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1. 如图,半径为3的$\odot A$经过原点$O$和点$C(0,2)$,$B$是$y$轴左侧优弧$CMO$上一点,则$\tan∠ OBC$的值为（
A.$\dfrac{1}{3}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
D.$\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
C
）A.$\dfrac{1}{3}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
D.$\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
答案
1. C
解析
【分析】
要求∠OBC的正切值，首先观察到∠OBC是⊙A中弧OC所对的圆周角，可利用同弧所对圆周角相等的性质，将所求角转化为直角三角形中的锐角，再结合勾股定理和正切的定义计算。具体思路：先构造圆的直径，利用直径所对圆周角为直角得到直角三角形，再通过同弧圆周角相等将∠OBC转化为该直角三角形的内角，最后代入边长计算正切值即可。
【解析】
解：作⊙A的直径OD，连接CD。
∵OD是⊙A的直径，
∴∠OCD=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵⊙A的半径为3，
∴OD=2×3=6。
∵点C坐标为(0,2)，
∴OC=2。
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{OD^2 - OC^2}=\sqrt{6^2 - 2^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
∵∠OBC和∠ODC都是弧OC所对的圆周角，
∴∠OBC=∠ODC，
∴$\tan∠OBC=\tan∠ODC=\frac{OC}{CD}=\frac{2}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题解题的核心是利用圆周角定理将未知角转化到含已知边长的直角三角形中求解，体现了转化思想在几何解题中的应用，需要熟练掌握圆周角性质和三角函数的基本运算。
【难度系数】
0.7
要求∠OBC的正切值，首先观察到∠OBC是⊙A中弧OC所对的圆周角，可利用同弧所对圆周角相等的性质，将所求角转化为直角三角形中的锐角，再结合勾股定理和正切的定义计算。具体思路：先构造圆的直径，利用直径所对圆周角为直角得到直角三角形，再通过同弧圆周角相等将∠OBC转化为该直角三角形的内角，最后代入边长计算正切值即可。
【解析】
解：作⊙A的直径OD，连接CD。
∵OD是⊙A的直径，
∴∠OCD=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵⊙A的半径为3，
∴OD=2×3=6。
∵点C坐标为(0,2)，
∴OC=2。
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{OD^2 - OC^2}=\sqrt{6^2 - 2^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
∵∠OBC和∠ODC都是弧OC所对的圆周角，
∴∠OBC=∠ODC，
∴$\tan∠OBC=\tan∠ODC=\frac{OC}{CD}=\frac{2}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题解题的核心是利用圆周角定理将未知角转化到含已知边长的直角三角形中求解，体现了转化思想在几何解题中的应用，需要熟练掌握圆周角性质和三角函数的基本运算。
【难度系数】
0.7
2. 如图，A为角α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cos α的值中，错误的是（
A.$\frac{BD}{BC}$
B.$\frac{BC}{AB}$
C.$\frac{CD}{AC}$
D.$\frac{AD}{DC}$
D
）A.$\frac{BD}{BC}$
B.$\frac{BC}{AB}$
C.$\frac{CD}{AC}$
D.$\frac{AD}{DC}$
答案
2. D
解析
【分析】
要判断哪个选项的线段比不是$\cosα$的值，首先明确锐角余弦的定义：直角三角形中，锐角的余弦等于该角的邻边与斜边的比值。首先根据垂直关系推导与$∠α$相等的角：因为$AC⊥ BC$，$CD⊥ AB$，所以$∠α+∠ BCD=90°$，$∠ ACD+∠ BCD=90°$，可得$∠ ACD=∠α$。接下来结合余弦定义，逐一分析每个选项对应的直角三角形中邻边和斜边的比值即可。
【解析】
$∠α$即$∠ B$，结合图形逐一验证：
A. 在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ B$的邻边为$BD$，斜边为$BC$，故$\cosα=\cos B=\frac{BD}{BC}$，A正确，不符合题意；
B. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B$的邻边为$BC$，斜边为$AB$，故$\cosα=\cos B=\frac{BC}{AB}$，B正确，不符合题意；
C. 由同角的余角相等可得$∠ ACD=∠α$，在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ACD$的邻边为$CD$，斜边为$AC$，故$\cosα=\cos∠ ACD=\frac{CD}{AC}$，C正确，不符合题意；
D. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\frac{AD}{DC}=\tan∠ ACD=\tanα$，不是$\cosα$的值，D错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数的定义，同角的余角相等，直角三角形的性质
【点评】
本题考查锐角三角函数的相关应用，解题的关键是先找到与$∠α$相等的角，再结合余弦的定义逐一判断选项，注意区分正弦、余弦、正切对应的线段比例关系，避免混淆。
【难度系数】
0.7
要判断哪个选项的线段比不是$\cosα$的值，首先明确锐角余弦的定义：直角三角形中，锐角的余弦等于该角的邻边与斜边的比值。首先根据垂直关系推导与$∠α$相等的角：因为$AC⊥ BC$，$CD⊥ AB$，所以$∠α+∠ BCD=90°$，$∠ ACD+∠ BCD=90°$，可得$∠ ACD=∠α$。接下来结合余弦定义，逐一分析每个选项对应的直角三角形中邻边和斜边的比值即可。
【解析】
$∠α$即$∠ B$，结合图形逐一验证：
A. 在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ B$的邻边为$BD$，斜边为$BC$，故$\cosα=\cos B=\frac{BD}{BC}$，A正确，不符合题意；
B. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B$的邻边为$BC$，斜边为$AB$，故$\cosα=\cos B=\frac{BC}{AB}$，B正确，不符合题意；
C. 由同角的余角相等可得$∠ ACD=∠α$，在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ACD$的邻边为$CD$，斜边为$AC$，故$\cosα=\cos∠ ACD=\frac{CD}{AC}$，C正确，不符合题意；
D. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\frac{AD}{DC}=\tan∠ ACD=\tanα$，不是$\cosα$的值，D错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数的定义，同角的余角相等，直角三角形的性质
【点评】
本题考查锐角三角函数的相关应用，解题的关键是先找到与$∠α$相等的角，再结合余弦的定义逐一判断选项，注意区分正弦、余弦、正切对应的线段比例关系，避免混淆。
【难度系数】
0.7
3. 如图,塔底B与观测点A在同一水平线上。为了测量铁塔的高度,在A处测得塔顶C的仰角为$α$,塔底B与观测点A之间的距离为80米,则铁塔的高BC为（
A.$80\sinα$米
B.$\frac{80}{\tanα}$米
C.$80\tanα$米
D.$\frac{80}{\sinα}$米
C
）A.$80\sinα$米
B.$\frac{80}{\tanα}$米
C.$80\tanα$米
D.$\frac{80}{\sinα}$米
答案
3. C
解析
【分析】
本题属于解直角三角形的实际应用问题，首先可判断△ABC为直角三角形，∠B=90°，已知水平边AB的长度和仰角α，要求竖直高度BC，可结合锐角三角函数中正切的定义，建立边、角之间的关系，进而推导得到BC的表达式。
【解析】
由题意得：△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，AB=80米，∠BAC=α。
根据锐角正切函数的定义：$\tanα=\frac{\mathrm{∠α的对边}}{\mathrm{∠α的邻边}}=\frac{BC}{AB}$，
将AB=80代入变形得：$BC=AB·\tanα=80\tanα$（米），因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数定义，解直角三角形应用
【点评】
本题是三角函数应用的基础题型，结合仰角测量场景考查正切函数的基本使用，掌握直角三角形中各锐角三角函数的对应边关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题属于解直角三角形的实际应用问题，首先可判断△ABC为直角三角形，∠B=90°，已知水平边AB的长度和仰角α，要求竖直高度BC，可结合锐角三角函数中正切的定义，建立边、角之间的关系，进而推导得到BC的表达式。
【解析】
由题意得：△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，AB=80米，∠BAC=α。
根据锐角正切函数的定义：$\tanα=\frac{\mathrm{∠α的对边}}{\mathrm{∠α的邻边}}=\frac{BC}{AB}$，
将AB=80代入变形得：$BC=AB·\tanα=80\tanα$（米），因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数定义，解直角三角形应用
【点评】
本题是三角函数应用的基础题型，结合仰角测量场景考查正切函数的基本使用，掌握直角三角形中各锐角三角函数的对应边关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
4. 如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成$45°$角沿斜坡照下时，大树AB在斜坡上的树影BC长为m，
