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11. 在$△ ABC$中，$AB=5$，$B$为锐角且$\sin B=\frac{4}{5}$，$AC=2\sqrt{5}$，则$BC$的长为
1或5
。答案
11. 1或5 【解析】过点C作$CD⊥AB$于点D，
。在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$\sin B=\dfrac{CD}{BC}=\dfrac{4}{5}$，
所以设$CD=4x,BC=5x$，
所以$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=3x$。
因为$AB=5$，所以$AD=5-3x$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，
$(5-3x)^2+(4x)^2=(2\sqrt{5})^2$，
整理得$5x^2-6x+1=0$，
解得$x_1=\dfrac{1}{5},x_2=1$。
当$x=\dfrac{1}{5}$时，$BC=5x=1$；
当$x=1$时，$BC=5x=5$。
综上所述，$BC$的长为1或5。
解析
【分析】
已知△ABC中AB、AC的边长和∠B的正弦值，要求BC的长，我们可以通过作高将斜三角形转化为两个直角三角形求解。第一步过C作CD⊥AB于D，构造两个直角三角形；第二步利用sinB的比例关系设参数，表示出Rt△BCD的各边；第三步用AB的长度表示出AD的长度，在Rt△ACD中利用勾股定理列方程求解参数，最后计算BC的长度，注意检验解是否符合题意。
【解析】
过点C作$CD⊥AB$于点D，
在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$\sin B=\dfrac{CD}{BC}=\dfrac{4}{5}$，
所以设$CD=4x,BC=5x$，
由勾股定理得$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{(5x)^2-(4x)^2}=3x$。
因为$AB=5$，所以$AD=AB-BD=5-3x$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，根据勾股定理$AD^2+CD^2=AC^2$，
代入得$(5-3x)^2+(4x)^2=(2\sqrt{5})^2$，
整理得$5x^2-6x+1=0$，
因式分解得$(5x-1)(x-1)=0$，解得$x_1=\dfrac{1}{5},x_2=1$。
当$x=\dfrac{1}{5}$时，$BC=5x=1$；
当$x=1$时，$BC=5x=5$。
两个解均满足B为锐角的条件，均成立。
【答案】
1或5
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的典型题型，作高构造直角三角形是这类问题的常用辅助线方法，解题时要注意验证解的合理性，避免漏解。
【难度系数】
0.6
已知△ABC中AB、AC的边长和∠B的正弦值，要求BC的长，我们可以通过作高将斜三角形转化为两个直角三角形求解。第一步过C作CD⊥AB于D，构造两个直角三角形；第二步利用sinB的比例关系设参数，表示出Rt△BCD的各边；第三步用AB的长度表示出AD的长度，在Rt△ACD中利用勾股定理列方程求解参数，最后计算BC的长度，注意检验解是否符合题意。
【解析】
过点C作$CD⊥AB$于点D，
在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$\sin B=\dfrac{CD}{BC}=\dfrac{4}{5}$，
所以设$CD=4x,BC=5x$，
由勾股定理得$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{(5x)^2-(4x)^2}=3x$。
因为$AB=5$，所以$AD=AB-BD=5-3x$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，根据勾股定理$AD^2+CD^2=AC^2$，
代入得$(5-3x)^2+(4x)^2=(2\sqrt{5})^2$，
整理得$5x^2-6x+1=0$，
因式分解得$(5x-1)(x-1)=0$，解得$x_1=\dfrac{1}{5},x_2=1$。
当$x=\dfrac{1}{5}$时，$BC=5x=1$；
当$x=1$时，$BC=5x=5$。
两个解均满足B为锐角的条件，均成立。
【答案】
1或5
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的典型题型，作高构造直角三角形是这类问题的常用辅助线方法，解题时要注意验证解的合理性，避免漏解。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共45分)
12. (13分)计算:
(1)$\sin 60° + \cos 45° + \tan 30°$。
(2)$\sin^2 30° - 2\cos 30° · \tan 60°$。
12. (13分)计算:
(1)$\sin 60° + \cos 45° + \tan 30°$。
(2)$\sin^2 30° - 2\cos 30° · \tan 60°$。
答案
12. 解:(1)$原式=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{5\sqrt{3}}{6}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。
(2)$原式=(\dfrac{1}{2})^2-2×\dfrac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}$
$=\dfrac{1}{4}-3$
$=-\dfrac{11}{4}$。
(2)$原式=(\dfrac{1}{2})^2-2×\dfrac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}$
$=\dfrac{1}{4}-3$
$=-\dfrac{11}{4}$。
解析
【分析】
