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8. 如图,直线AB,CD相交于点O,射线OM平分$∠ AOC$,$ON⊥ OM$,垂足为O,$∠ BOD=35°$,求$∠ CON$的度数。
答案
解:因为$∠ BOD=35°$已知,
所以$∠ AOC=∠ BOD=35°$对顶角相等。
因为 OM 平分$∠ AOC$已知,
所以$∠ COM=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×35°=17.5°$角平分线的定义。
因为$ON⊥ OM$已知,
所以$∠ MON=90°$垂直的定义,
所以$∠ CON=∠ MON-∠ COM=90°-17.5°=72.5°$。
所以$∠ AOC=∠ BOD=35°$对顶角相等。
因为 OM 平分$∠ AOC$已知,
所以$∠ COM=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×35°=17.5°$角平分线的定义。
因为$ON⊥ OM$已知,
所以$∠ MON=90°$垂直的定义,
所以$∠ CON=∠ MON-∠ COM=90°-17.5°=72.5°$。
解析
【分析】
要计算$∠ CON$的度数，可按以下思路推导：首先利用对顶角相等的性质，由已知的$∠ BOD$度数求出$∠ AOC$的度数；接着根据角平分线的定义，求出$∠ COM$的度数；再结合垂直的定义得到$∠ MON=90°$；最后通过$∠ MON$与$∠ COM$的差，即可算出$∠ CON$的度数。
【解析】
已知$∠ BOD=35°$，根据对顶角相等，可得$∠ AOC=∠ BOD=35°$。
因为射线OM平分$∠ AOC$，根据角平分线的定义，所以$∠ COM=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×35°=17.5°$。
又因为$ON⊥ OM$，根据垂直的定义，可知$∠ MON=90°$。
因此$∠ CON=∠ MON-∠ COM=90°-17.5°=72.5°$。
【答案】
$∠ CON$的度数为$72.5°$
【知识点】
对顶角相等；角平分线定义；垂直的定义
【点评】
本题主要考查对顶角、角平分线以及垂直的基础概念的综合运用，解题关键是熟练掌握这些几何定义与性质，逐步推导计算。
【难度系数】
0.8
要计算$∠ CON$的度数，可按以下思路推导：首先利用对顶角相等的性质，由已知的$∠ BOD$度数求出$∠ AOC$的度数；接着根据角平分线的定义，求出$∠ COM$的度数；再结合垂直的定义得到$∠ MON=90°$；最后通过$∠ MON$与$∠ COM$的差，即可算出$∠ CON$的度数。
【解析】
已知$∠ BOD=35°$，根据对顶角相等，可得$∠ AOC=∠ BOD=35°$。
因为射线OM平分$∠ AOC$，根据角平分线的定义，所以$∠ COM=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×35°=17.5°$。
又因为$ON⊥ OM$，根据垂直的定义，可知$∠ MON=90°$。
因此$∠ CON=∠ MON-∠ COM=90°-17.5°=72.5°$。
【答案】
$∠ CON$的度数为$72.5°$
【知识点】
对顶角相等；角平分线定义；垂直的定义
【点评】
本题主要考查对顶角、角平分线以及垂直的基础概念的综合运用，解题关键是熟练掌握这些几何定义与性质，逐步推导计算。
【难度系数】
0.8
9. 如图①②所示,将两个相同三角板的两个直角顶点O重合在一起,像图①②那样放置。
(1)若$∠ BOC=60°$,如图①,猜想$∠ AOD$的度数;
(2)若$∠ BOC=70°$,如图②,猜想$∠ AOD$的度数;
(3)猜想$∠ AOD$和$∠ BOC$的关系,并写出理由。
(1)若$∠ BOC=60°$,如图①,猜想$∠ AOD$的度数;
(2)若$∠ BOC=70°$,如图②,猜想$∠ AOD$的度数;
(3)猜想$∠ AOD$和$∠ BOC$的关系,并写出理由。
答案
解:(1)$120°$;(2)$110°$;
(3)猜想:$∠ AOD+∠ BOC=180°$。
理由:如图①,因为$∠ AOD=∠ AOC+∠ COD=∠ AOC+90°$,
$∠ BOC=∠ COD-∠ BOD=90°-∠ BOD$,$∠ AOC=∠ BOD$,
所以$∠ AOD+∠ BOC=180°$。
如图②,因为$∠ AOB=∠ COD=90°$,
所以$∠ AOD+∠ BOC=360°-90°-90°=180°$。
综上所述,$∠ AOD+∠ BOC=180°$。
第9题图解析
【分析】
