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【典例1】如图，线段AB//CD，连AD、BC，E是AD的中点，连BE，BE平分∠ABC，求证：AB－BC＝CD. 
答案
证明:延长 DC、BE 交于点F，
易证△DEF≌△AEB，
∴DF=AB，
又 BE 平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=∠F，
∴CF=BC，
∴AB-BC=DF-CF=CD.
解析
【分析】
拿到题目首先观察已知条件：有AB//CD，E是AD中点，还有BE是角平分线，要证明线段差的关系。首先对于中点类问题，我们可以考虑构造全等三角形转化线段：延长BE和DC的延长线交于点F，利用平行线的内错角相等、中点的边相等可证△DEF和△AEB全等，就能把AB转化为DF，此时待证结论AB-BC=CD就转化为DF-BC=CD，也就是只需证明BC=CF即可。再结合角平分线的定义和平行线的性质，可推出∠F=∠CBE，得到等腰三角形，即CF=BC，最后通过等量代换就能得出结论。
【解析】
证明：延长 DC、BE 交于点F，
∵AB//CD，
∴∠F=∠ABE，∠D=∠A，
∵E是AD的中点，
∴DE=AE，
在△DEF和△AEB中：
$\{\begin{array}{l}∠ F=∠ ABE\\ ∠ D=∠ A\\ DE=AE\end{array} $
∴△DEF≌△AEB（AAS），
∴DF=AB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠F=∠CBE，
∴CF=BC，
又
∵DF=CD+CF，
∴AB=CD+BC，
即AB－BC＝CD。
【答案】
证明:延长 DC、BE 交于点F，
易证△DEF≌△AEB，
∴DF=AB，
又 BE 平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=∠F，
∴CF=BC，
∴AB-BC=DF-CF=CD.
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是中点类几何辅助线的典型题型，核心是通过延长过中点的线段构造“X型”全等三角形，实现未知线段向已知线段的转化，再结合角平分线、平行线的性质推导等腰三角形完成等量代换，能很好地考察学生对几何常规辅助线作法的掌握程度和综合运用性质解题的能力。
【难度系数】
0.6
拿到题目首先观察已知条件：有AB//CD，E是AD中点，还有BE是角平分线，要证明线段差的关系。首先对于中点类问题，我们可以考虑构造全等三角形转化线段：延长BE和DC的延长线交于点F，利用平行线的内错角相等、中点的边相等可证△DEF和△AEB全等，就能把AB转化为DF，此时待证结论AB-BC=CD就转化为DF-BC=CD，也就是只需证明BC=CF即可。再结合角平分线的定义和平行线的性质，可推出∠F=∠CBE，得到等腰三角形，即CF=BC，最后通过等量代换就能得出结论。
【解析】
证明：延长 DC、BE 交于点F，
∵AB//CD，
∴∠F=∠ABE，∠D=∠A，
∵E是AD的中点，
∴DE=AE，
在△DEF和△AEB中：
$\{\begin{array}{l}∠ F=∠ ABE\\ ∠ D=∠ A\\ DE=AE\end{array} $
∴△DEF≌△AEB（AAS），
∴DF=AB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠F=∠CBE，
∴CF=BC，
又
∵DF=CD+CF，
∴AB=CD+BC，
即AB－BC＝CD。
【答案】
证明:延长 DC、BE 交于点F，
易证△DEF≌△AEB，
∴DF=AB，
又 BE 平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=∠F，
∴CF=BC，
∴AB-BC=DF-CF=CD.
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是中点类几何辅助线的典型题型，核心是通过延长过中点的线段构造“X型”全等三角形，实现未知线段向已知线段的转化，再结合角平分线、平行线的性质推导等腰三角形完成等量代换，能很好地考察学生对几何常规辅助线作法的掌握程度和综合运用性质解题的能力。
【难度系数】
0.6
【典例2】如图，等腰直角$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$D$为$CB$延长线上一点，$AE=AD$，且$AE⊥ AD$，$BE$与$AC$的延长线交于点$P$.
(1)求证:$BP=PE$；
(2)若$AC=3PC$，求$\frac{DB}{BC}$的值.