本题考查特殊角三角函数值的计算，解题思路如下：①首先准确记忆30°、45°、60°三个特殊角的正弦、余弦、正切函数值；②将对应函数值代入原式，按照实数混合运算的顺序计算：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同类二次根式要合并化简。
(1)题直接代入三个三角函数值后，对含$\sqrt{3}$的项通分合并即可；(2)题先计算平方项，再计算乘法运算，最后做减法得到结果。
【解析】
(1) 代入特殊角的三角函数值：$\sin60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan30°=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$原式=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
通分合并同类二次根式：$\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{3\sqrt{3}}{6}+\dfrac{2\sqrt{3}}{6}=\dfrac{5\sqrt{3}}{6}$
因此最终结果为$\dfrac{5\sqrt{3}}{6}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
(2) 代入特殊角的三角函数值：$\sin30°=\dfrac{1}{2}$，$\cos30°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$
$原式=(\dfrac{1}{2})^2-2×\dfrac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}$
先计算乘方和乘法：$(\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$，$2×\dfrac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}=\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$
再计算减法：$\dfrac{1}{4}-3=-\dfrac{11}{4}$
【答案】
(1) $\dfrac{5\sqrt{3}}{6}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
(2) $-\dfrac{11}{4}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；实数的混合运算
【点评】
本题属于基础计算题，核心要求是准确识记特殊角的三角函数值，计算时注意遵循运算顺序，二次根式化简和符号判断要仔细，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
本题考查特殊角三角函数值的计算，解题思路如下：①首先准确记忆30°、45°、60°三个特殊角的正弦、余弦、正切函数值；②将对应函数值代入原式，按照实数混合运算的顺序计算：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同类二次根式要合并化简。
(1)题直接代入三个三角函数值后，对含$\sqrt{3}$的项通分合并即可；(2)题先计算平方项，再计算乘法运算，最后做减法得到结果。
【解析】
(1) 代入特殊角的三角函数值：$\sin60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan30°=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$原式=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
通分合并同类二次根式：$\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{3\sqrt{3}}{6}+\dfrac{2\sqrt{3}}{6}=\dfrac{5\sqrt{3}}{6}$
因此最终结果为$\dfrac{5\sqrt{3}}{6}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
(2) 代入特殊角的三角函数值：$\sin30°=\dfrac{1}{2}$，$\cos30°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$
$原式=(\dfrac{1}{2})^2-2×\dfrac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}$
先计算乘方和乘法：$(\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$，$2×\dfrac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}=\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$
再计算减法：$\dfrac{1}{4}-3=-\dfrac{11}{4}$
【答案】
(1) $\dfrac{5\sqrt{3}}{6}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
(2) $-\dfrac{11}{4}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；实数的混合运算
【点评】
本题属于基础计算题，核心要求是准确识记特殊角的三角函数值，计算时注意遵循运算顺序，二次根式化简和符号判断要仔细，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
13. (15分)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=3$,$BC=4$,$∠ ABC$的平分线交边$AC$于点$D$,延长$BD$至点$E$,使$BD=2DE$,连结$AE$。
(1)求线段$CD$的长。
(2)求$△ ADE$的面积。