1. 第(1)问：观察图①，已知两块三角板的直角均为$90°$，即$∠ AOB=∠ COD=90°$，已知$∠ BOC=60°$，可先通过$∠ AOC=∠ AOB-∠ BOC$求出$∠ AOC$，再结合$∠ AOD=∠ AOC+∠ COD$计算$∠ AOD$的度数。
2. 第(2)问：观察图②，同样$∠ AOB=∠ COD=90°$，$∠ BOC=70°$，可利用周角为$360°$，通过$∠ AOD=360°-∠ AOB-∠ COD-∠ BOC$计算角度。
3. 第(3)问：需要分图①、图②两种情况推导，利用角的和差关系，证明$∠ AOD$与$∠ BOC$的和为$180°$，从而得出两者的数量关系。
【解析】
(1) 如图①，
因为$∠ AOB = ∠ COD = 90°$，$∠ BOC = 60°$，
所以$∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC = 90° - 60° = 30°$，
则$∠ AOD = ∠ AOC + ∠ COD = 30° + 90° = 120°$。
(2) 如图②，
因为$∠ AOB = ∠ COD = 90°$，$∠ BOC = 70°$，
根据周角为$360°$，可得：
$∠ AOD = 360° - ∠ AOB - ∠ COD - ∠ BOC = 360° - 90° - 90° - 70° = 110°$。
(3) 猜想：$\boldsymbol{∠ AOD + ∠ BOC = 180°}$。
理由如下：
① 针对图①：
因为$∠ AOD = ∠ AOC + ∠ COD = ∠ AOC + 90°$，
$∠ BOC = ∠ COD - ∠ BOD = 90° - ∠ BOD$，且$∠ AOC = ∠ BOD$（等角的余角相等），
所以$∠ AOD + ∠ BOC = (∠ AOC + 90°) + (90° - ∠ BOD) = 180° + ∠ AOC - ∠ BOD = 180°$。
② 针对图②：
因为$∠ AOB = ∠ COD = 90°$，
所以$∠ AOD + ∠ BOC = 360° - ∠ AOB - ∠ COD = 360° - 90° - 90° = 180°$。
综上，$∠ AOD + ∠ BOC = 180°$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{120°}$；(2)$\boldsymbol{110°}$；(3)猜想：$\boldsymbol{∠ AOD + ∠ BOC = 180°}$，理由见解析。
第9题图
【知识点】
角的和差计算、互补的概念、周角的性质
【点评】
本题考查角的运算，需要结合两种图形情况分类分析，通过直角、周角的性质及角的和差关系推导角度，锻炼了分类讨论思维与逻辑推理能力，是基础角运算知识的综合应用。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：观察图①，已知两块三角板的直角均为$90°$，即$∠ AOB=∠ COD=90°$，已知$∠ BOC=60°$，可先通过$∠ AOC=∠ AOB-∠ BOC$求出$∠ AOC$，再结合$∠ AOD=∠ AOC+∠ COD$计算$∠ AOD$的度数。
2. 第(2)问：观察图②，同样$∠ AOB=∠ COD=90°$，$∠ BOC=70°$，可利用周角为$360°$，通过$∠ AOD=360°-∠ AOB-∠ COD-∠ BOC$计算角度。
3. 第(3)问：需要分图①、图②两种情况推导，利用角的和差关系，证明$∠ AOD$与$∠ BOC$的和为$180°$，从而得出两者的数量关系。
【解析】
(1) 如图①，
因为$∠ AOB = ∠ COD = 90°$，$∠ BOC = 60°$，
所以$∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC = 90° - 60° = 30°$，
则$∠ AOD = ∠ AOC + ∠ COD = 30° + 90° = 120°$。
(2) 如图②，
因为$∠ AOB = ∠ COD = 90°$，$∠ BOC = 70°$，
根据周角为$360°$，可得：
$∠ AOD = 360° - ∠ AOB - ∠ COD - ∠ BOC = 360° - 90° - 90° - 70° = 110°$。
(3) 猜想：$\boldsymbol{∠ AOD + ∠ BOC = 180°}$。
理由如下：
① 针对图①：
因为$∠ AOD = ∠ AOC + ∠ COD = ∠ AOC + 90°$，
$∠ BOC = ∠ COD - ∠ BOD = 90° - ∠ BOD$，且$∠ AOC = ∠ BOD$（等角的余角相等），
