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8 新考向 结论开放题 [2024如东期中]写出一个只含一个字母，且系数为2、次数为3的单项式：
$2x^3$
.答案
答案不唯一，如$2x^3$
解析
【分析】
解题时首先明确题目对单项式的三个要求：①只含1个字母；②系数为2；③次数为3。首先回忆单项式系数和次数的定义：系数是单项式中的数字因数，次数是单项式中所有字母的指数和。我们先满足系数要求，先写数字因数2，再任选一个字母（比如x、a等都可以），最后给这个字母标上指数3（因为只有1个字母，指数和就是这个字母的指数，要等于3），组合起来就能得到符合要求的单项式。
【解析】
首先明确单项式的相关概念：
1. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数；
2. 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
根据题目要求逐一匹配条件：
系数为2，因此单项式的数字部分为2；
只含一个字母，可任选一个字母，例如选字母x；
次数为3，因此字母x的指数为3。
综上可写出符合要求的单项式为$2x^3$，选择其他字母（如a、b等）写出的$2a^3$、$2b^3$等也符合要求，答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如$2x^3$
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题为结论开放型基础题，核心考查对单项式系数、次数概念的掌握，答题时需注意逐一匹配题目给出的所有限定条件，避免漏看要求出错。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题目对单项式的三个要求：①只含1个字母；②系数为2；③次数为3。首先回忆单项式系数和次数的定义：系数是单项式中的数字因数，次数是单项式中所有字母的指数和。我们先满足系数要求，先写数字因数2，再任选一个字母（比如x、a等都可以），最后给这个字母标上指数3（因为只有1个字母，指数和就是这个字母的指数，要等于3），组合起来就能得到符合要求的单项式。
【解析】
首先明确单项式的相关概念：
1. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数；
2. 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
根据题目要求逐一匹配条件：
系数为2，因此单项式的数字部分为2；
只含一个字母，可任选一个字母，例如选字母x；
次数为3，因此字母x的指数为3。
综上可写出符合要求的单项式为$2x^3$，选择其他字母（如a、b等）写出的$2a^3$、$2b^3$等也符合要求，答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如$2x^3$
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题为结论开放型基础题，核心考查对单项式系数、次数概念的掌握，答题时需注意逐一匹配题目给出的所有限定条件，避免漏看要求出错。
【难度系数】
0.9
9 如果单项式$-(\dfrac{4}{3})^2 m^{a-3}n^4$的次数是8，那么a的值为
7
。答案
7
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确单项式次数的定义：单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和，常数项的指数不计入次数。本题已知单项式的次数为8，我们只需将字母m、n的指数相加等于8，列出方程求解即可得到a的值，解题时注意不要误把系数$-(\dfrac{4}{3})^2$的指数计入次数。
【解析】
根据单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数和为单项式的次数。
本题中，单项式的字母部分为$m^{a-3}$和$n^4$，系数$-(\dfrac{4}{3})^2$是常数，其指数不计入次数。
已知该单项式的次数是8，可列方程：
$(a-3) + 4 = 8$
化简得：$a + 1 = 8$
解得：$a = 7$
【答案】
7
【知识点】
单项式的次数；解一元一次方程
【点评】
本题重点考查对单项式次数概念的理解，解题的关键是区分常数的指数和字母的指数，不要将系数中的指数计入单项式的次数，牢记基础概念即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确单项式次数的定义：单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和，常数项的指数不计入次数。本题已知单项式的次数为8，我们只需将字母m、n的指数相加等于8，列出方程求解即可得到a的值，解题时注意不要误把系数$-(\dfrac{4}{3})^2$的指数计入次数。
【解析】
根据单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数和为单项式的次数。