(1)求证:$BP=PE$；
(2)若$AC=3PC$，求$\frac{DB}{BC}$的值.
答案
(1)证明:作 EM⊥AP 于M，
易证△AEM≌△DAC，
∴AC=EM=BC，
∴△BPC≌△EPM，
∴BP=PE；
(2)解:设 PC=PM=x，
AC=BC=3x，
AM=DC=5x，
∴DB=2x，
∴$\frac{DB}{BC}=\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
(1)要证明$BP=PE$，即证$P$是$BE$的中点，可通过构造包含$BP$、$PE$的全等三角形证明。已知$AE⊥ AD$，$△ ABC$为等腰直角三角形，因此过$E$作$EM⊥ AP$于$M$，先利用同角的余角相等推导角相等，证明$△ AEM≌△ DAC$，得到$EM=AC=BC$，再证明$△ BPC≌△ EPM$，即可得出$BP=PE$。
(2)求线段比值可采用设参数法，设$PC=x$，根据$AC=3PC$表示出$AC$、$BC$的长度，再结合第一问全等三角形对应边相等的性质，依次求出$PM$、$AM$、$DC$的长度，进而推出$DB$的长度，最后计算比值即可。
【解析】
(1)证明：作$EM⊥ AP$于$M$，
$\because ∠ ACB=90°$，$AE⊥ AD$，
$\therefore ∠ D+∠ DAC=90°$，$∠ EAM+∠ DAC=90°$，
$\therefore ∠ D=∠ EAM$。
在$△ AEM$和$△ DAC$中：
$\begin{cases}∠ AME=∠ ACD=90° \\∠ EAM=∠ D \\AE=AD\end{cases}$
$\therefore △ AEM≌△ DAC(AAS)$，
$\therefore EM=AC$，$AM=DC$。
$\because △ ABC$是等腰直角三角形，$∠ ACB=90°$，
$\therefore AC=BC$，$\therefore BC=EM$。
在$△ BPC$和$△ EPM$中：
$\begin{cases}∠ BCP=∠ EMP=90° \\∠ BPC=∠ EPM \\BC=EM\end{cases}$
$\therefore △ BPC≌△ EPM(AAS)$，
$\therefore BP=PE$。
(2)解：设$PC=x$，
$\because AC=3PC$，$\therefore AC=3x$，
$\therefore BC=AC=3x$。
由$△ BPC≌△ EPM$得$PC=PM=x$，
$\therefore AM=AC+CP+PM=3x+x+x=5x$。
由$△ AEM≌△ DAC$得$DC=AM=5x$，
$\because DC=DB+BC$，
$\therefore DB=DC-BC=5x-3x=2x$，
$\therefore \frac{DB}{BC}=\frac{2x}{3x}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1)证明:作 EM⊥AP 于M，
易证△AEM≌△DAC，
∴AC=EM=BC，
∴△BPC≌△EPM，
∴BP=PE；
(2)解:设 PC=PM=x，
AC=BC=3x，
AM=DC=5x，
∴DB=2x，
∴$\frac{DB}{BC}=\frac{2}{3}$.