所以$∠ AOD + ∠ BOC = (∠ AOC + 90°) + (90° - ∠ BOD) = 180° + ∠ AOC - ∠ BOD = 180°$。
② 针对图②：
因为$∠ AOB = ∠ COD = 90°$，
所以$∠ AOD + ∠ BOC = 360° - ∠ AOB - ∠ COD = 360° - 90° - 90° = 180°$。
综上，$∠ AOD + ∠ BOC = 180°$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{120°}$；(2)$\boldsymbol{110°}$；(3)猜想：$\boldsymbol{∠ AOD + ∠ BOC = 180°}$，理由见解析。
第9题图【知识点】
角的和差计算、互补的概念、周角的性质
【点评】
本题考查角的运算，需要结合两种图形情况分类分析，通过直角、周角的性质及角的和差关系推导角度，锻炼了分类讨论思维与逻辑推理能力，是基础角运算知识的综合应用。
【难度系数】
0.6
10. 如图,点O在直线EF上,点A,B与点C,D分别在直线EF两侧,且$∠ AOB=120°$,$∠ COD=70°$。
(1)如图①,若OC平分$∠ BOD$,OE平分$∠ AOD$,过点O作射线$OG⊥ OB$,垂足为O,求$∠ EOG$的度数;
(2)如图②,若在$∠ BOC$内部作一条射线OH,若$∠ COH=\frac{2}{3}∠ BOH$,$∠ DOE=5∠ FOH$,试判断$∠ AOE$与$∠ DOE$的数量关系,并说明理由。
自我反思
存在的问题:
改进的措施:
(1)如图①,若OC平分$∠ BOD$,OE平分$∠ AOD$,过点O作射线$OG⊥ OB$,垂足为O,求$∠ EOG$的度数;
(2)如图②,若在$∠ BOC$内部作一条射线OH,若$∠ COH=\frac{2}{3}∠ BOH$,$∠ DOE=5∠ FOH$,试判断$∠ AOE$与$∠ DOE$的数量关系,并说明理由。
自我反思
存在的问题:
改进的措施:
答案
(1)分情况讨论,OG分别在EF的上方和下方两种情况,得$∠ EOG$为$80°$或$100°$;
(2)$∠ AOE=2∠ DOE-105°$,理由略。
(2)$∠ AOE=2∠ DOE-105°$,理由略。
解析
【分析】
(1) 首先根据角平分线的定义求出∠BOD的度数，结合周角性质算出∠AOD的度数，再利用角平分线得到∠AOE和∠EOD的度数；然后分OG在EF上方、下方两种情况，结合垂直的定义，通过角的和差计算∠EOG的度数。
(2) 设∠BOH=3x，用含x的式子表示∠COH和∠BOC，再利用直线EF的平角性质，结合∠DOE=5∠FOH的关系，建立关于∠AOE和∠DOE的方程，整理后得到两者的数量关系。
【解析】
(1) 已知OC平分∠BOD，∠COD=70°，根据角平分线的定义，得$∠ BOD=2∠ COD=140°$。
因为$∠ AOB=120°$，周角为$360°$，所以$∠ AOD=360°-∠ AOB-∠ BOD=360°-120°-140°=100°$。
又OE平分$∠ AOD$，所以$∠ AOE=∠ EOD=\frac{1}{2}∠ AOD=50°$。
分两种情况讨论：
① 当OG在EF上方（$∠ BOD$内部）时：
因为$OG⊥ OB$，所以$∠ BOG=90°$，则$∠ DOG=∠ BOD-∠ BOG=140°-90°=50°$，
所以$∠ EOG=∠ EOD+∠ DOG=50°+50°=100°$。
② 当OG在EF下方（$∠ AOB$内部）时：
因为$OG⊥ OB$，所以$∠ BOG=90°$，则$∠ AOG=∠ AOB-∠ BOG=120°-90°=30°$，
所以$∠ EOG=∠ AOE+∠ AOG=50°+30°=80°$。
综上，$∠ EOG$的度数为$80°$或$100°$。
(2) $\boldsymbol{∠ AOE=2∠ DOE-105°}$，理由如下：
设$∠ BOH=3x$，则$∠ COH=\frac{2}{3}∠ BOH=2x$，所以$∠ BOC=∠ BOH+∠ COH=5x$。
因为EF是直线，$∠ AOB=120°$，所以$∠ AOE+∠ BOF=180°-∠ AOB=60°$，即$∠ BOF=60°-∠ AOE$。
又$∠ DOE+∠ COD+∠ BOC+∠ BOF=180°$，将$∠ COD=70°$，$∠ BOC=5x$，$∠ BOF=60°-∠ AOE$代入得：
$∠ DOE+70°+5x+60°-∠ AOE=180°$，整理得：$5x=∠ AOE-∠ DOE+50°$ ①。
因为$∠ FOH=∠ BOF+∠ BOH=60°-∠ AOE+3x$，且$∠ DOE=5∠ FOH$，所以：
