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11. 方程$(a+1)x^{|a|} - 3y =5$是关于$x,y$的二元一次方程，则$a=$。
答案
解：
根据二元一次方程的定义，可得
$\begin{cases}|a|=1 \\a+1≠ 0\end{cases}$
由$|a|=1$，得$a=\pm1$，
由$a+1≠0$，得$a≠-1$，
综上，$a=1$。
根据二元一次方程的定义，可得
$\begin{cases}|a|=1 \\a+1≠ 0\end{cases}$
由$|a|=1$，得$a=\pm1$，
由$a+1≠0$，得$a≠-1$，
综上，$a=1$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确二元一次方程的核心要求：一是含有2个不同的未知数，二是所有含未知数的项的次数都为1，三是未知数的系数不能为0。本题中方程已经有x、y两个未知数，y的次数为1且系数不为0，因此只需要保证x的次数为1，同时x的系数不为0，按照这两个条件列要求求解即可。
【解析】
根据二元一次方程的定义，可列出条件：
$\begin{cases}|a|=1 \\a+1≠ 0\end{cases}$
1. 求解$|a|=1$：根据绝对值的性质，可得$a=\pm1$；
2. 求解$a+1≠0$：移项可得$a≠-1$；
结合两个条件，排除$a=-1$的情况，最终可得$a=1$。
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程的定义、绝对值的性质、不等式求解
【点评】
本题是二元一次方程定义的基础应用题型，易错点是容易忽略未知数系数不为0的隐含约束，直接根据次数要求得到$a=\pm1$，解题时要注意全面覆盖定义的所有限制条件。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确二元一次方程的核心要求：一是含有2个不同的未知数，二是所有含未知数的项的次数都为1，三是未知数的系数不能为0。本题中方程已经有x、y两个未知数，y的次数为1且系数不为0，因此只需要保证x的次数为1，同时x的系数不为0，按照这两个条件列要求求解即可。
【解析】
根据二元一次方程的定义，可列出条件：
$\begin{cases}|a|=1 \\a+1≠ 0\end{cases}$
1. 求解$|a|=1$：根据绝对值的性质，可得$a=\pm1$；
2. 求解$a+1≠0$：移项可得$a≠-1$；
结合两个条件，排除$a=-1$的情况，最终可得$a=1$。
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程的定义、绝对值的性质、不等式求解
【点评】
本题是二元一次方程定义的基础应用题型，易错点是容易忽略未知数系数不为0的隐含约束，直接根据次数要求得到$a=\pm1$，解题时要注意全面覆盖定义的所有限制条件。
【难度系数】
0.7
12.已知$\begin{cases}x=2, \\ y=-1\end{cases}$是二元一次方程$2ax - y = 9$的解，则$a$的值为 ______ 。
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
解决这道题的核心是掌握二元一次方程解的定义：能让二元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。我们只需把已知的x、y的值代入原方程，就能得到只含未知数a的一元一次方程，再解这个一元一次方程即可求出a的数值，代入时要注意负数的符号处理，避免计算出错。
【解析】
∵ $\begin{cases}x=2, \\ y=-1\end{cases}$是二元一次方程$2ax - y = 9$的解
∴ 将$x=2$，$y=-1$代入方程$2ax - y = 9$，可得：
$2a×2 - (-1) = 9$
化简得：$4a + 1 = 9$
移项计算：$4a = 9 - 1$，即$4a = 8$
系数化为1得：$a = 2$
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
1.二元一次方程的解的定义 2.解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查方程解的应用，解题关键是明确方程的解一定满足原方程，代入计算时注意负号的运算即可。
【难度系数】
0.9
解决这道题的核心是掌握二元一次方程解的定义：能让二元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。我们只需把已知的x、y的值代入原方程，就能得到只含未知数a的一元一次方程，再解这个一元一次方程即可求出a的数值，代入时要注意负数的符号处理，避免计算出错。
【解析】
∵ $\begin{cases}x=2, \\ y=-1\end{cases}$是二元一次方程$2ax - y = 9$的解
∴ 将$x=2$，$y=-1$代入方程$2ax - y = 9$，可得：
$2a×2 - (-1) = 9$
化简得：$4a + 1 = 9$
移项计算：$4a = 9 - 1$，即$4a = 8$
系数化为1得：$a = 2$
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
1.二元一次方程的解的定义 2.解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查方程解的应用，解题关键是明确方程的解一定满足原方程，代入计算时注意负号的运算即可。
【难度系数】
0.9
13.已知关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x+3y=k, \\x+2y=1\end{cases}$的解互为相反数，则$k$的值是 ______ 。
答案
$\boldsymbol{1}$
解析
【分析】
解题时首先提取题目关键信息：①x、y是给定二元一次方程组的解，满足方程组的两个方程；②方程组的解互为相反数，即x=-y（或x+y=0）。我们可以先利用“解互为相反数”的条件，将x用-y替换，代入不含参数k的第二个方程，先求出y的值，再得到x的值，最后将x、y的值代入含k的第一个方程，即可求出k的值。
【解析】
∵ 关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数
∴ x = -y
把x = -y代入方程x + 2y = 1，得：
-y + 2y = 1
解得 y = 1
∴ x = -y = -1
把x=-1，y=1代入方程2x + 3y = k，得：
2×(-1) + 3×1 = k
计算得 k = 1
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程组的解，相反数的性质，代入消元法
【点评】