则大树AB的高为（
A.$m(\cosα - \sinα)$
B.$m(\sinα - \cosα)$
C.$m(\cosα - \tanα)$
D.$\frac{m}{\sinα} - \frac{m}{\cosα}$
则大树AB的高为（
A
）A.$m(\cosα - \sinα)$
B.$m(\sinα - \cosα)$
C.$m(\cosα - \tanα)$
D.$\frac{m}{\sinα} - \frac{m}{\cosα}$
答案
4. A
解析
【分析】
遇到斜坡上的投影类解直角三角形问题，首先通过作辅助线构造直角三角形，将已知的斜坡影长、坡角及光线夹角的条件集中到直角三角形中：第一步先利用三角函数把斜坡影长BC分解为水平长度和竖直高度，第二步结合光线与水平线成45°的条件得到等腰直角三角形，第三步通过线段差即可求出大树AB的高度。
【解析】
解：过点C作水平直线$l$，过点B作$BD⊥ l$于点D，过点C作$CE⊥ AB$，交AB的延长线于点E。
∵AB垂直水平地面，$CE⊥ AB$，$BD⊥ l$，$l$为水平直线，
∴四边形BECD是矩形，可得$CE=CD$，$BE=BD$。
在$Rt△ BCD$中，$BC=m$，$∠ BCD=α$（坡角定义），
由三角函数定义得：$CD=BC·\cosα=m\cosα$，$BD=BC·\sinα=m\sinα$，
∴$CE=m\cosα$，$BE=m\sinα$。
∵太阳光线与水平线成$45°$角，CE为水平线段，
∴$∠ ACE=45°$，又$CE⊥ AB$，
∴$△ ACE$为等腰直角三角形，$AE=CE=m\cosα$。
∴$AB=AE-BE=m\cosα - m\sinα=m(\cosα - \sinα)$。
【答案】
A
【知识点】
解直角三角形应用、坡度坡角、三角函数定义
【点评】
本题是三角函数实际应用的常规题型，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将分散的边角条件整合，结合等腰直角三角形的性质即可求解，掌握构造直角三角形的辅助线做法是解题关键。
【难度系数】
0.7
遇到斜坡上的投影类解直角三角形问题，首先通过作辅助线构造直角三角形，将已知的斜坡影长、坡角及光线夹角的条件集中到直角三角形中：第一步先利用三角函数把斜坡影长BC分解为水平长度和竖直高度，第二步结合光线与水平线成45°的条件得到等腰直角三角形，第三步通过线段差即可求出大树AB的高度。
【解析】
解：过点C作水平直线$l$，过点B作$BD⊥ l$于点D，过点C作$CE⊥ AB$，交AB的延长线于点E。
∵AB垂直水平地面，$CE⊥ AB$，$BD⊥ l$，$l$为水平直线，
∴四边形BECD是矩形，可得$CE=CD$，$BE=BD$。
在$Rt△ BCD$中，$BC=m$，$∠ BCD=α$（坡角定义），
由三角函数定义得：$CD=BC·\cosα=m\cosα$，$BD=BC·\sinα=m\sinα$，
∴$CE=m\cosα$，$BE=m\sinα$。
∵太阳光线与水平线成$45°$角，CE为水平线段，
∴$∠ ACE=45°$，又$CE⊥ AB$，
∴$△ ACE$为等腰直角三角形，$AE=CE=m\cosα$。
∴$AB=AE-BE=m\cosα - m\sinα=m(\cosα - \sinα)$。
【答案】
A
【知识点】
解直角三角形应用、坡度坡角、三角函数定义
【点评】
本题是三角函数实际应用的常规题型，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将分散的边角条件整合，结合等腰直角三角形的性质即可求解，掌握构造直角三角形的辅助线做法是解题关键。
【难度系数】
0.7
5. 如图,一艘船由A港沿北偏东$65°$方向航行$30\sqrt{2}\ \mathrm{km}$至B港,然后再沿北偏西$40°$方向航行至C港,C港在A港的北偏东$20°$方向上,则A,C两港之间的距离为（
A.$(30+30\sqrt{3})\ \mathrm{km}$
B.$(30+10\sqrt{3})\ \mathrm{km}$
C.$(10+30\sqrt{3})\ \mathrm{km}$
D.$30\sqrt{3}\ \mathrm{km}$
B
）A.$(30+30\sqrt{3})\ \mathrm{km}$
B.$(30+10\sqrt{3})\ \mathrm{km}$
C.$(10+30\sqrt{3})\ \mathrm{km}$
D.$30\sqrt{3}\ \mathrm{km}$
答案
5. B
解析
【分析】
这是一道方向角结合解三角形的应用题，解题思路如下：第一步，先根据题目给出的各个方向角，计算出△ABC的三个内角的度数；第二步，通过作高将斜三角形转化为两个直角三角形，利用特殊角的三角函数值分别求出两段线段的长度，相加即可得到AC的长度。首先先确定∠CAB：由C在A北偏东20°，B在A北偏东65°，可得两角差就是∠CAB；再根据南北方向平行，求出∠ABC的度数，进而得到∠C的度数；最后过B作AC的垂线，分别在两个直角三角形中计算AD、CD的长度，求和得到AC。
【解析】
过点B作BD⊥AC，垂足为D。
1. 计算△ABC各内角度数：
由题意得，$∠ CAB = 65° - 20° = 45°$，
∵ A、B两点的南北方向线平行，
∴ $∠ ABC = 180° - 65° - 40° = 75°$，
根据三角形内角和定理，$∠ ACB = 180° - 45° - 75° = 60°$。
2. 在$Rt△ ABD$中，$∠ BAD=45°$，$AB=30\sqrt{2}\ \mathrm{km}$：
