6.用代入消元法解方程组$\begin{cases}y=2x-3①, \\ 3x+2y=8②\end{cases}$时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（ ）

A.$3x+4x-3=8$
B.$3x+4x-6=8$
C.$3x-2x-3=0$
D.$3x+2x-6=8$

B

【分析】
本题考查代入消元法的基础应用，解题思路如下：首先明确代入消元法的核心是将一个方程中用含一个未知数的代数式表示的另一个未知数，替换到第二个方程中，实现消元。本题已经通过方程①直接给出了y关于x的表达式，只需将方程②中的y替换为①里的$2x-3$，再按照去括号法则展开即可，注意去括号时括号前的系数要乘括号内的每一项，避免漏乘常数项。
【解析】
将方程①$y=2x-3$代入方程②$3x+2y=8$中，把②中的$y$替换为$2x-3$，可得：
$3x + 2(2x - 3) = 8$
根据去括号法则计算，用2分别乘括号内的两项：$2×2x=4x$，$2×(-3)=-6$，展开后得到：
$3x + 4x - 6 = 8$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
代入消元法，去括号法则
【点评】
本题是代入消元法的基础应用题型，易错点为去括号时漏乘括号内的常数项，解题时要注意括号前的系数需与括号内每一项分别相乘。
【难度系数】
0.8

7. 如图所示为两个形状、大小完全相同的小长方形拼接而成的图形.已知$AB=5$，$CD=3$，则此图形的面积为 （）


A.6
B.8
C.10
D.12

B

【分析】
本题是全等小长方形拼接的图形计算问题，解题时可先设小长方形的长和宽为未知数，通过观察图形找到边长的等量关系：①AB的长度等于小长方形长与宽的和；②CD的长度等于小长方形长与宽的差，据此列方程组求出长和宽，再计算两个小长方形的总面积即可。
【解析】
设小长方形的长为$x$，宽为$y$，根据图形边长关系可列方程组：
$\begin{cases}x + y = 5 \\x - y = 3\end{cases}$
将两个方程相加得：$2x=8$，解得$x=4$。
把$x=4$代入$x+y=5$，得$4+y=5$，解得$y=1$。
单个小长方形的面积为$x× y=4×1=4$，两个小长方形的总面积为$2×4=8$。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的应用；长方形面积计算
【点评】
本题解题核心是通过观察拼接图形的边长特征，挖掘出长和宽的和差等量关系，结合方程思想求解未知量，属于几何与代数结合的基础题型，熟练掌握方程思想在几何计算中的应用是解题关键。
【难度系数】
0.7

8.班级进行朗诵比赛，老师决定用100元购买A，B两种笔记本（两种笔记本都买）作为奖品发给学生，其中A种笔记本每本8元，B种笔记本每本12元，在钱用尽的前提下，可供老师选择的购买方案有 （）

A.4种
B.5种
C.6种
D.7种

A

【分析】
这是一道方案选择类的应用题，解题时我们可以先设两种笔记本的购买数量为未知数，根据总花费刚好100元列出二元一次方程；由于笔记本的购买数量是正整数，且两种都买，因此只需要找出该方程符合要求的正整数解的个数，就是可供选择的购买方案数。
【解析】
设购买A种笔记本x本，B种笔记本y本，其中x、y均为正整数（两种都买，故x≥1，y≥1）。
根据总费用为100元，可列方程：
$8x + 12y = 100$
化简方程，两边同时除以4得：
$2x + 3y = 25$
变形用y表示x：
$x = \frac{25 - 3y}{2}$
因为x为正整数，所以$25 - 3y$必须是正偶数：
1. 先判断奇偶性：25是奇数，因此3y必须是奇数，可得y为奇数；
2. 再判断取值范围：$25 - 3y ＞ 0$，即$y ＜ \frac{25}{3} \approx 8.3$，结合y是正奇数，可得y的可能取值为1、3、5、7：
当y=1时，$x=\frac{25-3×1}{2}=11$，符合要求；
当y=3时，$x=\frac{25-3×3}{2}=8$，符合要求；
当y=5时，$x=\frac{25-3×5}{2}=5$，符合要求；
当y=7时，$x=\frac{25-3×7}{2}=2$，符合要求；
y取更大的奇数时，3y＞25，x为负数，不符合要求。
因此共有4组符合条件的正整数解，即4种购买方案。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程应用，正整数解求解
【点评】
本题属于常见的实际方案设计类问题，解题核心是结合实际意义对二元一次方程的解进行筛选，要注意题目中“两种笔记本都买”的限制条件，避免多算不符合要求的解。
【难度系数】
0.7

