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【典例】小美和小聪家住水果湖，周末相约到东湖绿道游玩，小美乘坐地铁，小聪乘坐公交车，同时出发到梨园公交车站汇合.
(1)已知乘坐地铁和公交车的路程都是5千米，地铁的平均速度是公交车的两倍，虽然小美进站和出站比小聪上下公交车多花了5分钟，但还是比小聪早到2.5分钟.求地铁的平均速度；
(2)游玩途径东湖绿道有一家酥饼店，酥饼标价a元/斤，小美买了两斤，小聪买了20元钱的酥饼.两人游玩结束返回时，发现酥饼标价变成了b元/斤(a≠b)，小美又买了两斤，小聪又买了20元钱的酥饼.
①用a，b表示小美购买酥饼的平均价格$P_{小美}=$
②小美和小聪谁的平均价格低？说明理由.
(1)已知乘坐地铁和公交车的路程都是5千米，地铁的平均速度是公交车的两倍，虽然小美进站和出站比小聪上下公交车多花了5分钟，但还是比小聪早到2.5分钟.求地铁的平均速度；
(2)游玩途径东湖绿道有一家酥饼店，酥饼标价a元/斤，小美买了两斤，小聪买了20元钱的酥饼.两人游玩结束返回时，发现酥饼标价变成了b元/斤(a≠b)，小美又买了两斤，小聪又买了20元钱的酥饼.
①用a，b表示小美购买酥饼的平均价格$P_{小美}=$
$\frac{a+b}{2}$
元/斤，小聪购买酥饼的平均价格$P_{小聪}=$$\frac{2ab}{a+b}$
元/斤；②小美和小聪谁的平均价格低？说明理由.
答案
(1)解:设公交车的平均速度为x千米/小时,则地铁的平均速度为2x千米/小时,$\frac{5}{2x}+\frac{5}{60}+\frac{2.5}{60}=\frac{5}{x}$,解得x=20.经检验,x=20是原分式方程的解.
2x=40.
答:地铁的平均速度为40千米/小时.
(2)①$P_{小美}=\frac{a+b}{2}$,$P_{小聪}=\frac{2ab}{a+b}$;
②$P_{小美}-P_{小聪}=\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$,
$\because (a-b)^2＞0,2(a+b)＞0$,
$\therefore P_{小美}-P_{小聪}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}＞0$,
$\therefore P_{小美}＞P_{小聪}$.
答:小聪的平均价格低.
2x=40.
答:地铁的平均速度为40千米/小时.
(2)①$P_{小美}=\frac{a+b}{2}$,$P_{小聪}=\frac{2ab}{a+b}$;
②$P_{小美}-P_{小聪}=\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$,
$\because (a-b)^2＞0,2(a+b)＞0$,
$\therefore P_{小美}-P_{小聪}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}＞0$,
$\therefore P_{小美}＞P_{小聪}$.
答:小聪的平均价格低.
解析
【分析】
(1)本题属于行程类分式方程应用题，核心依据“时间=路程÷速度”的关系解题。首先需统一时间单位，题目给出的停留、早到时间为分钟，速度用千米/小时作单位时要将分钟转换为小时。等量关系为：公交车行驶全程的时间 = 地铁行驶全程的时间 + 小美进出站多花的时间 + 小美比小聪早到的时间，设出公交车速度即可表示地铁速度，列方程求解后必须检验分式方程的根是否符合实际意义。
(2)①平均价格的计算规则为“总花费÷总重量”，分别算出小美、小聪两次购买酥饼的总花费和总重量，代入规则即可求出两人的平均价格；②要比较两人平均价格的高低，采用作差法，计算两个平均价格的差值，根据差值的正负判断大小，注意利用a、b均为正数且a≠b的隐含条件判断差值符号。
【解析】
(1)设公交车的平均速度为x千米/小时，则地铁的平均速度为2x千米/小时，将分钟换算为小时：5分钟=$\frac{5}{60}$小时，2.5分钟=$\frac{2.5}{60}$小时。
根据题意列方程：
$\frac{5}{2x}+\frac{5}{60}+\frac{2.5}{60}=\frac{5}{x}$
解方程：
两边同乘120x去分母得：$300 + 10x + 5x = 600$
整理得$15x=300$，解得$x=20$
检验：当$x=20$时，$120x≠0$，因此$x=20$是原分式方程的解，符合实际意义。
则地铁的平均速度为$2x=2×20=40$千米/小时。
(2)①小美两次购买酥饼总重量为$2+2=4$斤，总花费为$2a+2b$元，因此平均价格$P_{小美}=\frac{2a+2b}{4}=\frac{a+b}{2}$元/斤；