$AD = AB·\cos45° = 30\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 30\ \mathrm{km}$，
$BD = AB·\sin45° = 30\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 30\ \mathrm{km}$。
3. 在$Rt△ BCD$中，$∠ BCD=60°$：
$\tan60° = \frac{BD}{CD}$，
∴ $CD = \frac{BD}{\tan60°} = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}\ \mathrm{km}$。
4. 计算AC长度：
$AC = AD + CD = (30 + 10\sqrt{3})\ \mathrm{km}$。
【答案】
B
【知识点】
方向角的应用，解直角三角形，三角形内角和定理
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类题目，解题核心是根据方向角准确推导三角形内角度数，通过作辅助线将斜三角形转化为直角三角形，再利用特殊角的三角函数值计算边长，考查学生对基础几何知识的应用能力和读图能力。
【难度系数】
0.6
这是一道方向角结合解三角形的应用题，解题思路如下：第一步，先根据题目给出的各个方向角，计算出△ABC的三个内角的度数；第二步，通过作高将斜三角形转化为两个直角三角形，利用特殊角的三角函数值分别求出两段线段的长度，相加即可得到AC的长度。首先先确定∠CAB：由C在A北偏东20°，B在A北偏东65°，可得两角差就是∠CAB；再根据南北方向平行，求出∠ABC的度数，进而得到∠C的度数；最后过B作AC的垂线，分别在两个直角三角形中计算AD、CD的长度，求和得到AC。
【解析】
过点B作BD⊥AC，垂足为D。
1. 计算△ABC各内角度数：
由题意得，$∠ CAB = 65° - 20° = 45°$，
∵ A、B两点的南北方向线平行，
∴ $∠ ABC = 180° - 65° - 40° = 75°$，
根据三角形内角和定理，$∠ ACB = 180° - 45° - 75° = 60°$。
2. 在$Rt△ ABD$中，$∠ BAD=45°$，$AB=30\sqrt{2}\ \mathrm{km}$：
$AD = AB·\cos45° = 30\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 30\ \mathrm{km}$，
$BD = AB·\sin45° = 30\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 30\ \mathrm{km}$。
3. 在$Rt△ BCD$中，$∠ BCD=60°$：
$\tan60° = \frac{BD}{CD}$，
∴ $CD = \frac{BD}{\tan60°} = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}\ \mathrm{km}$。
4. 计算AC长度：
$AC = AD + CD = (30 + 10\sqrt{3})\ \mathrm{km}$。
【答案】
B
【知识点】
方向角的应用，解直角三角形，三角形内角和定理
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类题目，解题核心是根据方向角准确推导三角形内角度数，通过作辅助线将斜三角形转化为直角三角形，再利用特殊角的三角函数值计算边长，考查学生对基础几何知识的应用能力和读图能力。
【难度系数】
0.6
6. 如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，测量得α=45°,β=30°,则竹竿AB与AD的长度之比为
$\sqrt{2}:2$
。答案
6. $\sqrt{2}:2$
解析
【分析】
由图可知墙CE与地面CF垂直，因此△ABC和△ADC均为直角三角形，二者有公共直角边AC。我们可以设AC的长度为参数，分别在两个直角三角形中利用锐角三角函数表示出AB、AD的长度，再计算二者的比值即可，公共边AC在求比值时会消去，无需计算其具体数值。
【解析】
解：根据题意得∠C=90°，设AC的长为x。
在Rt△ABC中，∠ABC=α=45°，
由正弦的定义得$\sinα=\frac{AC}{AB}$，
∴$AB=\frac{AC}{\sin45°}=\frac{x}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}x$。
在Rt△ADC中，∠ADC=β=30°，
同理得$\sinβ=\frac{AC}{AD}$，
∴$AD=\frac{AC}{\sin30°}=\frac{x}{\frac{1}{2}}=2x$。
∴$AB:AD=\sqrt{2}x:2x=\sqrt{2}:2$。
【答案】
$\sqrt{2}:2$
【知识点】
锐角三角函数，特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于三角函数基础应用类题目，解题的关键是找到两个直角三角形的公共边作为中间量，结合特殊角的三角函数值表示出两条竹竿的长度，进而求出比值，解题时要准确识别直角三角形中角对应的对边、斜边。
【难度系数】
0.7
由图可知墙CE与地面CF垂直，因此△ABC和△ADC均为直角三角形，二者有公共直角边AC。我们可以设AC的长度为参数，分别在两个直角三角形中利用锐角三角函数表示出AB、AD的长度，再计算二者的比值即可，公共边AC在求比值时会消去，无需计算其具体数值。
