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17. 解决下列问题：
(1)大家知道$(3,4,5)(5,12,13)(8,15,17)$都是勾股数组.有人说勾股数组中一定有一个偶数,你认为这种观点正确吗?请说明你的理由.
(2)你还能发现勾股数组具有哪些规律?
(3)小明发现:很多已经约去公因数的勾股数组中,都有一个数是偶数,如果将它写成$2mn$,那么另外两个数分别可以写成$m^2 + n^2$,$m^2 - n^2$,如$4=2×2×1$,$5=2^2 +1^2$,$3=2^2 -1^2$,再找几个勾股数组,看看他发现的规律是否正确.满足这个规律的数组都是勾股数组吗?
(1)大家知道$(3,4,5)(5,12,13)(8,15,17)$都是勾股数组.有人说勾股数组中一定有一个偶数,你认为这种观点正确吗?请说明你的理由.
(2)你还能发现勾股数组具有哪些规律?
(3)小明发现:很多已经约去公因数的勾股数组中,都有一个数是偶数,如果将它写成$2mn$,那么另外两个数分别可以写成$m^2 + n^2$,$m^2 - n^2$,如$4=2×2×1$,$5=2^2 +1^2$,$3=2^2 -1^2$,再找几个勾股数组,看看他发现的规律是否正确.满足这个规律的数组都是勾股数组吗?
答案
17.解:(1)这种观点正确.理由如下：
设勾股数组的3个数分别为$a,b,c$,其中$c$为斜边,则$c^2-a^2=(c+a)(c-a)=b^2$,当$c,a$都为奇数,则$c+a,c-a$都为偶数,则$b$为偶数，
$\therefore$勾股数组中一定有一个是偶数.
(2)①将一组勾股数中的每一个数同时扩大正整数倍后,仍然是一组勾股数,如3,4,5,都乘以2得到6,8,10也是勾股数；
②当勾股数组中较大的两个数为连续整数时,最小数的平方为奇数,如5,12,13,最大的两个数12,13是连续整数,最小数的平方25是奇数；
③当勾股数组中有两个连续的奇数或偶数时,另外一个数的平方必是4的倍数,如8,15,17,最大的两个数是连续的奇数,另一个数的平方是64,是4的倍数.
(3)他发现的规律正确,理由如下:
如:勾股数(5,12,13),其中$12=2×3×2$,$5=3^2-2^2$,$13=3^2+2^2$,满足该形式；
勾股数(8,15,17),其中$8=2×4×1$,$17=4^2+1^2$,$15=4^2-1^2$,满足该形式；
...,
$\therefore$小明发现的规律正确.
$\because (m^2-n^2)^2+(2mn)^2=m^4-2m^2n^2+n^4+4m^2n^2=m^4+2m^2n^2+n^4=(m^2+n^2)^2$,
$\therefore$满足这个规律的数组都满足勾股定理,$(2mn,m^2+n^2,m^2-n^2)$必为勾股数组.
设勾股数组的3个数分别为$a,b,c$,其中$c$为斜边,则$c^2-a^2=(c+a)(c-a)=b^2$,当$c,a$都为奇数,则$c+a,c-a$都为偶数,则$b$为偶数，
$\therefore$勾股数组中一定有一个是偶数.
(2)①将一组勾股数中的每一个数同时扩大正整数倍后,仍然是一组勾股数,如3,4,5,都乘以2得到6,8,10也是勾股数；
②当勾股数组中较大的两个数为连续整数时,最小数的平方为奇数,如5,12,13,最大的两个数12,13是连续整数,最小数的平方25是奇数；
③当勾股数组中有两个连续的奇数或偶数时,另外一个数的平方必是4的倍数,如8,15,17,最大的两个数是连续的奇数,另一个数的平方是64,是4的倍数.
(3)他发现的规律正确,理由如下:
如:勾股数(5,12,13),其中$12=2×3×2$,$5=3^2-2^2$,$13=3^2+2^2$,满足该形式；
勾股数(8,15,17),其中$8=2×4×1$,$17=4^2+1^2$,$15=4^2-1^2$,满足该形式；
...,
$\therefore$小明发现的规律正确.
$\because (m^2-n^2)^2+(2mn)^2=m^4-2m^2n^2+n^4+4m^2n^2=m^4+2m^2n^2+n^4=(m^2+n^2)^2$,
$\therefore$满足这个规律的数组都满足勾股定理,$(2mn,m^2+n^2,m^2-n^2)$必为勾股数组.