(1)求线段$CD$的长。
(2)求$△ ADE$的面积。
答案
13. 解:(1)如图,过点D作$DH⊥AB$,垂足为点H。
因为$BD$平分$∠ABC$,$∠C=90°$,
所以设$DH=DC=x$,则$AD=3-x$。
因为$∠C=90°$,$AC=3$,$BC=4$,
所以$AB=5$。
因为$\sin ∠BAC=\dfrac{HD}{AD}=\dfrac{BC}{AB}$,
所以$\dfrac{x}{3-x}=\dfrac{4}{5}$,解得$x=\dfrac{4}{3}$,
即$CD=\dfrac{4}{3}$。
(2)$S_{△ABD}=\dfrac{1}{2}AB· DH=\dfrac{1}{2}×5×\dfrac{4}{3}=\dfrac{10}{3}$。
因为$BD=2DE$,
所以$\dfrac{S_{△ABD}}{S_{△ADE}}=\dfrac{BD}{DE}=2$,
所以$S_{△ADE}=\dfrac{10}{3}×\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{3}$。
解析
【分析】
(1) 求线段CD的长时，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过点D作DH⊥AB于H，可得DH=CD。设CD=x，则AD=3-x，先通过勾股定理求出AB的长度，再利用∠BAC的正弦值在Rt△ABC和Rt△AHD中的表达式相等列方程，解方程即可得到CD的长度。
(2) 求△ADE的面积时，观察到△ABD与△ADE共顶点A，底边BD、DE在同一条直线上，因此两个三角形的高相等，面积比等于对应底的比。先求出△ABD的面积，再结合BD=2DE的比例关系，即可求出△ADE的面积。
【解析】
(1) 如图，过点D作$DH⊥AB$，垂足为点H。
∵BD平分$∠ABC$，$∠C=90°$，根据角平分线的性质可得$DH=DC$。
设$DH=DC=x$，则$AD=AC-CD=3-x$。
在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
根据正弦的定义，$\sin ∠BAC=\frac{BC}{AB}=\frac{HD}{AD}$，代入得：
$\frac{x}{3-x}=\frac{4}{5}$
解得$x=\frac{4}{3}$，即$CD=\frac{4}{3}$。
(2) 首先计算$△ ABD$的面积：
$S_{△ABD}=\frac{1}{2}·AB·DH=\frac{1}{2}×5×\frac{4}{3}=\frac{10}{3}$
∵$BD=2DE$，$△ ABD$和$△ ADE$同高，面积比等于底的比，即$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ADE}}=\frac{BD}{DE}=2$
∴$S_{△ADE}=\frac{1}{2}S_{△ABD}=\frac{1}{2}×\frac{10}{3}=\frac{5}{3}$
【答案】
(1) $CD=\dfrac{4}{3}$；
(2) $△ ADE$的面积为$\dfrac{5}{3}$。
【知识点】
角平分线的性质；解直角三角形；三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是正确运用角平分线的性质作辅助线，结合解直角三角形求出未知线段长度，再利用同高三角形的面积与底的比例关系简化面积计算，能够有效考查学生对几何基础知识的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求线段CD的长时，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过点D作DH⊥AB于H，可得DH=CD。设CD=x，则AD=3-x，先通过勾股定理求出AB的长度，再利用∠BAC的正弦值在Rt△ABC和Rt△AHD中的表达式相等列方程，解方程即可得到CD的长度。
(2) 求△ADE的面积时，观察到△ABD与△ADE共顶点A，底边BD、DE在同一条直线上，因此两个三角形的高相等，面积比等于对应底的比。先求出△ABD的面积，再结合BD=2DE的比例关系，即可求出△ADE的面积。
【解析】
(1) 如图，过点D作$DH⊥AB$，垂足为点H。
∵BD平分$∠ABC$，$∠C=90°$，根据角平分线的性质可得$DH=DC$。
设$DH=DC=x$，则$AD=AC-CD=3-x$。
在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
根据正弦的定义，$\sin ∠BAC=\frac{BC}{AB}=\frac{HD}{AD}$，代入得：
$\frac{x}{3-x}=\frac{4}{5}$
解得$x=\frac{4}{3}$，即$CD=\frac{4}{3}$。
(2) 首先计算$△ ABD$的面积：
$S_{△ABD}=\frac{1}{2}·AB·DH=\frac{1}{2}×5×\frac{4}{3}=\frac{10}{3}$
∵$BD=2DE$，$△ ABD$和$△ ADE$同高，面积比等于底的比，即$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ADE}}=\frac{BD}{DE}=2$
∴$S_{△ADE}=\frac{1}{2}S_{△ABD}=\frac{1}{2}×\frac{10}{3}=\frac{5}{3}$
【答案】
(1) $CD=\dfrac{4}{3}$；
(2) $△ ADE$的面积为$\dfrac{5}{3}$。
【知识点】
角平分线的性质；解直角三角形；三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是正确运用角平分线的性质作辅助线，结合解直角三角形求出未知线段长度，再利用同高三角形的面积与底的比例关系简化面积计算，能够有效考查学生对几何基础知识的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
14. (17分)湖中小岛的码头C处有一名游客突发疾病，需要救援。位于湖面B处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援。计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上。已知C在A的北偏东$30°$方向上，B在A的北偏东$60°$方向且在C的正南方向1500米处。
