登录
14. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为$a$，$b$，$c$，则该三角形的面积为$S = $
$$。已知$△ ABC$的三边长$a$，$b$，$c$分别为$2$，$2\sqrt{3}$，$4$，则$△ ABC$的面积是（
A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$3$
D.$4\sqrt{3}$
$$。已知$△ ABC$的三边长$a$，$b$，$c$分别为$2$，$2\sqrt{3}$，$4$，则$△ ABC$的面积是（B
）A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$3$
D.$4\sqrt{3}$
答案
14.B
解析
【分析】
解题时可直接将△ABC的三边长a=2、b=2√3、c=4代入题干给出的秦九韶面积公式，按照先算乘方、再算括号内的减法、后算乘法、最后开根号的运算顺序逐步计算即可，也可先通过三边长判断三角形类型简化计算。
【解析】
把a=2，b=2√3，c=4代入面积公式：
1. 先计算各边长的平方：
$a^2=2^2=4$，$b^2=(2\sqrt{3})^2=12$，$c^2=4^2=16$
2. 计算括号内的项：
$a^2b^2=4×12=48$
$\frac{a^2+b^2-c^2}{2}=\frac{4+12-16}{2}=0$，因此$(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2=0^2=0$
3. 计算根号内的整体：
$\frac{1}{4}×[48-0]=\frac{1}{4}×48=12$
4. 开平方得面积：$S=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
【答案】
B
【知识点】
代数式求值、二次根式运算、三角形面积计算
【点评】
本题结合我国古代数学成就考查公式应用能力，运算过程中注意二次根式乘方的计算规则，细心运算即可得到正确结果，也可通过勾股定理逆定理先判断该三角形为直角三角形，直接用直角三角形面积公式验证结果。
【难度系数】
0.8
解题时可直接将△ABC的三边长a=2、b=2√3、c=4代入题干给出的秦九韶面积公式，按照先算乘方、再算括号内的减法、后算乘法、最后开根号的运算顺序逐步计算即可，也可先通过三边长判断三角形类型简化计算。
【解析】
把a=2，b=2√3，c=4代入面积公式：
1. 先计算各边长的平方：
$a^2=2^2=4$，$b^2=(2\sqrt{3})^2=12$，$c^2=4^2=16$
2. 计算括号内的项：
$a^2b^2=4×12=48$
$\frac{a^2+b^2-c^2}{2}=\frac{4+12-16}{2}=0$，因此$(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2=0^2=0$
3. 计算根号内的整体：
$\frac{1}{4}×[48-0]=\frac{1}{4}×48=12$
4. 开平方得面积：$S=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
【答案】
B
【知识点】
代数式求值、二次根式运算、三角形面积计算
【点评】
本题结合我国古代数学成就考查公式应用能力，运算过程中注意二次根式乘方的计算规则，细心运算即可得到正确结果，也可通过勾股定理逆定理先判断该三角形为直角三角形，直接用直角三角形面积公式验证结果。
【难度系数】
0.8
15. 如图所示，在平面直角坐标系中，过正方形OABC的顶点A，C的直线与x轴的负半轴交于点D，已知点A(-1,-3)，则点D的坐标为
$(-\dfrac{5}{2},0)$
。答案
15.$(-\dfrac{5}{2},0)$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，利用正方形邻边垂直且相等的性质，构造直角三角形证明全等，求出点C的坐标；第二步，已知A、C两点坐标，用待定系数法求出直线AC的一次函数解析式；第三步，x轴上的点纵坐标为0，将y=0代入解析式求出横坐标，即可得到点D的坐标。
【解析】
1. 求点C的坐标：
过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N。
∵四边形OABC是正方形，
∴OC=OA，∠AOC=90°，
∴∠CON + ∠AOM = 90°。
又
∵∠AOM + ∠OAM = 90°，
∴∠CON = ∠OAM。
在△CON和△OAM中：
$\begin{cases} ∠ CNO=∠ OMA=90° \\ ∠ CON=∠ OAM \\ OC=OA \end{cases}$
∴△CON≌△OAM（AAS）。
已知A(-1,-3)，
∴OM=1，AM=3，