【知识点】
全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、参数法求线段比
【点评】
本题是全等三角形的典型应用题型，通过作垂直辅助线构造全等三角形是解决中点类证明问题的常用技巧，第二问采用设参数的方法转化线段关系，降低了计算难度，能较好地考查学生的辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1)要证明$BP=PE$，即证$P$是$BE$的中点，可通过构造包含$BP$、$PE$的全等三角形证明。已知$AE⊥ AD$，$△ ABC$为等腰直角三角形，因此过$E$作$EM⊥ AP$于$M$，先利用同角的余角相等推导角相等，证明$△ AEM≌△ DAC$，得到$EM=AC=BC$，再证明$△ BPC≌△ EPM$，即可得出$BP=PE$。
(2)求线段比值可采用设参数法，设$PC=x$，根据$AC=3PC$表示出$AC$、$BC$的长度，再结合第一问全等三角形对应边相等的性质，依次求出$PM$、$AM$、$DC$的长度，进而推出$DB$的长度，最后计算比值即可。
【解析】
(1)证明：作$EM⊥ AP$于$M$，
$\because ∠ ACB=90°$，$AE⊥ AD$，
$\therefore ∠ D+∠ DAC=90°$，$∠ EAM+∠ DAC=90°$，
$\therefore ∠ D=∠ EAM$。
在$△ AEM$和$△ DAC$中：
$\begin{cases}∠ AME=∠ ACD=90° \\∠ EAM=∠ D \\AE=AD\end{cases}$
$\therefore △ AEM≌△ DAC(AAS)$，
$\therefore EM=AC$，$AM=DC$。
$\because △ ABC$是等腰直角三角形，$∠ ACB=90°$，
$\therefore AC=BC$，$\therefore BC=EM$。
在$△ BPC$和$△ EPM$中：
$\begin{cases}∠ BCP=∠ EMP=90° \\∠ BPC=∠ EPM \\BC=EM\end{cases}$
$\therefore △ BPC≌△ EPM(AAS)$，
$\therefore BP=PE$。
(2)解：设$PC=x$，
$\because AC=3PC$，$\therefore AC=3x$，
$\therefore BC=AC=3x$。
由$△ BPC≌△ EPM$得$PC=PM=x$，
$\therefore AM=AC+CP+PM=3x+x+x=5x$。
由$△ AEM≌△ DAC$得$DC=AM=5x$，
$\because DC=DB+BC$，
$\therefore DB=DC-BC=5x-3x=2x$，
$\therefore \frac{DB}{BC}=\frac{2x}{3x}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1)证明:作 EM⊥AP 于M，
易证△AEM≌△DAC，
∴AC=EM=BC，
∴△BPC≌△EPM，
∴BP=PE；
(2)解:设 PC=PM=x，
AC=BC=3x，
AM=DC=5x，
∴DB=2x，
∴$\frac{DB}{BC}=\frac{2}{3}$.
【知识点】
全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、参数法求线段比
【点评】
本题是全等三角形的典型应用题型，通过作垂直辅助线构造全等三角形是解决中点类证明问题的常用技巧，第二问采用设参数的方法转化线段关系，降低了计算难度，能较好地考查学生的辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
变式.如图,在$△ ABC$中,点$M$在$BC$边上,过点$B$作直线分别交$AC$、$AM$于$E$、$F$两点,且$AE=EF$,$BF=AC$,求证:$M$为$BC$的中点.
答案
证明:过 C 作 CG//EB 交AM 的延长线于G，
易证△BFM≌△CGM，
∴BM=CM，
∴M 为 BC 的中点.
解析
【分析】
要证明M是BC的中点，本质是证BM=CM，可通过证明BM、CM所在的三角形全等求解。首先考虑构造全等三角形，过点C作CG//EB交AM延长线于G，此时△BFM和△CGM存在对顶角相等、平行线带来的内错角相等，只需再证一组对应边相等即可。结合已知AE=EF可得∠EAF=∠EFA，再通过对顶角、平行线的角的传递关系可推出AC=CG，结合已知BF=AC即可得BF=CG，满足全等判定条件，即可证得两三角形全等，得到BM=CM。
【解析】
证明：过C作CG//EB，交AM的延长线于点G。
∵AE=EF，
∴∠EAF=∠EFA（等腰三角形两底角相等）。
∵∠EFA与∠BFM是对顶角，
∴∠EFA=∠BFM。
∵CG//EB，
∴∠BFM=∠G（两直线平行，内错角相等）。
∴∠EAF=∠G，
∴AC=CG（等角对等边）。
又已知BF=AC，
∴BF=CG。
在△BFM和△CGM中：
$\begin{cases}∠BFM=∠G \\∠BMF=∠CMG \\BF=CG\end{cases}$
∴△BFM≌△CGM（AAS），
∴BM=CM，即M为BC的中点。
【答案】
证明:过 C 作 CG//EB 交AM 的延长线于G，
易证△BFM≌△CGM，
∴BM=CM，
∴M 为 BC 的中点.
