11.计算:(1)$\sqrt{24} ÷ \sqrt{2} - (3\sqrt{3} + \sqrt{2}) + \sqrt{2}(1 - \sqrt{2})$；
(2)$(1 - 2\sqrt{3})^2 - (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})$。

11.解:(1)$\sqrt{24} ÷ \sqrt{2} - (3\sqrt{3} + \sqrt{2}) + \sqrt{2}(1 - \sqrt{2}) = \sqrt{12}-3\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{2}-2=2\sqrt{3}-3\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{2}-2=-\sqrt{3}-2.$
(2)$(1 - 2\sqrt{3})^2 - (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})=1-4\sqrt{3}+12-(4-3)=1-4\sqrt{3}+12-1=12-4\sqrt{3}.$

【分析】
本题考查二次根式的混合运算，解题遵循“先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序：
(1) 第一步先根据二次根式除法法则计算除法运算，第二步去括号（注意括号前是负号时括号内各项要变号），第三步计算二次根式的乘法运算，最后合并同类二次根式即可；
(2) 第一步分别利用完全平方公式计算平方项，利用平方差公式计算乘法项，第二步去括号后合并同类项即可得到结果。
【解析】
(1) 按运算顺序逐步计算：
$\begin{aligned}&\sqrt{24} ÷ \sqrt{2} - (3\sqrt{3} + \sqrt{2}) + \sqrt{2}(1 - \sqrt{2})\\=&\sqrt{24÷2} - 3\sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{2} - 2\\=&\sqrt{12} - 3\sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{2} - 2\\=&2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{2} - 2\\=&-\sqrt{3} - 2\end{aligned}$
(2) 利用乘法公式简化计算：
$\begin{aligned}&(1 - 2\sqrt{3})^2 - (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})\\=&1 - 4\sqrt{3} + 12 - (4 - 3)\\=&1 - 4\sqrt{3} + 12 - 1\\=&12 - 4\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\sqrt{3}-2$；(2) $12-4\sqrt{3}$
【知识点】
1. 二次根式混合运算
2. 完全平方公式
3. 平方差公式
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，解题时要注意去括号的符号变化，熟练运用乘法公式可大幅简化计算步骤，合并同类二次根式时需先将二次根式化为最简形式再判断合并。
【难度系数】
0.7

12. 如图所示，直线$l$是一次函数$y=kx+b$的图象.求：
(1)这个函数的解析式；
(2)当$x=4$时$y$的值.

12.解:(1)由图可知,一次函数$y=kx+b$的图象经过$(-2,0),(2,2)$两点，
依题意,得$\begin{cases}-2k+b=0,\\2k+b=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\dfrac{1}{2},\\b=1,\end{cases}$$\therefore y=\dfrac{1}{2}x+1.$
(2)当$x=4$时,$y=\dfrac{1}{2}×4+1=3.$

【分析】
本题求解分为两步：第一步求一次函数解析式，使用待定系数法，首先从图象中提取直线经过的两个已知点的坐标$(-2,0)$和$(2,2)$，将两点坐标代入一次函数一般式$y=kx+b$，即可得到关于系数$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$和$b$的值就能确定函数解析式；第二步求$x=4$时的$y$值，只需将$x=4$代入已经求出的函数解析式中，直接计算即可得到对应结果。
【解析】
(1) 由图象可知，一次函数$y=kx+b$的图象经过$(-2,0)$、$(2,2)$两点，将两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases}-2k+b=0\\2k+b=2\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去$b$，得$4k=2$，解得$k=\dfrac{1}{2}$；
将$k=\dfrac{1}{2}$代入$-2k+b=0$，得$-2×\dfrac{1}{2}+b=0$，解得$b=1$。
因此函数解析式为$y=\dfrac{1}{2}x+1$。
(2) 把$x=4$代入$y=\dfrac{1}{2}x+1$得：
$y=\dfrac{1}{2}×4+1=2+1=3$
【答案】
(1) $y=\dfrac{1}{2}x+1$
(2) $3$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数求值；二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于一次函数基础题，重点考察待定系数法的应用，解题核心是准确从图象中读取点的坐标，掌握解二元一次方程组和代入求函数值的基本方法即可轻松解答，是一次函数部分必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8

13. 如图所示，在平行四边形ABCD中，连接BD，分别过点A，C作$AM⊥BD$于点M，$CN⊥BD$于点N，连接CM，AN.
(1)求证:四边形AMCN是平行四边形；
(2)已知$BC=\sqrt{41}$，$CN=4$，$DN=0.8$，求$MN$的长.

13.(1)证明:$\because$在平行四边形$ABCD$中,$AB=CD,AB// CD,\therefore∠ ABD=∠ BDC.$
$\because AM⊥ BD,CN⊥ BD,\therefore AM// CN,∠ AMB=∠ CND=90°.$
$\therefore△ ABM≌△ CDN(\mathrm{AAS}).\therefore AM=CN.$
$\because AM// CN,\therefore$四边形$AMCN$是平行四边形.
(2)解:$MN$的长为4.2.

【分析】
(1)要证明四边形AMCN是平行四边形，可先利用“垂直于同一直线的两条直线平行”得到AM//CN，再证明AM=CN即可。结合平行四边形ABCD的性质可得AB=CD、AB//CD，进而得到∠ABD=∠CDB，结合AM、CN均垂直BD的条件，可证△ABM≌△CDN，得到AM=CN，即可得证。
(2)求MN的长，先在Rt△BCN中利用勾股定理求出BN的长度，再结合(1)中全等三角形的性质得到BM=DN，用BN减去BM即可得到MN的长度。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABD=∠BDC。
∵AM⊥BD，CN⊥BD，
∴∠AMB=∠CND=90°，AM//CN。
在△ABM和△CDN中，
$\{\begin{array}{l}∠ AMB=∠ CND\\ ∠ ABM=∠ CDN\\ AB=CD\end{array} $
∴△ABM≌△CDN（AAS），
∴AM=CN。
又
∵AM//CN，
∴四边形AMCN是平行四边形。
(2)解：
∵CN⊥BD，
∴∠CNB=90°，
在Rt△BCN中，由勾股定理得：
$BN=\sqrt{BC^2 - CN^2}=\sqrt{(\sqrt{41})^2 - 4^2}=\sqrt{41 - 16}=\sqrt{25}=5$。
由(1)中△ABM≌△CDN可得：BM=DN=0.8，
∴$MN=BN - BM=5 - 0.8=4.2$。
【答案】
(1)证明见上述过程；(2)$MN=4.2$
【知识点】
平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，第一问重点考察平行四边形的判定逻辑，需要结合全等三角形证明对边相等；第二问结合勾股定理和全等三角形的对应边相等求解线段长度，整体解题思路清晰，对几何基础的巩固有较好作用。
【难度系数】
0.7