本题中，单项式的字母部分为$m^{a-3}$和$n^4$，系数$-(\dfrac{4}{3})^2$是常数，其指数不计入次数。
已知该单项式的次数是8，可列方程：
$(a-3) + 4 = 8$
化简得：$a + 1 = 8$
解得：$a = 7$
【答案】
7
【知识点】
单项式的次数；解一元一次方程
【点评】
本题重点考查对单项式次数概念的理解，解题的关键是区分常数的指数和字母的指数，不要将系数中的指数计入单项式的次数，牢记基础概念即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
10 如果$|a+2|+(b-3)^2=0$，那么单项式$-x^{a+b}y^{b-a}$的次数是
6
。答案
6
解析
【分析】
解题首先要用到非负数的性质：绝对值和偶次乘方的结果都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0，据此先求出a、b的值。再回忆单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，将a、b的值代入计算两个指数的和即可得到结果。
【解析】
∵ 绝对值和平方数都是非负数，即$|a+2|≥0$，$(b-3)^2≥0$，且$|a+2|+(b-3)^2=0$
∴ $a+2=0$，$b-3=0$
解得：$a=-2$，$b=3$
将a、b的值代入指数计算：
$a+b=-2+3=1$，$b-a=3-(-2)=5$
单项式$-x^{a+b}y^{b-a}$的次数为所有字母指数的和，即$1+5=6$
【答案】
6
【知识点】
非负数的性质；单项式的次数
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是先利用非负数的性质求出参数a、b的值，再结合单项式次数的定义计算即可，是各类考试中常考的题型。
【难度系数】
0.75
解题首先要用到非负数的性质：绝对值和偶次乘方的结果都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0，据此先求出a、b的值。再回忆单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，将a、b的值代入计算两个指数的和即可得到结果。
【解析】
∵ 绝对值和平方数都是非负数，即$|a+2|≥0$，$(b-3)^2≥0$，且$|a+2|+(b-3)^2=0$
∴ $a+2=0$，$b-3=0$
解得：$a=-2$，$b=3$
将a、b的值代入指数计算：
$a+b=-2+3=1$，$b-a=3-(-2)=5$
单项式$-x^{a+b}y^{b-a}$的次数为所有字母指数的和，即$1+5=6$
【答案】
6
【知识点】
非负数的性质；单项式的次数
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是先利用非负数的性质求出参数a、b的值，再结合单项式次数的定义计算即可，是各类考试中常考的题型。
【难度系数】
0.75
11 用单项式表示下列各个量，并写出各单项式的系数和次数：
（1）某班共有$a$名学生，女生人数是全班人数的$\frac{3}{7}$，写出该班的男生人数；
（2）电影院共有$m$排座椅，每排座椅设有$n$个座位，写出电影院的座位总数；
（3）长方形的长为$x$，宽是长的$\frac{2}{3}$，写出长方形的面积。
（1）某班共有$a$名学生，女生人数是全班人数的$\frac{3}{7}$，写出该班的男生人数；
（2）电影院共有$m$排座椅，每排座椅设有$n$个座位，写出电影院的座位总数；
（3）长方形的长为$x$，宽是长的$\frac{2}{3}$，写出长方形的面积。
答案
(1) $\frac{4}{7}a$ 系数：$\frac{4}{7}$ 次数：1
(2) $mn$ 系数：1 次数：2
(3) $\frac{2}{3}x^2$ 系数：$\frac{2}{3}$ 次数：2
(2) $mn$ 系数：1 次数：2
(3) $\frac{2}{3}x^2$ 系数：$\frac{2}{3}$ 次数：2
解析
【分析】
解题时首先根据每个小题的实际数量关系列出对应的单项式，再结合单项式的相关定义判断系数和次数：①单项式的系数是指单项式中的数字因数；②单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和。具体每小问思路：（1）用全班人数减去女生人数得到男生人数，再判断对应系数和次数；（2）用排数乘每排座位数得到总座位数，再判断对应系数和次数；（3）先求出长方形的宽，再用长乘宽得到面积，最后判断对应系数和次数。
【解析】
（1）女生人数为$\frac{3}{7}a$，则男生人数为$a-\frac{3}{7}a=\frac{4}{7}a$；其中数字因数为$\frac{4}{7}$，即系数为$\frac{4}{7}$，字母$a$的指数是1，即次数为1。
（2）座位总数=排数×每排座位数，即$m× n=mn$；省略的数字因数为1，即系数为1，字母$m$和$n$的指数和为$1+1=2$，即次数为2。