【解析】
解：根据题意得∠C=90°，设AC的长为x。
在Rt△ABC中，∠ABC=α=45°，
由正弦的定义得$\sinα=\frac{AC}{AB}$，
∴$AB=\frac{AC}{\sin45°}=\frac{x}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}x$。
在Rt△ADC中，∠ADC=β=30°，
同理得$\sinβ=\frac{AC}{AD}$，
∴$AD=\frac{AC}{\sin30°}=\frac{x}{\frac{1}{2}}=2x$。
∴$AB:AD=\sqrt{2}x:2x=\sqrt{2}:2$。
【答案】
$\sqrt{2}:2$
【知识点】
锐角三角函数，特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于三角函数基础应用类题目，解题的关键是找到两个直角三角形的公共边作为中间量，结合特殊角的三角函数值表示出两条竹竿的长度，进而求出比值，解题时要准确识别直角三角形中角对应的对边、斜边。
【难度系数】
0.7
7. 如图,在正方形方格纸中,每个小正方形的边长都相等,A,B,C,D都在格点处,AB与CD相交于点P,则$\cos∠ APC$的值为
$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
。答案
7. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
解析
【分析】
要求∠APC的余弦值，需先将该角转化为方便计算的格点直角三角形的内角。我们可以利用平移的性质，平移线段CD得到与CD平行的线段BE，此时∠APC与∠ABE是同位角，二者相等，再通过勾股定理计算新构造的△ABE的三边长，验证其为直角三角形后，根据余弦的定义即可求出结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
将线段CD平移，使点C与点B重合，点D的对应点为E，连接AE，根据平移性质可得BE//CD，因此∠APC=∠ABE（两直线平行，同位角相等）。
由勾股定理计算各边长度：
$BE=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，
$AE=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
验证得$AE^2+BE^2=(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=5+20=25=AB^2$，因此△ABE是直角三角形，且∠AEB=90°。
在Rt△ABE中，$\cos∠ ABE=\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BE}{AB}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，故$\cos∠ APC=\cos∠ ABE=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
平移的性质，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题是网格中三角函数值的计算问题，核心是通过平移将未知角转化为格点直角三角形的内角，结合勾股定理和三角函数定义求解，考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
要求∠APC的余弦值，需先将该角转化为方便计算的格点直角三角形的内角。我们可以利用平移的性质，平移线段CD得到与CD平行的线段BE，此时∠APC与∠ABE是同位角，二者相等，再通过勾股定理计算新构造的△ABE的三边长，验证其为直角三角形后，根据余弦的定义即可求出结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
将线段CD平移，使点C与点B重合，点D的对应点为E，连接AE，根据平移性质可得BE//CD，因此∠APC=∠ABE（两直线平行，同位角相等）。
由勾股定理计算各边长度：
$BE=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，
$AE=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
验证得$AE^2+BE^2=(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=5+20=25=AB^2$，因此△ABE是直角三角形，且∠AEB=90°。
在Rt△ABE中，$\cos∠ ABE=\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BE}{AB}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，故$\cos∠ APC=\cos∠ ABE=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
平移的性质，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题是网格中三角函数值的计算问题，核心是通过平移将未知角转化为格点直角三角形的内角，结合勾股定理和三角函数定义求解，考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