解析
【分析】
(1) 要判断勾股数组是否一定存在偶数，可结合奇偶性性质分析：勾股数满足两直角边的平方和等于斜边的平方，我们可以通过分析奇数、偶数平方的奇偶性，或借助平方差公式推导三个数的奇偶性关系，即可验证结论。
(2) 探索勾股数组的规律，可从勾股数的倍数特征、数组内部数的连续关系、平方的数值特征等方向入手，结合已知的常见勾股数举例归纳即可。
(3) 验证小明发现的规律，先选取多组无公因数的勾股数，尝试对应写成$2mn$、$m^2+n^2$、$m^2-n^2$的形式验证是否符合；再判断满足该形式的数组是否为勾股数，只需将三个数代入勾股定理，验证两短边平方和是否等于最长边的平方即可。
【解析】
(1) 这种观点正确，理由如下：
设勾股数组的3个数分别为$a,b,c$，其中$c$为斜边，由勾股定理得$a^2+b^2=c^2$，变形可得$c^2-a^2=(c+a)(c-a)=b^2$。
若$c$、$a$都为奇数，则$c+a$、$c-a$都为偶数，那么$(c+a)(c-a)$的结果是4的倍数，因此$b^2$为偶数，可得$b$为偶数；若$c$、$a$中有一个偶数，则已经满足数组存在偶数。因此勾股数组中一定有一个是偶数。
(2) 勾股数组的常见规律如下：
① 将一组勾股数中的每一个数同时扩大相同的正整数倍后，得到的新数组仍然是一组勾股数，例如3,4,5都乘以2得到6,8,10，$6^2+8^2=10^2$，也是勾股数；
② 当勾股数组中较大的两个数为连续整数时，最小数的平方为奇数，例如5,12,13中12和13是连续整数，最小数5的平方25是奇数；
③ 当勾股数组中有两个连续的奇数或偶数时，另外一个数的平方必是4的倍数，例如8,15,17中15和17是连续奇数，另一个数8的平方是64，是4的倍数。
(3) 小明发现的规律正确，验证如下：
例如勾股数$(5,12,13)$，其中偶数12可写成$2×3×2$，$5=3^2-2^2$，$13=3^2+2^2$，符合该形式；
再如勾股数$(8,15,17)$，其中偶数8可写成$2×4×1$，$15=4^2-1^2$，$17=4^2+1^2$，也符合该形式，因此小明发现的规律正确。
接下来验证满足该规律的数组都是勾股数组：
计算两短边的平方和：
$(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=m^4-2m^2n^2+n^4+4m^2n^2=m^4+2m^2n^2+n^4$
而最长边的平方为：$(m^2+n^2)^2=m^4+2m^2n^2+n^4$
因此$(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2$，满足勾股定理，所以满足这个规律的数组都是勾股数组。
【答案】
(1) 观点正确，理由见上述解析；
(2) 示例规律：①勾股数同时扩大正整数倍仍为勾股数；②较大两数为连续整数时，最小数平方为奇数；③有两个连续奇/偶数时，第三个数平方是4的倍数（写出合理规律即可）；
(3) 小明发现的规律正确，满足该规律的数组都是勾股数组，验证见上述解析。
【知识点】
勾股定理、奇偶性分析、完全平方公式
【点评】
本题以勾股数为载体，既考查了逻辑推理能力，又引导学生掌握从特殊实例归纳一般规律、再通过代数运算验证规律的探究方法，有助于提升对勾股定理的运用能力和自主探究意识。
【难度系数】
0.6
(1) 要判断勾股数组是否一定存在偶数，可结合奇偶性性质分析：勾股数满足两直角边的平方和等于斜边的平方，我们可以通过分析奇数、偶数平方的奇偶性，或借助平方差公式推导三个数的奇偶性关系，即可验证结论。
(2) 探索勾股数组的规律，可从勾股数的倍数特征、数组内部数的连续关系、平方的数值特征等方向入手，结合已知的常见勾股数举例归纳即可。
(3) 验证小明发现的规律，先选取多组无公因数的勾股数，尝试对应写成$2mn$、$m^2+n^2$、$m^2-n^2$的形式验证是否符合；再判断满足该形式的数组是否为勾股数，只需将三个数代入勾股定理，验证两短边平方和是否等于最长边的平方即可。
【解析】
(1) 这种观点正确，理由如下：
设勾股数组的3个数分别为$a,b,c$，其中$c$为斜边，由勾股定理得$a^2+b^2=c^2$，变形可得$c^2-a^2=(c+a)(c-a)=b^2$。
若$c$、$a$都为奇数，则$c+a$、$c-a$都为偶数，那么$(c+a)(c-a)$的结果是4的倍数，因此$b^2$为偶数，可得$b$为偶数；若$c$、$a$中有一个偶数，则已经满足数组存在偶数。因此勾股数组中一定有一个是偶数。
(2) 勾股数组的常见规律如下：
① 将一组勾股数中的每一个数同时扩大相同的正整数倍后，得到的新数组仍然是一组勾股数，例如3,4,5都乘以2得到6,8,10，$6^2+8^2=10^2$，也是勾股数；
② 当勾股数组中较大的两个数为连续整数时，最小数的平方为奇数，例如5,12,13中12和13是连续整数，最小数5的平方25是奇数；
③ 当勾股数组中有两个连续的奇数或偶数时，另外一个数的平方必是4的倍数，例如8,15,17中15和17是连续奇数，另一个数8的平方是64，是4的倍数。
(3) 小明发现的规律正确，验证如下：
例如勾股数$(5,12,13)$，其中偶数12可写成$2×3×2$，$5=3^2-2^2$，$13=3^2+2^2$，符合该形式；
再如勾股数$(8,15,17)$，其中偶数8可写成$2×4×1$，$15=4^2-1^2$，$17=4^2+1^2$，也符合该形式，因此小明发现的规律正确。
接下来验证满足该规律的数组都是勾股数组：
计算两短边的平方和：
$(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=m^4-2m^2n^2+n^4+4m^2n^2=m^4+2m^2n^2+n^4$
而最长边的平方为：$(m^2+n^2)^2=m^4+2m^2n^2+n^4$
因此$(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2$，满足勾股定理，所以满足这个规律的数组都是勾股数组。
【答案】
(1) 观点正确，理由见上述解析；
(2) 示例规律：①勾股数同时扩大正整数倍仍为勾股数；②较大两数为连续整数时，最小数平方为奇数；③有两个连续奇/偶数时，第三个数平方是4的倍数（写出合理规律即可）；
(3) 小明发现的规律正确，满足该规律的数组都是勾股数组，验证见上述解析。
【知识点】
勾股定理、奇偶性分析、完全平方公式
【点评】
本题以勾股数为载体，既考查了逻辑推理能力，又引导学生掌握从特殊实例归纳一般规律、再通过代数运算验证规律的探究方法，有助于提升对勾股定理的运用能力和自主探究意识。
【难度系数】
0.6