（3）长方形的宽为$\frac{2}{3}x$，则面积为$x×\frac{2}{3}x=\frac{2}{3}x^2$；其中数字因数为$\frac{2}{3}$，即系数为$\frac{2}{3}$，字母$x$的指数是2，即次数为2。
【答案】
(1) $\frac{4}{7}a$ 系数：$\frac{4}{7}$ 次数：1
(2) $mn$ 系数：1 次数：2
(3) $\frac{2}{3}x^2$ 系数：$\frac{2}{3}$ 次数：2
【知识点】
列单项式；单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是准确梳理实际问题中的数量关系，同时牢记单项式系数和次数的定义，尤其要注意仅含字母的单项式的系数为1，不要误认为系数是0。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据每个小题的实际数量关系列出对应的单项式，再结合单项式的相关定义判断系数和次数：①单项式的系数是指单项式中的数字因数；②单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和。具体每小问思路：（1）用全班人数减去女生人数得到男生人数，再判断对应系数和次数；（2）用排数乘每排座位数得到总座位数，再判断对应系数和次数；（3）先求出长方形的宽，再用长乘宽得到面积，最后判断对应系数和次数。
【解析】
（1）女生人数为$\frac{3}{7}a$，则男生人数为$a-\frac{3}{7}a=\frac{4}{7}a$；其中数字因数为$\frac{4}{7}$，即系数为$\frac{4}{7}$，字母$a$的指数是1，即次数为1。
（2）座位总数=排数×每排座位数，即$m× n=mn$；省略的数字因数为1，即系数为1，字母$m$和$n$的指数和为$1+1=2$，即次数为2。
（3）长方形的宽为$\frac{2}{3}x$，则面积为$x×\frac{2}{3}x=\frac{2}{3}x^2$；其中数字因数为$\frac{2}{3}$，即系数为$\frac{2}{3}$，字母$x$的指数是2，即次数为2。
【答案】
(1) $\frac{4}{7}a$ 系数：$\frac{4}{7}$ 次数：1
(2) $mn$ 系数：1 次数：2
(3) $\frac{2}{3}x^2$ 系数：$\frac{2}{3}$ 次数：2
【知识点】
列单项式；单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是准确梳理实际问题中的数量关系，同时牢记单项式系数和次数的定义，尤其要注意仅含字母的单项式的系数为1，不要误认为系数是0。
【难度系数】
0.8
12 已知$x^2y^{|a|}+(b+5)$是关于$x,y$的四次单项式，求$a^2-3ab$的值。
答案
由题意，得$b+5=0,2+|a|=4$。所以$b=-5,a=2$或$-2$。
所以当$a=2,b=-5$时，$a^2-3ab=4+30=34$；当$a=-2,b=-5$时，$a^2-3ab=4-30=-26$
所以当$a=2,b=-5$时，$a^2-3ab=4+30=34$；当$a=-2,b=-5$时，$a^2-3ab=4-30=-26$
解析
【分析】
解决本题首先要紧扣单项式的相关定义：第一，单项式仅含一项，因此式中的常数项必须为0，否则式子就属于多项式；第二，单项式的次数是式子中所有字母的指数和，本题为四次单项式，即x、y的指数相加等于4。我们先根据这两个要求列方程求出a、b的取值，再分情况代入代数式计算即可，注意绝对值方程的解有两种，不要漏算。
【解析】
∵ $x^2y^{|a|}+(b+5)$是关于$x,y$的四次单项式
∴ 常数项为0，且x、y的指数和为4，即：
$\begin{cases}b+5=0\\2+|a|=4\end{cases}$
解得：$b=-5$，$|a|=2$，即$a=2$或$a=-2$。
分两种情况计算$a^2-3ab$的值：
① 当$a=2$，$b=-5$时：
$a^2-3ab=2^2-3×2×(-5)=4+30=34$
② 当$a=-2$，$b=-5$时：
$a^2-3ab=(-2)^2-3×(-2)×(-5)=4-30=-26$
【答案】
34或-26
【知识点】
单项式的概念，单项式的次数，代数式求值
【点评】
本题易错点有两个：一是忽略单项式仅含一项的要求，忘记令常数项$b+5=0$；二是求解$|a|=2$时漏了$a=-2$的情况，做题时要紧扣概念，全面考虑取值的所有可能性，避免漏解。
【难度系数】
0.65
解决本题首先要紧扣单项式的相关定义：第一，单项式仅含一项，因此式中的常数项必须为0，否则式子就属于多项式；第二，单项式的次数是式子中所有字母的指数和，本题为四次单项式，即x、y的指数相加等于4。我们先根据这两个要求列方程求出a、b的取值，再分情况代入代数式计算即可，注意绝对值方程的解有两种，不要漏算。
【解析】
∵ $x^2y^{|a|}+(b+5)$是关于$x,y$的四次单项式
∴ 常数项为0，且x、y的指数和为4，即：
$\begin{cases}b+5=0\\2+|a|=4\end{cases}$
解得：$b=-5$，$|a|=2$，即$a=2$或$a=-2$。
分两种情况计算$a^2-3ab$的值：
① 当$a=2$，$b=-5$时：