小聪两次购买酥饼总花费为$20+20=40$元，总重量为$\frac{20}{a}+\frac{20}{b}$斤，因此平均价格$P_{小聪}=\frac{40}{\frac{20}{a}+\frac{20}{b}}=\frac{2ab}{a+b}$元/斤。
②用作差法比较两人平均价格：
$P_{小美}-P_{小聪}=\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}$
通分计算得：$\frac{(a+b)^2 - 4ab}{2(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$
由题意可知a、b均为正数，且$a≠b$，因此$(a-b)^2＞0$，$2(a+b)＞0$，可得$\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}＞0$，即$P_{小美}-P_{小聪}＞0$，因此$P_{小美}＞P_{小聪}$。
【答案】
(1)40千米/小时；
(2)①$\frac{a+b}{2}$；$\frac{2ab}{a+b}$；②小聪的平均价格低。
【知识点】
分式方程的应用；分式的混合运算；作差法比较大小
【点评】
本题结合生活实际场景命题，既考查了分式方程在行程问题中的应用，也考查了分式运算在消费问题中的实际运用，解题时需注意单位统一、分式方程验根以及单价为正的隐含条件，能有效锻炼学生将数学知识应用到实际生活的能力。
【难度系数】
0.65
(1)本题属于行程类分式方程应用题，核心依据“时间=路程÷速度”的关系解题。首先需统一时间单位，题目给出的停留、早到时间为分钟，速度用千米/小时作单位时要将分钟转换为小时。等量关系为：公交车行驶全程的时间 = 地铁行驶全程的时间 + 小美进出站多花的时间 + 小美比小聪早到的时间，设出公交车速度即可表示地铁速度，列方程求解后必须检验分式方程的根是否符合实际意义。
(2)①平均价格的计算规则为“总花费÷总重量”，分别算出小美、小聪两次购买酥饼的总花费和总重量，代入规则即可求出两人的平均价格；②要比较两人平均价格的高低，采用作差法，计算两个平均价格的差值，根据差值的正负判断大小，注意利用a、b均为正数且a≠b的隐含条件判断差值符号。
【解析】
(1)设公交车的平均速度为x千米/小时，则地铁的平均速度为2x千米/小时，将分钟换算为小时：5分钟=$\frac{5}{60}$小时，2.5分钟=$\frac{2.5}{60}$小时。
根据题意列方程：
$\frac{5}{2x}+\frac{5}{60}+\frac{2.5}{60}=\frac{5}{x}$
解方程：
两边同乘120x去分母得：$300 + 10x + 5x = 600$
整理得$15x=300$，解得$x=20$
检验：当$x=20$时，$120x≠0$，因此$x=20$是原分式方程的解，符合实际意义。
则地铁的平均速度为$2x=2×20=40$千米/小时。
(2)①小美两次购买酥饼总重量为$2+2=4$斤，总花费为$2a+2b$元，因此平均价格$P_{小美}=\frac{2a+2b}{4}=\frac{a+b}{2}$元/斤；
小聪两次购买酥饼总花费为$20+20=40$元，总重量为$\frac{20}{a}+\frac{20}{b}$斤，因此平均价格$P_{小聪}=\frac{40}{\frac{20}{a}+\frac{20}{b}}=\frac{2ab}{a+b}$元/斤。
②用作差法比较两人平均价格：
$P_{小美}-P_{小聪}=\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}$
通分计算得：$\frac{(a+b)^2 - 4ab}{2(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$
由题意可知a、b均为正数，且$a≠b$，因此$(a-b)^2＞0$，$2(a+b)＞0$，可得$\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}＞0$，即$P_{小美}-P_{小聪}＞0$，因此$P_{小美}＞P_{小聪}$。
【答案】
(1)40千米/小时；
(2)①$\frac{a+b}{2}$；$\frac{2ab}{a+b}$；②小聪的平均价格低。
【知识点】
分式方程的应用；分式的混合运算；作差法比较大小
【点评】
本题结合生活实际场景命题，既考查了分式方程在行程问题中的应用，也考查了分式运算在消费问题中的实际运用，解题时需注意单位统一、分式方程验根以及单价为正的隐含条件，能有效锻炼学生将数学知识应用到实际生活的能力。
【难度系数】
0.65
变式.两个小组同时从甲地出发,匀速步行到乙地,甲乙两地相距7.5千米,第一组步行的速度是第二组的1.2倍,并且比第二组早$\frac{1}{4}$小时到达乙地.
