2. 如图,已知直线AB,CD相交于点O,$OE⊥ AB$于点O,$∠ BOD=35°$,则$∠ COE$的度数为()。


A.$35°$
B.$55°$
C.$65°$
D.$70°$
知识点2 垂线的画法

2.B

【分析】
首先梳理已知条件：直线AB、CD相交于点O，$OE⊥AB$，$∠ BOD=35°$。解题思路如下：
1. 利用对顶角的性质，$∠ BOD$与$∠ AOC$是对顶角，二者相等，可求出$∠ AOC$的度数；
2. 根据垂直的定义，$OE⊥AB$说明$∠ AOE=90°$；
3. 用$∠ AOE$减去$∠ AOC$，即可得到$∠ COE$的度数，进而确定答案。
【解析】
1. 因为直线AB、CD相交于点O，根据对顶角相等的性质，可得：
$∠ AOC = ∠ BOD = 35°$
2. 已知$OE ⊥ AB$于点O，根据垂直的定义，可知：
$∠ AOE = 90°$
3. 计算$∠ COE$的度数：
$∠ COE = ∠ AOE - ∠ AOC = 90° - 35° = 55°$
因此，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
对顶角相等；垂直的定义
【点评】
本题是基础几何题，主要考查对顶角性质与垂直定义的综合应用，解题关键是准确识别图形中角的关系，通过已知角推导未知角的度数，适合巩固基础概念。
【难度系数】
0.9

3. 如图,用三角尺或量角器经过点P分别画出直线AB与CD的垂线。

第3题图

【分析】
要解决经过点P画直线AB与CD的垂线的问题，我们需要利用垂线的定义，借助三角尺或量角器完成作图：
1. 三角尺作图思路：将三角尺的一条直角边与已知直线重合，平移三角尺使另一条直角边经过点P，沿这条直角边画直线，即为已知直线的垂线；
2. 量角器作图思路：将量角器中心与直线上一点重合，0刻度线与直线重合，找到90°刻度位置，过该位置和点P画直线，即为垂线。
分三个图形依次操作，确保每条垂线经过点P且与对应直线垂直。
【解析】
1. 第一个图形（P在AB上）：
把三角尺的一条直角边与直线CD重合，平移三角尺，使另一条直角边经过点P，沿这条直角边画直线，得到CD的垂线，该直线同时也是AB的垂线；
2. 第二个图形（P在AB、CD之间）：
作AB的垂线：将三角尺直角边与AB重合，移动三角尺至另一条直角边过点P，沿直角边画直线，即为AB的垂线；
作CD的垂线：同理，将三角尺直角边与CD重合，移动三角尺至另一条直角边过点P，沿直角边画直线，即为CD的垂线；
3. 第三个图形（P在△ABC内部）：
作AB的垂线：三角尺直角边与AB重合，平移至另一条直角边过P，画直线；
作CD的垂线：三角尺直角边与CD重合，平移至另一条直角边过P，画直线。
【答案】
第3题图
【知识点】
垂线的画法，基础尺规作图
【点评】
本题考查垂线的基本作图方法，核心是掌握利用三角尺或量角器作垂线的操作步骤，作图时需保证垂线与已知直线垂直且经过指定点P，是几何作图的基础题型，注重动手操作能力的考察。
【难度系数】
0.8

1. 一副三角板,如图所示叠放在一起,则$∠ AOB+∠ COD=$()。


A.$180°$
B.$150°$
C.$160°$
D.$170°$

1.A

【分析】
首先观察图形可知，两个三角板的$∠ AOC$和$∠ BOD$均为直角（$90°$）。我们可以将$∠ AOB$拆分为$∠ AOC + ∠ COB$，然后将$∠ AOB+∠ COD$转化为包含$∠ AOC$和$∠ BOD$的形式，通过角的和差运算抵消中间的$∠ COB$，最终得到两个直角的和，从而求出结果。
【解析】
由三角板的性质可知：$∠ AOC = 90°$，$∠ BOD = 90°$。
则$∠ AOB + ∠ COD$
$= (∠ AOC + ∠ COB) + ∠ COD$
$= ∠ AOC + (∠ COB + ∠ COD)$
$= ∠ AOC + ∠ BOD$
$= 90° + 90°$
$= 180°$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
角的和差运算、直角的性质
【点评】
本题借助三角板的直角特征，考查角的和差转化运算，解题的核心是将所求角的和转化为已知直角的和，需要学生掌握角的分解与组合的方法，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