$a^2-3ab=2^2-3×2×(-5)=4+30=34$
② 当$a=-2$，$b=-5$时：
$a^2-3ab=(-2)^2-3×(-2)×(-5)=4-30=-26$
【答案】
34或-26
【知识点】
单项式的概念，单项式的次数，代数式求值
【点评】
本题易错点有两个：一是忽略单项式仅含一项的要求，忘记令常数项$b+5=0$；二是求解$|a|=2$时漏了$a=-2$的情况，做题时要紧扣概念，全面考虑取值的所有可能性，避免漏解。
【难度系数】
0.65
13 已知单项式$-\dfrac{2}{3}xy^{2m-1}$与$-2^2x^2y^2$的次数相同.
（1）求$m$的值；
（2）当$x=-9,y=-2$时，求单项式$-\dfrac{2}{3}xy^{2m-1}$的值.
（1）求$m$的值；
（2）当$x=-9,y=-2$时，求单项式$-\dfrac{2}{3}xy^{2m-1}$的值.
答案
(1) 由题意，得$1+2m-1=2+2$，所以$m=2$
(2) 由(1)知，$2m-1=3$。当$x=-9,y=-2$时，原式$=-\frac{2}{3}× (-9)× (-2)^3=-48$
(2) 由(1)知，$2m-1=3$。当$x=-9,y=-2$时，原式$=-\frac{2}{3}× (-9)× (-2)^3=-48$
解析
【分析】
（1）解决第一问的核心是掌握单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数和为单项式的次数。已知两个单项式次数相同，我们可以分别计算两个单项式的次数，列出关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值。
（2）解决第二问时，先将第一问求得的m代入原单项式，确定单项式的最终形式，再将x、y的取值代入，按照“先算乘方、再算乘法”的有理数运算顺序计算即可，计算时要重点注意符号的处理。
【解析】
（1）根据单项式次数的定义：
单项式$-\dfrac{2}{3}xy^{2m-1}$的次数为$1+(2m-1)$，
单项式$-2^2x^2y^2$的次数为$2+2=4$，
因为两个单项式次数相同，可列方程：
$1+2m-1=4$
化简得$2m=4$，解得$m=2$。
（2）把$m=2$代入$2m-1$，得$2m-1=2×2-1=3$，因此原单项式为$-\dfrac{2}{3}xy^3$。
将$x=-9,y=-2$代入单项式：
$\begin{aligned}原式&=-\dfrac{2}{3}×(-9)×(-2)^3 \\&=-\dfrac{2}{3}×(-9)×(-8) \\&=6×(-8) \\&=-48\end{aligned}$
【答案】
(1) $m=2$；(2) $-48$
【知识点】
单项式的次数，解一元一次方程，代数式求值
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查对单项式次数概念的理解，计算时要注意负数乘方的符号规律，严格按照运算顺序计算，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.8
（1）解决第一问的核心是掌握单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数和为单项式的次数。已知两个单项式次数相同，我们可以分别计算两个单项式的次数，列出关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值。
（2）解决第二问时，先将第一问求得的m代入原单项式，确定单项式的最终形式，再将x、y的取值代入，按照“先算乘方、再算乘法”的有理数运算顺序计算即可，计算时要重点注意符号的处理。
【解析】
（1）根据单项式次数的定义：
单项式$-\dfrac{2}{3}xy^{2m-1}$的次数为$1+(2m-1)$，
单项式$-2^2x^2y^2$的次数为$2+2=4$，
因为两个单项式次数相同，可列方程：
$1+2m-1=4$
化简得$2m=4$，解得$m=2$。
（2）把$m=2$代入$2m-1$，得$2m-1=2×2-1=3$，因此原单项式为$-\dfrac{2}{3}xy^3$。
将$x=-9,y=-2$代入单项式：
$\begin{aligned}原式&=-\dfrac{2}{3}×(-9)×(-2)^3 \\&=-\dfrac{2}{3}×(-9)×(-8) \\&=6×(-8) \\&=-48\end{aligned}$
【答案】
(1) $m=2$；(2) $-48$
【知识点】
单项式的次数，解一元一次方程，代数式求值
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查对单项式次数概念的理解，计算时要注意负数乘方的符号规律，严格按照运算顺序计算，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.8
14 观察下列单项式：$-x,2x^2,-3x^3,\dots,-19x^{19},20x^{20},\dots.$
（1）根据你发现的规律，写出第101个和第102个单项式；
（2）请写出第$n$（$n$为正整数）个单项式.