(1)求第二组的步行速度;
(2)返回时,第二小组为了加快速度,准备进行提速,现有两种方案:
方案1:前半程速度为$a$,后半程速度为$b$;
方案2:全程速度均为$\frac{1}{2}(a+b)$;(方案中速度单位均为千米/小时)
其中$a$和$b$是不相等的正数,请比较哪种方案平均速度更快,并说明理由.
(1)求第二组的步行速度;
(2)返回时,第二小组为了加快速度,准备进行提速,现有两种方案:
方案1:前半程速度为$a$,后半程速度为$b$;
方案2:全程速度均为$\frac{1}{2}(a+b)$;(方案中速度单位均为千米/小时)
其中$a$和$b$是不相等的正数,请比较哪种方案平均速度更快,并说明理由.
答案
(1)解:设第二组速度为x km/h,则第一组速度为1.2x km/h.
依题意得$\frac{7.5}{1.2x}=\frac{7.5}{x}-\frac{1}{4}$,解得x=5.
经检验,x=5是原分式方程的解.
答:第二组的步行速度为5 km/h.
(2)方案1:总时间为$\frac{\frac{1}{2}s}{a}+\frac{\frac{1}{2}s}{b}$,
$v_1=\frac{s}{\frac{\frac{1}{2}s}{a}+\frac{\frac{1}{2}s}{b}}=\frac{2ab}{a+b}$;
方案2:$v_2=\frac{1}{2}(a+b)$.$v_1-v_2=\frac{2ab}{a+b}-\frac{a+b}{2}=\frac{4ab-(a+b)^2}{2(a+b)}=-\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}＜0$,$\therefore v_2＞v_1$.
答:方案2的平均速度更快.
依题意得$\frac{7.5}{1.2x}=\frac{7.5}{x}-\frac{1}{4}$,解得x=5.
经检验,x=5是原分式方程的解.
答:第二组的步行速度为5 km/h.
(2)方案1:总时间为$\frac{\frac{1}{2}s}{a}+\frac{\frac{1}{2}s}{b}$,
$v_1=\frac{s}{\frac{\frac{1}{2}s}{a}+\frac{\frac{1}{2}s}{b}}=\frac{2ab}{a+b}$;
方案2:$v_2=\frac{1}{2}(a+b)$.$v_1-v_2=\frac{2ab}{a+b}-\frac{a+b}{2}=\frac{4ab-(a+b)^2}{2(a+b)}=-\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}＜0$,$\therefore v_2＞v_1$.
答:方案2的平均速度更快.
