9. 如图，抛物线 $ L_1: y = ax^2 + bx + c(a ≠ 0) $ 与 $ x $ 轴只有一个公共点 $ A(1, 0) $，与 $ y $ 轴交于点 $ B(0, 2) $，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移 2 个单位长度得抛物线 $ L_2 $，则图中两个阴影部分的面积和为 ()

A.1
B.2
C.3
D.4

9. B

解：
∵抛物线$L_1$与$x$轴只有一个公共点$A(1,0)$，
∴$L_1$的顶点为$(1,0)$，可设解析式为$y=a(x-1)^2$。
∵$L_1$过点$B(0,2)$，
∴$2=a(0-1)^2$，解得$a=2$，
∴$L_1:y=2(x-1)^2$。
将$L_1$向下平移2个单位得$L_2$，
∴$L_2:y=2(x-1)^2 - 2$。
抛物线$L_1$与$L_2$关于直线$y=-1$对称，对称轴均为$x=1$。
左侧阴影部分与右侧阴影部分关于$x=1$对称，面积相等。
取$x=0$，$L_1$的$y=2$，$L_2$的$y=2(0-1)^2 - 2=0$，
∴左侧阴影部分为以$x=0$到$x=1$为底，高为$2-0=2$的矩形的一半，面积为$1×2×\frac{1}{2}=1$。
两个阴影部分面积和为$1×2=2$。
答案：B

10. (2023·陕西)在平面直角坐标系中，二次函数 $ y = x^2 + mx + m^2 - m $($ m $ 为常数)的图像经过点 $ (0, 6) $，其对称轴在 $ y $ 轴左侧，则该二次函数有 ()

A.最大值 5
B.最大值 $ \dfrac{15}{4} $
C.最小值 5
D.最小值 $ \dfrac{15}{4} $

10. D

∵二次函数$y = x^2 + mx + m^2 - m$的图像经过点$(0, 6)$，
∴将$(0, 6)$代入函数得：$6 = 0^2 + m×0 + m^2 - m$，
即$m^2 - m - 6 = 0$，
因式分解得$(m - 3)(m + 2) = 0$，
解得$m = 3$或$m = -2$。
∵对称轴在$y$轴左侧，对称轴为$x = -\dfrac{m}{2}$，
∴$-\dfrac{m}{2} ＜ 0$，即$m ＞ 0$，
∴$m = 3$。
二次函数为$y = x^2 + 3x + 3^2 - 3 = x^2 + 3x + 6$，
$a = 1 ＞ 0$，函数有最小值，
最小值为$y = \dfrac{4ac - b^2}{4a} = \dfrac{4×1×6 - 3^2}{4×1} = \dfrac{24 - 9}{4} = \dfrac{15}{4}$。
D

11. 如图，正方形四个顶点的坐标依次为 $ (1, 1) $，$ (3, 1) $，$ (3, 3) $，$ (1, 3) $. 若抛物线 $ y = ax^2 $ 的图像与正方形有公共点，则实数 $ a $ 的取值范围是 ()

A.$ \dfrac{1}{9} ≤ a ≤ 3 $
B.$ \dfrac{1}{9} ≤ a ≤ 1 $
C.$ \dfrac{1}{3} ≤ a ≤ 3 $
D.$ \dfrac{1}{3} ≤ a ≤ 1 $

11. A

解：正方形顶点坐标为$(1,1)$，$(3,1)$，$(3,3)$，$(1,3)$。抛物线$y = ax^2$与正方形有公共点。
当抛物线过点$(3,1)$时，$1 = a · 3^2$，解得$a = \dfrac{1}{9}$；
当抛物线过点$(1,3)$时，$3 = a · 1^2$，解得$a = 3$。
故$a$的取值范围是$\dfrac{1}{9} ≤ a ≤ 3$。
答案：A

12. 在平面直角坐标系中，将抛物线 $ y = x^2 + 2x - 1 $ 先绕原点旋转 $ 180° $，再向下平移 5 个单位长度，所得到的抛物线的顶点坐标是.

12. (1,-3)

步骤1：将原抛物线化为顶点式
原抛物线 $ y = x^2 + 2x - 1 $ 配方得：
$ y = (x^2 + 2x + 1) - 1 - 1 = (x + 1)^2 - 2 $，
顶点坐标为 $(-1, -2)$。
步骤2：绕原点旋转180°后的顶点坐标
点 $(a, b)$ 绕原点旋转180°后的坐标为 $(-a, -b)$，
原顶点 $(-1, -2)$ 旋转后为 $(1, 2)$。
步骤3：向下平移5个单位后的顶点坐标
平移规律：向下平移 $ k $ 个单位，纵坐标减 $ k $，
旋转后的顶点 $(1, 2)$ 向下平移5个单位得：
$(1, 2 - 5) = (1, -3)$。
答案：$(1,-3)$

13. (2023·绍兴)在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，一个图形上的点都在一边平行于 $ x $ 轴的矩形内部(包括边界)，这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形. 例如：如图，函数 $ y = (x - 2)^2(0 ≤ x ≤ 3) $ 的图像(抛物线中的实线部分)，它的关联矩形为矩形 $ OABC $. 若二次函数 $ y = \dfrac{1}{4}x^2 + bx + c(0 ≤ x ≤ 3) $ 图像的关联矩形恰好也是矩形 $ OABC $，则 $ b = $.