2. 已知$OA⊥ OC$,垂足为O,$∠ AOB=\frac{2}{3}∠ AOC$,则$∠ BOC$的度数为()。

A.$30°$
B.$60°$
C.$150°$
D.$30°$或$150°$

2.D

【分析】
首先根据垂直的定义可知$∠ AOC=90°$，先计算出$∠ AOB$的度数；接下来需要考虑$∠ AOB$的位置，存在两种情况：$OB$在$∠ AOC$内部或$OB$在$∠ AOC$外部，分别利用角的和差关系计算$∠ BOC$的度数，即可得到答案。
【解析】
1. 由$OA⊥ OC$，根据垂直的定义可得：
$∠ AOC=90°$
2. 计算$∠ AOB$的度数：
$∠ AOB=\frac{2}{3}∠ AOC=\frac{2}{3}×90°=60°$
3. 分两种情况讨论：
① 当射线$OB$在$∠ AOC$内部时：
$∠ BOC=∠ AOC - ∠ AOB=90°-60°=30°$
② 当射线$OB$在$∠ AOC$外部时：
$∠ BOC=∠ AOC + ∠ AOB=90°+60°=150°$
综上，$∠ BOC$的度数为$30°$或$150°$。
【答案】
D
【知识点】
垂直的定义，角的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题考查角的计算，解题的关键是要全面考虑射线$OB$的位置，避免因忽略一种情况而漏解，培养分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.6

3. 如图是小海为学校即将举办的“首届数学核心素养展示大赛”制作宣传海报时设计的艺术数字“1”,点B,F,E在一条直线上。若$BC⊥ EF$,$∠ ABC=140°$,$∠ AFE=75°$,则$∠ A$的度数为()。

A.$40°$
B.$30°$
C.$25°$
D.$20°$

3.C

【分析】
要计算∠A的度数，我们可以通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质来推导角度关系。首先观察到$BC⊥EF$，可过点A作$AG// BC$，结合平行线的同旁内角互补求出$∠BAG$的度数，再由$BC⊥EF$推出$AG⊥EF$，进而利用直角三角形的内角关系求出$∠FAG$的度数，最后通过$∠BAG$与$∠FAG$的差得到∠A的度数。
【解析】
过点A作$AG// BC$，
因为$AG// BC$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，
所以$∠ ABC + ∠ BAG = 180°$，
已知$∠ ABC=140°$，则$∠ BAG=180° - 140°=40°$。
又因为$BC⊥ EF$，$AG// BC$，所以$AG⊥ EF$，即$∠ AGE=90°$。
在$△ AFE$中，$∠ AFE=75°$，$∠ AGE=90°$，根据直角三角形两锐角互余，
可得$∠ FAG=90° - 75°=15°$。
因此$∠ A=∠ BAG - ∠ FAG=40° - 15°=25°$。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，直角三角形内角性质
【点评】
本题通过作辅助线构造平行线，将已知角度与所求角度建立联系，考查了平行线性质和直角三角形内角关系的综合运用，解题关键是合理添加辅助线转化角度。
【难度系数】
0.6

4. 如图,$FA⊥ EC$,$∠ F=40°$,$∠ C=25°$,$∠ FBA=$。

4.$75^{\circ }$

【分析】
要解决这个问题，我们可以分两步思考：
1. 首先利用直角三角形两锐角互余的性质，求出∠A的度数：因为$FA⊥EC$，所以$△ AEC$是直角三角形，$∠ AEC=90°$，已知$∠ C=25°$，那么$∠ A=90°-∠ C$；
2. 再利用三角形内角和为$180°$，在$△ FAB$中，已知$∠ F=40°$、$∠ A$的度数，即可求出$∠ FBA$的度数，$∠ FBA=180°-∠ F-∠ A$。
【解析】
1. 因为$FA⊥EC$，所以$∠ AEC=90°$，在$Rt△ AEC$中：
$∠ A = 90° - ∠ C = 90° - 25° = 65°$；
2. 在$△ FAB$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ FBA = 180° - ∠ F - ∠ A = 180° - 40° - 65° = 75°$。
【答案】
$\boldsymbol{75°}$
【知识点】
直角三角形性质、三角形内角和定理
【点评】
本题主要考查直角三角形和三角形内角和的基本性质，解题关键是找到已知角和未知角之间的关联，通过直角三角形先求出中间角$∠ A$，再利用内角和计算目标角，需要熟练掌握基础几何定理。
【难度系数】
0.7