∴CN=OM=1，ON=AM=3，
∵点C在第二象限，
∴C(-3,1)。
2. 求直线AC的解析式：
设直线AC的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将A(-1,-3)、C(-3,1)代入得：
$\begin{cases} -k + b = -3 \\ -3k + b = 1 \end{cases}$
两式相减得$2k=-4$，解得$k=-2$，
将$k=-2$代入$-k + b = -3$，得$b=-5$，
∴直线AC的解析式为$y=-2x-5$。
3. 求点D的坐标：
点D在x轴上，
∴y=0，代入解析式得：
$0=-2x-5$，解得$x=-\dfrac{5}{2}$，
∴点D的坐标为$(-\dfrac{5}{2},0)$。
【答案】
$(-\dfrac{5}{2},0)$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，需要灵活运用全等三角形求未知点坐标，再结合一次函数的性质求直线与坐标轴的交点，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
解题思路可分为三步：第一步，利用正方形邻边垂直且相等的性质，构造直角三角形证明全等，求出点C的坐标；第二步，已知A、C两点坐标，用待定系数法求出直线AC的一次函数解析式；第三步，x轴上的点纵坐标为0，将y=0代入解析式求出横坐标，即可得到点D的坐标。
【解析】
1. 求点C的坐标：
过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N。
∵四边形OABC是正方形，
∴OC=OA，∠AOC=90°，
∴∠CON + ∠AOM = 90°。
又
∵∠AOM + ∠OAM = 90°，
∴∠CON = ∠OAM。
在△CON和△OAM中：
$\begin{cases} ∠ CNO=∠ OMA=90° \\ ∠ CON=∠ OAM \\ OC=OA \end{cases}$
∴△CON≌△OAM（AAS）。
已知A(-1,-3)，
∴OM=1，AM=3，
∴CN=OM=1，ON=AM=3，
∵点C在第二象限，
∴C(-3,1)。
2. 求直线AC的解析式：
设直线AC的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将A(-1,-3)、C(-3,1)代入得：
$\begin{cases} -k + b = -3 \\ -3k + b = 1 \end{cases}$
两式相减得$2k=-4$，解得$k=-2$，
将$k=-2$代入$-k + b = -3$，得$b=-5$，
∴直线AC的解析式为$y=-2x-5$。
3. 求点D的坐标：
点D在x轴上，
∴y=0，代入解析式得：
$0=-2x-5$，解得$x=-\dfrac{5}{2}$，
∴点D的坐标为$(-\dfrac{5}{2},0)$。
【答案】
$(-\dfrac{5}{2},0)$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，需要灵活运用全等三角形求未知点坐标，再结合一次函数的性质求直线与坐标轴的交点，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
16.为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩(单位:分)进行统计分析，并绘制了如图所示的箱线图(不完整).
七年级:60,70,70,80,83,89,91,93,95,97,98,100；
八年级:70,77,79,81,88,89,91,92,92,94,95,96.
(1)七、八年级抽取的学生的成绩统计表,如下:
上述表中,$b=$
(2)求八年级所抽取的学生的平均成绩$m$；
(3)若该校八年级有800名学生参与了此次活动,请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数.
七年级:60,70,70,80,83,89,91,93,95,97,98,100；
八年级:70,77,79,81,88,89,91,92,92,94,95,96.
(1)七、八年级抽取的学生的成绩统计表,如下:
上述表中,$b=$
90
,$c=$92
,并补全七年级的箱线图；(2)求八年级所抽取的学生的平均成绩$m$；
(3)若该校八年级有800名学生参与了此次活动,请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数.
答案
16.解:(1)90 92
补全七年级的箱线图如图所示.
(2)八年级所抽取学生的平均成绩$m=\dfrac{1}{12}×(70+77+79+81+88+89+91+92+92+94+95+96)=87$(分).