解析
【分析】
（1）第一问是行程类分式应用题，核心公式为路程=速度×时间。已知两地路程固定，两组速度存在倍数关系，且到达时间差为$\frac{1}{4}$小时，我们可以设第二组速度为未知数，分别表示两组走完全程的时间，根据“第二组用时-第一组用时=$\frac{1}{4}$小时”列分式方程求解，注意分式方程需检验解的合理性。
（2）第二问要比较两种方案的平均速度，平均速度的计算公式为总路程÷总时间。我们先设总路程为$s$，分别计算两种方案的总时间，进而求出各自的平均速度，再通过作差法比较两个速度的大小，结合完全平方公式判断差的正负即可得出结论。
【解析】
(1) 设第二组的步行速度为$x$ km/h，则第一组的步行速度为$1.2x$ km/h。
依题意得：
$\frac{7.5}{1.2x}=\frac{7.5}{x}-\frac{1}{4}$
去分母得：$7.5=9-0.3x$
移项计算得：$0.3x=1.5$
解得：$x=5$
检验：当$x=5$时，$1.2x=6≠0$，因此$x=5$是原分式方程的解，且符合实际意义。
(2) 设甲乙两地总路程为$s$ km：
方案1：前、后半程路程均为$\frac{1}{2}s$，总时间为$\frac{\frac{1}{2}s}{a}+\frac{\frac{1}{2}s}{b}$，
平均速度$v_1=\frac{s}{\frac{\frac{1}{2}s}{a}+\frac{\frac{1}{2}s}{b}}=\frac{2ab}{a+b}$
方案2：全程平均速度$v_2=\frac{1}{2}(a+b)$
作差比较大小：
$v_1-v_2=\frac{2ab}{a+b}-\frac{a+b}{2}=\frac{4ab-(a+b)^2}{2(a+b)}=-\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$
因为$a$、$b$是不相等的正数，所以$(a-b)^2＞0$，$2(a+b)＞0$，因此$v_1-v_2＜0$，即$v_2＞v_1$。
【答案】
(1) 第二组的步行速度为5 km/h；
(2) 方案2的平均速度更快。
【知识点】
分式方程的应用，平均速度计算，作差法比较大小
【点评】
本题结合行程场景考察分式相关知识的实际应用，第一问需要准确抓住时间差的等量关系列方程，牢记分式方程必须验根；第二问需要熟练掌握平均速度的计算方法，通过作差结合完全平方公式判断大小，兼顾了对运算能力和逻辑推理能力的考察。
【难度系数】
0.7
（1）第一问是行程类分式应用题，核心公式为路程=速度×时间。已知两地路程固定，两组速度存在倍数关系，且到达时间差为$\frac{1}{4}$小时，我们可以设第二组速度为未知数，分别表示两组走完全程的时间，根据“第二组用时-第一组用时=$\frac{1}{4}$小时”列分式方程求解，注意分式方程需检验解的合理性。
（2）第二问要比较两种方案的平均速度，平均速度的计算公式为总路程÷总时间。我们先设总路程为$s$，分别计算两种方案的总时间，进而求出各自的平均速度，再通过作差法比较两个速度的大小，结合完全平方公式判断差的正负即可得出结论。
【解析】
(1) 设第二组的步行速度为$x$ km/h，则第一组的步行速度为$1.2x$ km/h。
依题意得：
$\frac{7.5}{1.2x}=\frac{7.5}{x}-\frac{1}{4}$
去分母得：$7.5=9-0.3x$
移项计算得：$0.3x=1.5$
解得：$x=5$
检验：当$x=5$时，$1.2x=6≠0$，因此$x=5$是原分式方程的解，且符合实际意义。
(2) 设甲乙两地总路程为$s$ km：
方案1：前、后半程路程均为$\frac{1}{2}s$，总时间为$\frac{\frac{1}{2}s}{a}+\frac{\frac{1}{2}s}{b}$，
平均速度$v_1=\frac{s}{\frac{\frac{1}{2}s}{a}+\frac{\frac{1}{2}s}{b}}=\frac{2ab}{a+b}$
方案2：全程平均速度$v_2=\frac{1}{2}(a+b)$
作差比较大小：
$v_1-v_2=\frac{2ab}{a+b}-\frac{a+b}{2}=\frac{4ab-(a+b)^2}{2(a+b)}=-\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$
因为$a$、$b$是不相等的正数，所以$(a-b)^2＞0$，$2(a+b)＞0$，因此$v_1-v_2＜0$，即$v_2＞v_1$。
【答案】
(1) 第二组的步行速度为5 km/h；
(2) 方案2的平均速度更快。
【知识点】
分式方程的应用，平均速度计算，作差法比较大小
【点评】
本题结合行程场景考察分式相关知识的实际应用，第一问需要准确抓住时间差的等量关系列方程，牢记分式方程必须验根；第二问需要熟练掌握平均速度的计算方法，通过作差结合完全平方公式判断大小，兼顾了对运算能力和逻辑推理能力的考察。
【难度系数】
0.7