【知识点】
全等三角形判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质
【点评】
本题是中点证明的典型题型，核心思路是通过作平行线构造全等三角形，将已知的线段相等条件进行转化，这类构造辅助线的方法是全等三角形章节的常用技巧，熟练掌握后可快速解决同类中点证明问题。
【难度系数】
0.6
要证明M是BC的中点，本质是证BM=CM，可通过证明BM、CM所在的三角形全等求解。首先考虑构造全等三角形，过点C作CG//EB交AM延长线于G，此时△BFM和△CGM存在对顶角相等、平行线带来的内错角相等，只需再证一组对应边相等即可。结合已知AE=EF可得∠EAF=∠EFA，再通过对顶角、平行线的角的传递关系可推出AC=CG，结合已知BF=AC即可得BF=CG，满足全等判定条件，即可证得两三角形全等，得到BM=CM。
【解析】
证明：过C作CG//EB，交AM的延长线于点G。
∵AE=EF，
∴∠EAF=∠EFA（等腰三角形两底角相等）。
∵∠EFA与∠BFM是对顶角，
∴∠EFA=∠BFM。
∵CG//EB，
∴∠BFM=∠G（两直线平行，内错角相等）。
∴∠EAF=∠G，
∴AC=CG（等角对等边）。
又已知BF=AC，
∴BF=CG。
在△BFM和△CGM中：
$\begin{cases}∠BFM=∠G \\∠BMF=∠CMG \\BF=CG\end{cases}$
∴△BFM≌△CGM（AAS），
∴BM=CM，即M为BC的中点。
【答案】
证明:过 C 作 CG//EB 交AM 的延长线于G，
易证△BFM≌△CGM，
∴BM=CM，
∴M 为 BC 的中点.
【知识点】
全等三角形判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质
【点评】
本题是中点证明的典型题型，核心思路是通过作平行线构造全等三角形，将已知的线段相等条件进行转化，这类构造辅助线的方法是全等三角形章节的常用技巧，熟练掌握后可快速解决同类中点证明问题。
【难度系数】
0.6
【典例3】如图，$△ ABC$为等边三角形，$EC=ED$，$∠ CED=120°$，$P$为$BD$的中点。求证：$AE=2PE$。
答案
证明:延长 EP 至 F,使 FP=EP，
连 BF,证△FBP≌△EDP,BF=DE=CE，
连 AF,AP，
设∠BCE=x,∠D=∠FBP=y，
∴∠CBD=240°-x-y，
∴∠CBF=240°-x，
∴∠ABF=360°-(240°-x)-60°=60°+x=∠ACE，
∴△ABF≌△ACE，
∴△AEF 为等边三角形，
∴EF=2PE=AE.
解析
【分析】
本题出现中点P，遇到中点相关的几何证明题，优先考虑“倍长中线”的辅助线作法，通过构造全等三角形实现边、角的转化。首先倍长EP得到FP=EP，先证明△FBP和△EDP全等，将DE转化为BF，结合已知EC=ED得到BF=CE；再通过角度推导证明∠ABF=∠ACE，进而证明△ABF和△ACE全等，推出AF=AE且∠FAE=60°，即可得到△AEF是等边三角形，最后结合EF=2PE即可证得结论。
【解析】
证明：延长EP至F，使FP=EP，连接BF。
∵P是BD的中点，
∴BP=DP。
在$△ FBP$和$△ EDP$中：
$\begin{cases} BP=DP \\ ∠ BPF=∠ DPE \\ FP=EP \end{cases}$
∴$△ FBP ≌ △ EDP$（SAS），
∴BF=DE，$∠ FBP=∠ D$。
∵$EC=ED$，
∴BF=CE。
设$∠ BCE=x$，$∠ D=∠ FBP=y$，
∴$∠ CBD=240° -x -y$，
∴$∠ CBF=∠ CBD + ∠ FBP=240° -x -y + y=240° -x$。
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴AB=AC，$∠ ABC=∠ ACB=60°$，
∴$∠ ABF=360° - ∠ ABC - ∠ CBF=360° -60° -(240° -x)=60° +x$，
又
∵$∠ ACE=∠ ACB + ∠ BCE=60° +x$，
∴$∠ ABF=∠ ACE$。
在$△ ABF$和$△ ACE$中：
$\begin{cases} AB=AC \\ ∠ ABF=∠ ACE \\ BF=CE \end{cases}$
∴$△ ABF ≌ △ ACE$（SAS），
∴AF=AE，$∠ BAF=∠ CAE$，
∴$∠ FAE=∠ BAC=60°$，
∴$△ AEF$是等边三角形，
∴EF=AE。
∵EF=FP+PE=2PE，
∴AE=2PE。
【答案】
证明:延长 EP 至 F,使 FP=EP，
连 BF,证△FBP≌△EDP,BF=DE=CE，
连 AF,AP，
设∠BCE=x,∠D=∠FBP=y，
∴∠CBD=240°-x-y，
∴∠CBF=240°-x，
∴∠ABF=360°-(240°-x)-60°=60°+x=∠ACE，
∴△ABF≌△ACE，
∴△AEF 为等边三角形，
∴EF=2PE=AE.