(1)求湖岸A与码头C之间的距离。(参考数据：$\sqrt{3}≈1.732$)
(2)已知救援船的平均速度为190米/分，快艇的平均速度为500米/分，在接到通知后，快艇能否在6分钟内将该游客送上救援船？请说明理由。(接送游客上、下船的时间忽略不计)
(1)求湖岸A与码头C之间的距离。(参考数据：$\sqrt{3}≈1.732$)
(2)已知救援船的平均速度为190米/分，快艇的平均速度为500米/分，在接到通知后，快艇能否在6分钟内将该游客送上救援船？请说明理由。(接送游客上、下船的时间忽略不计)
答案
14. 解:(1)过点A作BC的垂线交CB的延长线于点D，
。依题意，$∠CAN=30°$,$∠BAN=60°$,
所以$∠BAC=30°$。
又因为$AN// BC$,
所以$∠C=∠NAC=30°$。
所以$∠C=∠BAC$,
所以$AB=BC=1500$米。
因为$∠DAB=90°-∠BAN=90°-60°=30°$,
所以在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$BD=\dfrac{1}{2}AB=750$米。
因为$\cos C=\dfrac{CD}{AC}$,
所以$AC=\dfrac{CD}{\cos C}=\dfrac{1500+750}{\cos 30°}=\dfrac{2250}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=1500\sqrt{3}\approx2598$(米)。
(2)已知救援船的平均速度为190 米/分,快艇的平均速度为 500 米/分,
所以快艇和救援船6分钟内行驶的路程总和为$(190+500)×6=4140$(米)。
而$AC+BC=2598+1500=4098$(米),
$4140＞4098$,
所以快艇可以将游客送上救援船。
解析
【分析】
(1) 求解A、C距离时，先根据方位角定义确定已知角的度数，结合B在C正南方向得到BC为南北走向，与过A的南北方向线AN平行，进而推导角的关系得到等腰三角形，再通过作AD垂直BC构造直角三角形，利用三角函数即可求出AC的长度；
(2) 判断快艇能否在6分钟内完成转运时，明确快艇和救援船相向行驶的总路程为BC+AC，只需计算两者6分钟行驶的路程总和，与总路程对比即可得出结论。
【解析】
(1) 过点A作BC的垂线交CB的延长线于点D，。
依题意，$∠CAN=30°$,$∠BAN=60°$,
所以$∠BAC=30°$。
又因为$AN// BC$,
所以$∠C=∠NAC=30°$。
所以$∠C=∠BAC$,
所以$AB=BC=1500$米。
因为$∠DAB=90°-∠BAN=90°-60°=30°$,
所以在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$BD=\dfrac{1}{2}AB=750$米。
因为$\cos C=\dfrac{CD}{AC}$,
所以$AC=\dfrac{CD}{\cos C}=\dfrac{1500+750}{\cos 30°}=\dfrac{2250}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=1500\sqrt{3}\approx2598$(米)。
(2) 已知救援船的平均速度为190 米/分,快艇的平均速度为 500 米/分,
所以快艇和救援船6分钟内行驶的路程总和为$(190+500)×6=4140$(米)。
而$AC+BC=2598+1500=4098$(米),
$4140＞4098$,
所以快艇可以将游客送上救援船。
【答案】
(1) 湖岸A与码头C之间的距离约为2598米；
(2) 快艇能在6分钟内将该游客送上救援船。
【知识点】
方位角应用，解直角三角形，行程问题计算
【点评】
本题结合实际救援场景命题，既考查了方位角、解直角三角形的几何知识，也融合了行程问题的计算，需要学生将实际问题转化为几何模型求解，能有效考查学生知识迁移和实际应用的能力。
【难度系数】
0.65
(1) 求解A、C距离时，先根据方位角定义确定已知角的度数，结合B在C正南方向得到BC为南北走向，与过A的南北方向线AN平行，进而推导角的关系得到等腰三角形，再通过作AD垂直BC构造直角三角形，利用三角函数即可求出AC的长度；
(2) 判断快艇能否在6分钟内完成转运时，明确快艇和救援船相向行驶的总路程为BC+AC，只需计算两者6分钟行驶的路程总和，与总路程对比即可得出结论。
【解析】
(1) 过点A作BC的垂线交CB的延长线于点D，
。依题意，$∠CAN=30°$,$∠BAN=60°$,
所以$∠BAC=30°$。
又因为$AN// BC$,
所以$∠C=∠NAC=30°$。
所以$∠C=∠BAC$,
所以$AB=BC=1500$米。
因为$∠DAB=90°-∠BAN=90°-60°=30°$,
所以在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$BD=\dfrac{1}{2}AB=750$米。
因为$\cos C=\dfrac{CD}{AC}$,
所以$AC=\dfrac{CD}{\cos C}=\dfrac{1500+750}{\cos 30°}=\dfrac{2250}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=1500\sqrt{3}\approx2598$(米)。
(2) 已知救援船的平均速度为190 米/分,快艇的平均速度为 500 米/分,
所以快艇和救援船6分钟内行驶的路程总和为$(190+500)×6=4140$(米)。
而$AC+BC=2598+1500=4098$(米),
$4140＞4098$,
所以快艇可以将游客送上救援船。
【答案】
(1) 湖岸A与码头C之间的距离约为2598米；
(2) 快艇能在6分钟内将该游客送上救援船。
【知识点】
方位角应用，解直角三角形，行程问题计算
【点评】
本题结合实际救援场景命题，既考查了方位角、解直角三角形的几何知识，也融合了行程问题的计算，需要学生将实际问题转化为几何模型求解，能有效考查学生知识迁移和实际应用的能力。
【难度系数】
0.65
