解方程即可求出AC的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切的定义可得：
$\tan A = \dfrac{∠ A的对边}{∠ A的邻边} = \dfrac{BC}{AC}$
将$BC=4$，$\tan A=\dfrac{2}{3}$代入上式得：
$\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{AC}$
交叉相乘解得：$2AC=12$，即$AC=6$
【答案】
6
【知识点】
正切的定义；解直角三角形
【点评】
本题属于基础题型，主要考查正切定义的理解与应用，解题时只要准确区分锐角的对边和邻边，代入数值计算即可，属于易得分题。
【难度系数】
0.85
本题是直角三角形中利用正切值求边长的基础题，解题思路如下：首先回忆锐角三角函数中正切的定义，在直角三角形中，一个锐角的正切值等于它的对边长度与邻边长度的比值；接着确定∠A的对边和邻边，本题中∠C为直角，因此∠A的对边是BC，邻边是AC；最后将已知的BC长度和tanA的值代入正切公式，解方程即可求出AC的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切的定义可得：
$\tan A = \dfrac{∠ A的对边}{∠ A的邻边} = \dfrac{BC}{AC}$
将$BC=4$，$\tan A=\dfrac{2}{3}$代入上式得：
$\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{AC}$
交叉相乘解得：$2AC=12$，即$AC=6$
【答案】
6
【知识点】
正切的定义；解直角三角形
【点评】
本题属于基础题型，主要考查正切定义的理解与应用，解题时只要准确区分锐角的对边和邻边，代入数值计算即可，属于易得分题。
【难度系数】
0.85
9. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°$,$CD⊥ AB$,垂足为点 $D$,若$\frac{AD}{DB}=\frac{3}{2}$,则$\tan B=$
$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
。答案
9. $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
解析
【分析】
遇到直角三角形斜边上有高的模型，首先可通过同角的余角相等证明角相等，得到相似三角形，再利用相似的性质得到各线段的数量关系。本题已知AD与DB的比值，可先设参数表示AD、DB的长度，结合相似性质求出CD的长度，最后根据正切的定义在Rt△CDB中计算tanB的值即可。
【解析】
设$AD=3k$，$DB=2k$（$k＞0$）。
∵$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，
∴$∠ ADC=∠ CDB=90°$，$∠ A+∠ B=90°$，$∠ A+∠ ACD=90°$，
∴$∠ ACD=∠ B$，
∴$△ ACD ∽ △ CBD$。
根据相似三角形的性质可得：$\frac{CD}{BD}=\frac{AD}{CD}$，即$CD^2=AD· BD$。
代入$AD=3k$，$BD=2k$，得$CD^2=3k· 2k=6k^2$，解得$CD=\sqrt{6}k$（线段长度为正，舍去负根）。
在$Rt△ CDB$中，根据正切的定义：$\tan B=\frac{\mathrm{∠B的对边}}{\mathrm{∠B的邻边}}=\frac{CD}{BD}$，
代入$CD=\sqrt{6}k$，$BD=2k$，得$\tan B=\frac{\sqrt{6}k}{2k}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；直角三角形的性质
【点评】
本题结合直角三角形斜边上的高模型，考查相似三角形和锐角三角函数的综合应用，采用参数法表示线段长度可简化计算过程，熟练掌握同角的余角相等、相似三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
遇到直角三角形斜边上有高的模型，首先可通过同角的余角相等证明角相等，得到相似三角形，再利用相似的性质得到各线段的数量关系。本题已知AD与DB的比值，可先设参数表示AD、DB的长度，结合相似性质求出CD的长度，最后根据正切的定义在Rt△CDB中计算tanB的值即可。
【解析】
设$AD=3k$，$DB=2k$（$k＞0$）。
∵$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，
∴$∠ ADC=∠ CDB=90°$，$∠ A+∠ B=90°$，$∠ A+∠ ACD=90°$，