9.若方程组$\begin{cases}2a - 3b =13, \\3a +5b=30.9\end{cases}$的解是$\begin{cases}a=8.3, \\b=1.2,\end{cases}$则方程组$\begin{cases}2(x+2)-3(y-1)=13, \\3(x+2)+5(y-1)=30.9\end{cases}$的解是（ ）

A.$\begin{cases}x=8.3, \\y=1.2\end{cases}$
B.$\begin{cases}x=10.3, \\y=1.2\end{cases}$
C.$\begin{cases}x=6.3, \\y=2.2\end{cases}$
D.$\begin{cases}x=10.3, \\y=0.2\end{cases}$

C

【分析】
观察两个方程组的结构可以发现，第二个方程组中x+2的位置对应第一个方程组的a，y-1的位置对应第一个方程组的b，两个方程组的形式完全相同。因此我们可以用整体代换的思路，把x+2看作a，y-1看作b，直接套用已知的第一个方程组的解，再解两个简单的一元一次方程即可得到所求方程组的解，不需要重新解复杂的二元一次方程组。
【解析】
对比两个方程组的形式，令$a = x+2$，$b = y-1$，则第二个方程组可转化为：
$\begin{cases}2a - 3b =13 \\3a +5b=30.9\end{cases}$
已知该方程组的解为$\begin{cases}a=8.3 \\b=1.2\end{cases}$，因此可得：
$x+2 = 8.3$，解得$x = 8.3 - 2 = 6.3$
$y-1 = 1.2$，解得$y = 1.2 + 1 = 2.2$
所以所求方程组的解为$\begin{cases}x=6.3 \\y=2.2\end{cases}$
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的解，整体代换思想，解一元一次方程
【点评】
本题考查了二元一次方程组解的应用，核心是通过观察方程组的结构特征，运用整体代换的方法简化计算，避免了展开求解二元一次方程组的繁琐步骤，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.75

10. 被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作.《九章算术》中记载:今有五雀、六燕,集称之衡,雀俱重、燕俱轻.一雀一燕交而处,衡适平.并燕、雀重一斤.问燕、雀一枚各重几何? 译文:今有5只雀、6只燕,分别聚集而且用衡器称之,聚在一起的雀重、燕轻.将一只雀和一只燕交换位置而放,重量相等.5只雀、6只燕重量共为1斤.问雀、燕各重多少斤? 设每只雀重x
斤,每只燕重y斤,可列方程组为 （）

A.$\begin{cases}5x + y = 6y + x, \\5x - 6y = 1\end{cases}$
B.$\begin{cases}4x + y = 5y + x, \\5x - 6y = 1\end{cases}$
C.$\begin{cases}5x + y = 6y + x, \\5x + 6y = 1\end{cases}$
D.$\begin{cases}4x + y = 5y + x, \\5x + 6y = 1\end{cases}$

D

【分析】
要解决这道列方程组的题目，我们需要先从题干中找到两个核心等量关系，再分别将等量关系转化为方程即可：①首先分析“一只雀、一只燕交换位置后重量相等”的条件：交换后，原来放雀的一侧变成4只雀+1只燕，原来放燕的一侧变成5只燕+1只雀，两侧重量相等；②第二个等量关系是“5只雀、6只燕总重量为1斤”，直接将两者重量相加等于1即可。最后对照选项选出符合的方程组。
【解析】
第一步：根据“1只雀和1只燕交换位置后重量相等”列方程：
交换后，雀侧重量为4只雀的重量加1只燕的重量，即$4x+y$；
燕侧重量为5只燕的重量加1只雀的重量，即$5y+x$；
两侧重量相等，可得方程：$4x+y=5y+x$。
第二步：根据“5只雀、6只燕总重1斤”列方程：
总重量为5只雀的重量加6只燕的重量，可得方程：$5x+6y=1$。
联立两个方程，得到的方程组与选项D一致。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的应用；根据题意列方程
【点评】
本题结合中国古代数学经典著作的内容设置问题，在考查学生提取题干等量关系、列二元一次方程组能力的同时，也能让学生感受到我国古代数学的发展成就。解题的关键是准确理解交换雀燕后的数量变化，避免弄错两侧的雀、燕数量导致列错方程。
【难度系数】
0.8