【知识点】
倍长中线构造全等；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是典型的中点类几何综合题，核心解题思路是利用中点特征，通过倍长线段构造全等三角形转化边角，再结合等边三角形的性质推导结论，熟练掌握中点类辅助线的作法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
本题出现中点P，遇到中点相关的几何证明题，优先考虑“倍长中线”的辅助线作法，通过构造全等三角形实现边、角的转化。首先倍长EP得到FP=EP，先证明△FBP和△EDP全等，将DE转化为BF，结合已知EC=ED得到BF=CE；再通过角度推导证明∠ABF=∠ACE，进而证明△ABF和△ACE全等，推出AF=AE且∠FAE=60°，即可得到△AEF是等边三角形，最后结合EF=2PE即可证得结论。
【解析】
证明：延长EP至F，使FP=EP，连接BF。
∵P是BD的中点，
∴BP=DP。
在$△ FBP$和$△ EDP$中：
$\begin{cases} BP=DP \\ ∠ BPF=∠ DPE \\ FP=EP \end{cases}$
∴$△ FBP ≌ △ EDP$（SAS），
∴BF=DE，$∠ FBP=∠ D$。
∵$EC=ED$，
∴BF=CE。
设$∠ BCE=x$，$∠ D=∠ FBP=y$，
∴$∠ CBD=240° -x -y$，
∴$∠ CBF=∠ CBD + ∠ FBP=240° -x -y + y=240° -x$。
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴AB=AC，$∠ ABC=∠ ACB=60°$，
∴$∠ ABF=360° - ∠ ABC - ∠ CBF=360° -60° -(240° -x)=60° +x$，
又
∵$∠ ACE=∠ ACB + ∠ BCE=60° +x$，
∴$∠ ABF=∠ ACE$。
在$△ ABF$和$△ ACE$中：
$\begin{cases} AB=AC \\ ∠ ABF=∠ ACE \\ BF=CE \end{cases}$
∴$△ ABF ≌ △ ACE$（SAS），
∴AF=AE，$∠ BAF=∠ CAE$，
∴$∠ FAE=∠ BAC=60°$，
∴$△ AEF$是等边三角形，
∴EF=AE。
∵EF=FP+PE=2PE，
∴AE=2PE。
【答案】
证明:延长 EP 至 F,使 FP=EP，
连 BF,证△FBP≌△EDP,BF=DE=CE，
连 AF,AP，
设∠BCE=x,∠D=∠FBP=y，
∴∠CBD=240°-x-y，
∴∠CBF=240°-x，
∴∠ABF=360°-(240°-x)-60°=60°+x=∠ACE，
∴△ABF≌△ACE，
∴△AEF 为等边三角形，
∴EF=2PE=AE.
【知识点】
倍长中线构造全等；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是典型的中点类几何综合题，核心解题思路是利用中点特征，通过倍长线段构造全等三角形转化边角，再结合等边三角形的性质推导结论，熟练掌握中点类辅助线的作法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