∴$∠ ACD=∠ B$，
∴$△ ACD ∽ △ CBD$。
根据相似三角形的性质可得：$\frac{CD}{BD}=\frac{AD}{CD}$，即$CD^2=AD· BD$。
代入$AD=3k$，$BD=2k$，得$CD^2=3k· 2k=6k^2$，解得$CD=\sqrt{6}k$（线段长度为正，舍去负根）。
在$Rt△ CDB$中，根据正切的定义：$\tan B=\frac{\mathrm{∠B的对边}}{\mathrm{∠B的邻边}}=\frac{CD}{BD}$，
代入$CD=\sqrt{6}k$，$BD=2k$，得$\tan B=\frac{\sqrt{6}k}{2k}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；直角三角形的性质
【点评】
本题结合直角三角形斜边上的高模型，考查相似三角形和锐角三角函数的综合应用，采用参数法表示线段长度可简化计算过程，熟练掌握同角的余角相等、相似三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
10. 某科技小组用无人机测量一池塘水面两端A,B之间的距离,具体过程如下:如图,将无人机垂直上升至距水面120 m的P处,测得A处的俯角为$45°$,B处的俯角为$22°$,则A,B之间的距离是
180
m。(参考数据:$\tan 22° \approx 0.4$) 答案
10. 180
解析
【分析】
解题时首先将俯角转化为直角三角形的内角，构造两个直角三角形：第一步，过P向水面AB所在直线作垂线，垂足记为O，得到PO=120m，△POA和△POB均为直角三角形；第二步，利用A处的俯角为45°，可知Rt△POA为等腰直角三角形，求出OA的长度；第三步，利用B处的俯角为22°，结合正切三角函数的定义求出OB的长度；最后用OB减去OA即可得到AB的距离。
【解析】
设过点P垂直于水面的直线与AB所在直线交于点O，则PO⊥AB，PO=120m。
1. 由P处测得A处的俯角为45°，根据平行线的内错角相等，可得∠PAO=45°。
在Rt△POA中，∠POA=90°，∠PAO=45°，因此△POA为等腰直角三角形，故OA=PO=120m。
2. 由P处测得B处的俯角为22°，同理可得∠PBO=22°。
在Rt△POB中，$\tan∠ PBO=\frac{PO}{OB}$，代入数据$\tan22°\approx0.4$，PO=120m，得：
$OB=\frac{PO}{\tan22°}\approx\frac{120}{0.4}=300\ \mathrm{m}$
3. 计算AB的长度：$AB=OB-OA=300-120=180\ \mathrm{m}$
【答案】
180
【知识点】
俯角的概念，解直角三角形，锐角三角函数
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类题目，解题的核心是将实际场景中的俯角转化为直角三角形的内角，结合三角函数的定义求解对应线段长度，求解时要注意找准直角三角形中边角的对应关系，避免混淆三角函数的公式。
【难度系数】
0.7
解题时首先将俯角转化为直角三角形的内角，构造两个直角三角形：第一步，过P向水面AB所在直线作垂线，垂足记为O，得到PO=120m，△POA和△POB均为直角三角形；第二步，利用A处的俯角为45°，可知Rt△POA为等腰直角三角形，求出OA的长度；第三步，利用B处的俯角为22°，结合正切三角函数的定义求出OB的长度；最后用OB减去OA即可得到AB的距离。
【解析】
设过点P垂直于水面的直线与AB所在直线交于点O，则PO⊥AB，PO=120m。
1. 由P处测得A处的俯角为45°，根据平行线的内错角相等，可得∠PAO=45°。
在Rt△POA中，∠POA=90°，∠PAO=45°，因此△POA为等腰直角三角形，故OA=PO=120m。
2. 由P处测得B处的俯角为22°，同理可得∠PBO=22°。
在Rt△POB中，$\tan∠ PBO=\frac{PO}{OB}$，代入数据$\tan22°\approx0.4$，PO=120m，得：
$OB=\frac{PO}{\tan22°}\approx\frac{120}{0.4}=300\ \mathrm{m}$
3. 计算AB的长度：$AB=OB-OA=300-120=180\ \mathrm{m}$
【答案】
180
【知识点】
俯角的概念，解直角三角形，锐角三角函数
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类题目，解题的核心是将实际场景中的俯角转化为直角三角形的内角，结合三角函数的定义求解对应线段长度，求解时要注意找准直角三角形中边角的对应关系，避免混淆三角函数的公式。
【难度系数】
0.7