13. $\frac {7}{12}$或$-\frac {25}{12}$

解：由题意，矩形$OABC$的顶点坐标为$O(0,0)$，$A(3,0)$，$B(3,4)$，$C(0,4)$，即关联矩形的长为$3$，宽为$4$，函数$y = \frac{1}{4}x^2 + bx + c(0 ≤ x ≤ 3)$的最大值为$4$，最小值为$0$。
二次函数对称轴为$x = -2b$。
情况1：当$x = 0$时，$y = 0$；$x = 3$时，$y = 4$
代入得$\begin{cases} c = 0 \\ \frac{1}{4} × 9 + 3b + c = 4 \end{cases}$，解得$b = \frac{7}{12}$。此时对称轴$x = -\frac{7}{6}$，在区间$[0,3]$左侧，函数在$[0,3]$递增，最小值$0$（$x=0$），最大值$4$（$x=3$），符合题意。
情况2：当$x = 0$时，$y = 4$；$x = 3$时，$y = 0$
代入得$\begin{cases} c = 4 \\ \frac{1}{4} × 9 + 3b + c = 0 \end{cases}$，解得$b = -\frac{25}{12}$。此时对称轴$x = \frac{25}{6}$，在区间$[0,3]$右侧，函数在$[0,3]$递减，最大值$4$（$x=0$），最小值$0$（$x=3$），符合题意。
综上，$b = \frac{7}{12}$或$-\frac{25}{12}$。
$\frac{7}{12}$或$-\frac{25}{12}$

14. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $ y = x + 2 $ 与坐标轴交于 $ A $，$ B $ 两点，点 $ A $ 在 $ x $ 轴上，点 $ B $ 在 $ y $ 轴上，点 $ C $ 的坐标为 $ (1, 0) $，抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 经过点 $ A $，$ B $，$ C $.
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 根据图像写出不等式 $ ax^2 + (b - 1)x + c ＞ 2 $ 的解集；
(3) 点 $ P $ 是抛物线上的一动点，过点 $ P $ 作直线 $ AB $ 的垂线段，垂足为点 $ Q $. 当 $ PQ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $ 时，求点 $ P $ 的坐标.

14. (1) 当$x=0$时,$y=0+2=2$,当$y=0$时,$x+2=0$,解得$x=-2,\therefore A(-2,0),B(0,2)$,把$A(-2,0),C(1,0),B(0,2)$代入抛物线解析式,得$\{\begin{array}{l} 4a-2b+c=0,\\ a+b+c=0,\\ c=2,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} a=-1,\\ b=-1,\\ c=2,\end{array} $
∴ 该抛物线的解析式为$y=-x^{2}-x+2$；（2）方法一：$ax^{2}+(b-1)x+c＞2$,即$-x^{2}-2x+2＞2$,当函数$y=-x^{2}-2x+2=2$时,解得$x=0$或$x=-2$,由图像知,当$-2＜x＜0$时函数值大于 2,
∴ 不等式$ax^{2}+(b-1)x+c＞2$的解集为:$-2＜x＜0$；方法二：$ax^{2}+(b-1)x+c＞2$,即$-x^{2}-x+2＞x+2$,观察函数图像可知当$-2＜x＜0$时$y=-x^{2}-x+2$的函数值大于$y=x+2$的函数值,
∴ 不等式$ax^{2}+(b-1)x+c＞2$的解集为:$-2＜x＜0$；（3）作$PE⊥x$轴于点 E,交 AB 于点 D,作$PQ⊥AB$于点 Q,① 如图 1,当点 P 在 AB 上方时,在$Rt△OAB$中,$\because OA=OB=2,\therefore ∠OAB=45^{\circ },\therefore ∠PDQ=∠ADE=45^{\circ }$,在$Rt△PDQ$中,$∠DPQ=∠PDQ=45^{\circ },\therefore PQ=DQ=\frac {\sqrt {2}}{2},\therefore PD=\sqrt {PQ^{2}+DQ^{2}}=1$,设点$P(x,-x^{2}-x+2)$,则点$D(x,x+2),\therefore PD=-x^{2}-x+2-(x+2)=-x^{2}-2x$,即$-x^{2}-2x=1$,解得$x_{1}=x_{2}=-1$,
∴ 此时点 P 的坐标为$(-1,2)$;② 如图 2,当点 P在点 A 左侧时,同理①可得$PD=1$,设点$P(x,-x^{2}-x+2)$,则点$D(x,x+2),\therefore PD=(x+2)-(-x^{2}-x+2)=x^{2}+2x$,即$x^{2}+2x=1$,解得$x=\pm \sqrt {2}-1$,由图像知此时点 P 在第三象限,$\therefore x=-\sqrt {2}-1$,
∴ 此时点 P 的坐标为$(-\sqrt {2}-1,-\sqrt {2})$;③ 如图 3,当点 P 在点 B 右侧时,在$Rt△OAB$中,$\because OA=OB=2,\therefore ∠OAB=45^{\circ },$$\therefore ∠PDQ=∠DPQ=45^{\circ },\therefore PQ=DQ=\frac {\sqrt {2}}{2},\therefore PD=\sqrt {PQ^{2}+DQ^{2}}=1$,设点$P(x,-x^{2}-x+2)$,则点$D(x,x+2),\therefore PD=(x+2)-(-x^{2}-x+2)=x^{2}+2x$,即$x^{2}+2x=1$,解得$x=\pm \sqrt {2}-1$,由图像知此时点 P 在第一象限,$\therefore x=\sqrt {2}-1$,
∴ 此时点 P 的坐标为$(\sqrt {2}-1,\sqrt {2})$.综上,点 P 的坐标为$(-1,2)$或$(-\sqrt {2}-1,-\sqrt {2})$或$(\sqrt {2}-1,\sqrt {2})$.