（1）根据你发现的规律，写出第101个和第102个单项式；
（2）请写出第$n$（$n$为正整数）个单项式.
答案
(1) $-101x^{101},102x^{102}$
(2) $(-1)^n nx^n$
(2) $(-1)^n nx^n$
解析
【分析】
要解决这类单项式规律探究题，我们可以把单项式拆解为符号、系数的绝对值、字母的次数三个部分，分别找各部分和项数的对应规律，再合并得到整体规律。
首先观察已知单项式：
①符号规律：第1、3、…、奇数个单项式符号为负，第2、4、…、偶数个单项式符号为正；
②系数绝对值规律：第k个单项式的系数绝对值等于项数k；
③x的次数规律：第k个单项式中x的次数等于项数k。
按照这个规律就可以分别求出第101、102个单项式，以及第n个单项式的通式。
【解析】
（1）根据总结的规律：
第101个是奇数项，符号为负，系数绝对值为101，x的次数为101，因此第101个单项式为$-101x^{101}$；
第102个是偶数项，符号为正，系数绝对值为102，x的次数为102，因此第102个单项式为$102x^{102}$。
（2）第n个单项式：
符号部分用$(-1)^n$表示（n为奇数时$(-1)^n=-1$，对应负号；n为偶数时$(-1)^n=1$，对应正号），系数为n，x的次数为n，合并可得第n个单项式为$(-1)^n nx^n$。
【答案】
(1) $-101x^{101},102x^{102}$
(2) $(-1)^n nx^n$
【知识点】
单项式的概念，规律探究，乘方的符号规律
【点评】
本题是整式规律探究的基础题型，解题核心是将复杂的规律问题拆解为多个独立的小模块分别找规律，降低思考难度，这类方法也适用于其他数列、式子类规律探究问题。
【难度系数】
0.7
要解决这类单项式规律探究题，我们可以把单项式拆解为符号、系数的绝对值、字母的次数三个部分，分别找各部分和项数的对应规律，再合并得到整体规律。
首先观察已知单项式：
①符号规律：第1、3、…、奇数个单项式符号为负，第2、4、…、偶数个单项式符号为正；
②系数绝对值规律：第k个单项式的系数绝对值等于项数k；
③x的次数规律：第k个单项式中x的次数等于项数k。
按照这个规律就可以分别求出第101、102个单项式，以及第n个单项式的通式。
【解析】
（1）根据总结的规律：
第101个是奇数项，符号为负，系数绝对值为101，x的次数为101，因此第101个单项式为$-101x^{101}$；
第102个是偶数项，符号为正，系数绝对值为102，x的次数为102，因此第102个单项式为$102x^{102}$。
（2）第n个单项式：
符号部分用$(-1)^n$表示（n为奇数时$(-1)^n=-1$，对应负号；n为偶数时$(-1)^n=1$，对应正号），系数为n，x的次数为n，合并可得第n个单项式为$(-1)^n nx^n$。
【答案】
(1) $-101x^{101},102x^{102}$
(2) $(-1)^n nx^n$
【知识点】
单项式的概念，规律探究，乘方的符号规律
【点评】
本题是整式规律探究的基础题型，解题核心是将复杂的规律问题拆解为多个独立的小模块分别找规律，降低思考难度，这类方法也适用于其他数列、式子类规律探究问题。
【难度系数】
0.7
