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【例1】如图，直线MN表示一条河，A，B两点表示河同侧的两个牧场.若要在河MN上修建一水塔C，使A，B两牧场到水塔C的距离之和最短，试确定水塔C的位置，并说明理由.
答案
作法:①作点A关于直线MN的对称点A'；②连接A'B，交MN于点C，则点C就是所求作的点。
理由如下:
∵点A与点A'关于直线MN对称，
∴MN是线段AA'的垂直平分线。
∵点C在直线MN上。
∴A'C=AC。
∴AC+BC=A'C+BC=A'B。
根据“两点之间，线段最短”知，点C就是所求的点。
故应在点C处建水塔。
【变式】某班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示的两条线段(OA,OB)，OA桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的小明先拿橘子再拿糖果，然后回到座位。请你帮他设计路线，使其行走的总路程最短.(保留作图痕迹)
答案
小明的行走路线为CM→MN→NC，此时所走的总路程等于C'D'的长，总路程最短。其中C'和D'分别为点C关于AO，BO的对称点。
【例2】如图，荆州护城河在$CC'$处直角转弯，河宽均为5 m，从A处到达B处，需经两座桥$DD'$，$EE'$（桥宽不计）.设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，恰当地架桥可使从A到B的路径最短，试确定两座桥的位置.（保留作图痕迹）
答案
作AF垂直于河岸，且AF等于河宽，作BG垂直于河岸，且BG等于河宽，连接GF，与河岸相交于点E'，D'。作DD'，EE'即为桥的位置。
【变式】如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行).今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？
答案
①过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽(C点不一定落在河岸)；
②连接BC与河岸的一边交于点N；
③过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M。
则MN为建桥的位置。
1. 把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程.用几何知识解释其原理正确的是(
A.两点确定一条直线
B.垂线段最短
C.两点之间，线段最短
D.以上结论都不对
C
)A.两点确定一条直线
B.垂线段最短
C.两点之间，线段最短
D.以上结论都不对
答案
1. C
2. 如图,已知直线 $ l $ 垂直平分 $ AB $,点 $ C $ 在直线 $ l $ 的左侧,且 $ AB=9,AC=7,BC=5,P $ 是直线 $ l $ 上的任意一点,则 $ PB+PC $ 的最小值是 $$
$$
A.5
B.6
C.7
D.9
$$A.5
B.6
C.7
D.9
答案
C
3.如图，等边$△ ABC$中，$CD ⊥ AB$于点$D$，点$E$，$F$分别为$AB$，$BC$上的两个定点且$BE=CF=3$，$DE=2$，在$CD$上有一动点$M$使$ME+MF$最短，则$ME+MF$的最小值为（
A.4
B.5
C.6
D.7
D
）A.4
B.5
C.6
D.7
答案
3. D