$∠ DOE=5(60°-∠ AOE+3x)$，展开得：$∠ DOE=300°-5∠ AOE+15x$，
将①中$15x=3(∠ AOE-∠ DOE+50°)$代入上式：
$∠ DOE=300°-5∠ AOE+3(∠ AOE-∠ DOE+50°)$，
去括号：$∠ DOE=300°-5∠ AOE+3∠ AOE-3∠ DOE+150°$，
移项合并同类项：$4∠ DOE=450°-2∠ AOE$，
两边同除以2得：$2∠ DOE=225°-∠ AOE$，
整理得：$∠ AOE=2∠ DOE-105°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{80°}$或$\boldsymbol{100°}$；
(2) $\boldsymbol{∠AOE=2∠DOE-105°}$，理由见解析。
【知识点】
角平分线的定义；平角与周角的性质；角的和差计算
【点评】
本题考查角的综合计算，第一问需注意分类讨论，避免漏解；第二问通过设未知数建立方程，利用角的和差关系推导数量关系，体现了方程思想在几何计算中的应用，解题时需准确识别角的位置关系，理清各角之间的数量关系。
【难度系数】
0.4
(1) 首先根据角平分线的定义求出∠BOD的度数，结合周角性质算出∠AOD的度数，再利用角平分线得到∠AOE和∠EOD的度数；然后分OG在EF上方、下方两种情况，结合垂直的定义，通过角的和差计算∠EOG的度数。
(2) 设∠BOH=3x，用含x的式子表示∠COH和∠BOC，再利用直线EF的平角性质，结合∠DOE=5∠FOH的关系，建立关于∠AOE和∠DOE的方程，整理后得到两者的数量关系。
【解析】
(1) 已知OC平分∠BOD，∠COD=70°，根据角平分线的定义，得$∠ BOD=2∠ COD=140°$。
因为$∠ AOB=120°$，周角为$360°$，所以$∠ AOD=360°-∠ AOB-∠ BOD=360°-120°-140°=100°$。
又OE平分$∠ AOD$，所以$∠ AOE=∠ EOD=\frac{1}{2}∠ AOD=50°$。
分两种情况讨论：
① 当OG在EF上方（$∠ BOD$内部）时：
因为$OG⊥ OB$，所以$∠ BOG=90°$，则$∠ DOG=∠ BOD-∠ BOG=140°-90°=50°$，
所以$∠ EOG=∠ EOD+∠ DOG=50°+50°=100°$。
② 当OG在EF下方（$∠ AOB$内部）时：
因为$OG⊥ OB$，所以$∠ BOG=90°$，则$∠ AOG=∠ AOB-∠ BOG=120°-90°=30°$，
所以$∠ EOG=∠ AOE+∠ AOG=50°+30°=80°$。
综上，$∠ EOG$的度数为$80°$或$100°$。
(2) $\boldsymbol{∠ AOE=2∠ DOE-105°}$，理由如下：
设$∠ BOH=3x$，则$∠ COH=\frac{2}{3}∠ BOH=2x$，所以$∠ BOC=∠ BOH+∠ COH=5x$。
因为EF是直线，$∠ AOB=120°$，所以$∠ AOE+∠ BOF=180°-∠ AOB=60°$，即$∠ BOF=60°-∠ AOE$。
又$∠ DOE+∠ COD+∠ BOC+∠ BOF=180°$，将$∠ COD=70°$，$∠ BOC=5x$，$∠ BOF=60°-∠ AOE$代入得：
$∠ DOE+70°+5x+60°-∠ AOE=180°$，整理得：$5x=∠ AOE-∠ DOE+50°$ ①。
因为$∠ FOH=∠ BOF+∠ BOH=60°-∠ AOE+3x$，且$∠ DOE=5∠ FOH$，所以：
$∠ DOE=5(60°-∠ AOE+3x)$，展开得：$∠ DOE=300°-5∠ AOE+15x$，
将①中$15x=3(∠ AOE-∠ DOE+50°)$代入上式：
$∠ DOE=300°-5∠ AOE+3(∠ AOE-∠ DOE+50°)$，
去括号：$∠ DOE=300°-5∠ AOE+3∠ AOE-3∠ DOE+150°$，
移项合并同类项：$4∠ DOE=450°-2∠ AOE$，
两边同除以2得：$2∠ DOE=225°-∠ AOE$，
整理得：$∠ AOE=2∠ DOE-105°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{80°}$或$\boldsymbol{100°}$；
(2) $\boldsymbol{∠AOE=2∠DOE-105°}$，理由见解析。
【知识点】
角平分线的定义；平角与周角的性质；角的和差计算
【点评】
本题考查角的综合计算，第一问需注意分类讨论，避免漏解；第二问通过设未知数建立方程，利用角的和差关系推导数量关系，体现了方程思想在几何计算中的应用，解题时需准确识别角的位置关系，理清各角之间的数量关系。
【难度系数】
0.4