(3)$800×\dfrac{6}{12}=400$(人),$\therefore$估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数为400.
解析
【分析】
(1) 求解统计量$b$、$c$时，先明确对应统计量的定义：七年级共12个有序数据，中位数是排序后第6、7个数据的平均数，计算即可得到$b$；$c$是八年级成绩的众数，找出八年级成绩中出现次数最多的数即可，再根据七年级各统计量的数值补全箱线图。
(2) 求八年级平均成绩，直接使用算术平均数公式，将12名学生的成绩求和后除以样本总量12即可。
(3) 估计八年级成绩超过90分的总人数属于用样本估计总体的问题，先算出抽取样本中成绩超过90分的人数占比，再乘以八年级总人数800即可得到估计值。
【解析】
(1) 将七年级12个成绩从小到大排序后，第6个数据为89，第7个数据为91，因此中位数$b=\dfrac{89+91}{2}=90$；
观察八年级成绩，92共出现2次，出现次数最多，因此众数$c=92$；
补全七年级箱线图时，在75分和96分之间对应90分的位置画出代表中位数的横线即可，补全后如图：
(2) 根据算术平均数公式计算：
$m=\dfrac{1}{12}×(70+77+79+81+88+89+91+92+92+94+95+96)=87$（分）
(3) 抽取的12名八年级学生中，成绩超过90分的有6人，占比为$\dfrac{6}{12}$，因此估计总人数为：
$800×\dfrac{6}{12}=400$（人）
【答案】
(1)$90$，$92$，补全七年级的箱线图如图所示：
(2)八年级所抽取的学生的平均成绩为87分；
(3)估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数为400人。
【知识点】
中位数与众数，平均数计算，样本估计总体
【点评】
本题结合实际活动场景考查统计基础知识点，解题核心是熟练掌握各类统计量的计算方法，理解用样本特征估计总体特征的统计思路，做题时需注意数据排序不要出错，计算平均数时要核对数据总和避免计算失误。
【难度系数】
0.75
(1) 求解统计量$b$、$c$时，先明确对应统计量的定义：七年级共12个有序数据，中位数是排序后第6、7个数据的平均数，计算即可得到$b$；$c$是八年级成绩的众数，找出八年级成绩中出现次数最多的数即可，再根据七年级各统计量的数值补全箱线图。
(2) 求八年级平均成绩，直接使用算术平均数公式，将12名学生的成绩求和后除以样本总量12即可。
(3) 估计八年级成绩超过90分的总人数属于用样本估计总体的问题，先算出抽取样本中成绩超过90分的人数占比，再乘以八年级总人数800即可得到估计值。
【解析】
(1) 将七年级12个成绩从小到大排序后，第6个数据为89，第7个数据为91，因此中位数$b=\dfrac{89+91}{2}=90$；
观察八年级成绩，92共出现2次，出现次数最多，因此众数$c=92$；
补全七年级箱线图时，在75分和96分之间对应90分的位置画出代表中位数的横线即可，补全后如图：
(2) 根据算术平均数公式计算：
$m=\dfrac{1}{12}×(70+77+79+81+88+89+91+92+92+94+95+96)=87$（分）
(3) 抽取的12名八年级学生中，成绩超过90分的有6人，占比为$\dfrac{6}{12}$，因此估计总人数为：
$800×\dfrac{6}{12}=400$（人）
【答案】
(1)$90$，$92$，补全七年级的箱线图如图所示：
(2)八年级所抽取的学生的平均成绩为87分；
(3)估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数为400人。
【知识点】
中位数与众数，平均数计算，样本估计总体
【点评】
本题结合实际活动场景考查统计基础知识点，解题核心是熟练掌握各类统计量的计算方法，理解用样本特征估计总体特征的统计思路，做题时需注意数据排序不要出错，计算平均数时要核对数据总和避免计算失误。
【难度系数】
0.75