5. 如图,直线AB,CD相交于点O,$OE⊥ AB$,垂足为O,$∠ 2$比$∠ 1$大$58°$,则$∠ AOC=$。

5.$16^{\circ }$

【分析】
首先，由$OE⊥AB$可得$∠EOB=90°$，即$∠1$与$∠2$的和为$90°$；接着结合“$∠2$比$∠1$大$58°$”的条件，通过设未知数建立一元一次方程，可求出$∠1$的度数；最后根据对顶角相等的性质，$∠AOC$与$∠1$是对顶角，即可得到$∠AOC$的度数。
【解析】
因为$OE⊥AB$，根据垂直的定义，可得$∠EOB=90°$，即$∠1+∠2=90°$。
设$∠1=x°$，则$∠2=(x+58)°$，代入上述等式：
$x + (x+58) = 90$
$2x + 58 = 90$
$2x = 90 - 58$
$2x = 32$
解得$x=16$，即$∠1=16°$。
又因为$∠AOC$与$∠1$是对顶角，根据对顶角相等的性质，可得$∠AOC=∠1=16°$。
【答案】
$16°$
【知识点】
垂直的定义；对顶角相等；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合了几何性质与代数方程求解，解题的关键是利用垂直得到直角，结合角度的数量关系建立方程，再借助对顶角的性质得到最终结果，考查了几何与代数的综合应用能力。
【难度系数】
0.7

6. 如图,OC是$∠ AOB$的平分线,$OD⊥ OB$,垂足为O,$∠ AOB=130°$,则$∠ COD=$。

6.$25^{\circ }$

【分析】
首先，根据角平分线的定义，可由$∠ AOB$的度数求出$∠BOC$的度数；再根据垂直的定义得到$∠BOD=90°$；最后通过$∠BOD$与$∠BOC$的差，即可计算出$∠COD$的度数。解题时需先明确各角之间的数量关系，逐步推导。
【解析】
1. 已知OC是$∠ AOB$的平分线，$∠ AOB=130°$，根据角平分线的定义：角平分线将一个角分成两个相等的角，可得：
$∠BOC = \frac{1}{2}∠AOB = \frac{1}{2}×130°=65°$
2. 因为$OD⊥ OB$，根据垂直的定义：两条直线互相垂直时，夹角为90°，所以$∠BOD=90°$。
3. 计算$∠COD$：
$∠COD=∠BOD - ∠BOC=90°-65°=25°$
【答案】
$25°$
【知识点】
角平分线的定义，垂直的定义
【点评】
本题属于基础几何题，主要考查角平分线和垂直的定义的应用，解题核心是理清图形中各角的数量关系，通过已知角的度数逐步推导未知角，难度较低，适合巩固基础概念。
【难度系数】
0.8

7. 已知$∠ AOB$和$∠ BOC$互为邻补角,且$∠ AOB＜∠ BOC$,OD平分$∠ BOC$,射线OE在$∠ AOB$内部,且$4∠ BOE+$$∠ BOC=180°$,$∠ DOE=70°$,$OM⊥ OB$,垂足为O,则$∠ MOE=$。

7.$110^{\circ }$或$70^{\circ }$

【分析】
首先，利用邻补角和为180°的性质，结合已知条件$4∠BOE+∠BOC=180°$，可推出$∠AOB=4∠BOE$，通过设未知数表示各角的度数；接着根据角平分线的定义得到$∠BOD$的表达式，再结合$∠DOE=70°$建立方程求出$∠BOE$的度数；最后考虑$OM⊥OB$的两种位置情况（OM在OB的不同垂直方向），分别计算$∠MOE$的度数。
【解析】
设$∠BOE = x$，
因为$∠AOB$和$∠BOC$互为邻补角，所以$∠AOB + ∠BOC = 180°$，
又因为$4∠BOE + ∠BOC = 180°$，所以$∠AOB = 4∠BOE = 4x$，
则$∠BOC = 180° - 4x$。
因为OD平分$∠BOC$，根据角平分线定义：
$∠BOD = \frac{1}{2}∠BOC = \frac{1}{2}(180° - 4x) = 90° - 2x$。
由于OE在$∠AOB$内部，OD在$∠BOC$内部，$∠DOE = ∠BOE + ∠BOD$，已知$∠DOE = 70°$，代入得：
$x + (90° - 2x) = 70°$，
解得$x = 20°$，即$∠BOE = 20°$。
因为$OM⊥OB$，所以$∠MOB = 90°$，分两种情况：
1. 当OM在$∠AOB$外侧（与OC同侧）时：
$∠MOE = ∠MOB + ∠BOE = 90° + 20° = 110°$；
2. 当OM在$∠BOC$外侧（与OA同侧）时：
$∠MOE = ∠MOB - ∠BOE = 90° - 20° = 70°$。
综上，$∠MOE$的度数为$110°$或$70°$。
【答案】
$110°$或$70°$
【知识点】
邻补角性质、角平分线定义、垂线性质
【点评】
本题考查了邻补角、角平分线及垂线的相关性质，解题关键是通过设未知数建立方程求出关键角的度数，同时要注意分类讨论OM的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.3