本题是二元一次方程组的基础常考题，核心考查对二元一次方程组解的概念的理解，解题的突破口是利用“解互为相反数”的条件建立x与y的数量关系，再通过代入消元逐步求解，整体计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
解题时首先提取题目关键信息：①x、y是给定二元一次方程组的解，满足方程组的两个方程；②方程组的解互为相反数，即x=-y（或x+y=0）。我们可以先利用“解互为相反数”的条件，将x用-y替换，代入不含参数k的第二个方程，先求出y的值，再得到x的值，最后将x、y的值代入含k的第一个方程，即可求出k的值。
【解析】
∵ 关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数
∴ x = -y
把x = -y代入方程x + 2y = 1，得：
-y + 2y = 1
解得 y = 1
∴ x = -y = -1
把x=-1，y=1代入方程2x + 3y = k，得：
2×(-1) + 3×1 = k
计算得 k = 1
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程组的解，相反数的性质，代入消元法
【点评】
本题是二元一次方程组的基础常考题，核心考查对二元一次方程组解的概念的理解，解题的突破口是利用“解互为相反数”的条件建立x与y的数量关系，再通过代入消元逐步求解，整体计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
14.一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为13，若把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的2倍小4，则原来的两位数为。
答案
解：设原来的两位数的十位数字为$x$，个位数字为$y$。
根据题意，得：
$\begin{cases}x + y = 13 \\10y + x = 2(10x + y) - 4\end{cases}$
整理第二个方程得：$19x - 8y = 4$
由$x + y = 13$得$y = 13 - x$，将其代入$19x - 8y = 4$：
$19x - 8(13 - x) = 4$
$19x - 104 + 8x = 4$
$27x = 108$
解得$x=4$
把$x=4$代入$y = 13 - x$，得$y=9$
则原来的两位数为$10×4 + 9 = 49$。
答：原来的两位数为49。
根据题意，得：
$\begin{cases}x + y = 13 \\10y + x = 2(10x + y) - 4\end{cases}$
整理第二个方程得：$19x - 8y = 4$
由$x + y = 13$得$y = 13 - x$，将其代入$19x - 8y = 4$：
$19x - 8(13 - x) = 4$
$19x - 104 + 8x = 4$
$27x = 108$
解得$x=4$
把$x=4$代入$y = 13 - x$，得$y=9$
则原来的两位数为$10×4 + 9 = 49$。
答：原来的两位数为49。
解析
【分析】
这是一道数字类方程应用题，解题首先要明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字。我们可以设十位数字、个位数字为两个未知数，从题干提取两个等量关系：①个位数字+十位数字=13；②数字对调后得到的新数=原数×2-4，据此列出二元一次方程组，再用代入消元法求解未知数，最后还原得到原两位数即可。
【解析】
解：设原来的两位数的十位数字为$x$，个位数字为$y$。
根据题意，得：
$\begin{cases}x + y = 13 \\10y + x = 2(10x + y) - 4\end{cases}$
整理第二个方程得：$19x - 8y = 4$
由$x + y = 13$得$y = 13 - x$，将其代入$19x - 8y = 4$：
$19x - 8(13 - x) = 4$
$19x - 104 + 8x = 4$
$27x = 108$
解得$x=4$
把$x=4$代入$y = 13 - x$，得$y=9$
则原来的两位数为$10×4 + 9 = 49$。
【答案】
49
【知识点】
二元一次方程组应用；两位数的表示；代入消元法
【点评】
本题是典型的数字类方程应用题，解题核心是正确掌握多位数的表示方法，准确提取题干中的等量关系列方程求解，计算时注意去括号的符号规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
这是一道数字类方程应用题，解题首先要明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字。我们可以设十位数字、个位数字为两个未知数，从题干提取两个等量关系：①个位数字+十位数字=13；②数字对调后得到的新数=原数×2-4，据此列出二元一次方程组，再用代入消元法求解未知数，最后还原得到原两位数即可。
【解析】
解：设原来的两位数的十位数字为$x$，个位数字为$y$。
根据题意，得：
$\begin{cases}x + y = 13 \\10y + x = 2(10x + y) - 4\end{cases}$
整理第二个方程得：$19x - 8y = 4$
由$x + y = 13$得$y = 13 - x$，将其代入$19x - 8y = 4$：
$19x - 8(13 - x) = 4$
$19x - 104 + 8x = 4$
$27x = 108$
解得$x=4$
把$x=4$代入$y = 13 - x$，得$y=9$
则原来的两位数为$10×4 + 9 = 49$。
【答案】
49
【知识点】
二元一次方程组应用；两位数的表示；代入消元法
【点评】
本题是典型的数字类方程应用题，解题核心是正确掌握多位数的表示方法，准确提取题干中的等量关系列方程求解，计算时注意去括号的符号规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
15. 如果$-2x^{m-1}y^{4}$与$5x^{n}y^{m-2n}$是同类项，则$m+n$的值为。
答案
$\boldsymbol{-5}$
解析
【分析】
要解决本题，首先需回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的单项式叫做同类项。根据这一定义，两个单项式中x的指数相等、y的指数相等，即可得到关于m、n的二元一次方程组，解方程组求出m、n的值，最后代入计算m+n即可。
【解析】
解：
∵ $-2x^{m-1}y^{4}$与$5x^{n}y^{m-2n}$是同类项
∴ 根据同类项的定义可得：
$\begin{cases}m - 1 = n \quad ① \\m - 2n = 4 \quad ②\end{cases}$
将①代入②得：$m - 2(m - 1) = 4$
去括号得：$m - 2m + 2 = 4$
合并同类项得：$-m + 2 = 4$
移项计算得：$m = -2$
把$m=-2$代入①得：$n = -2 - 1 = -3$
∴ $m + n = -2 + (-3) = -5$
【答案】
$\boldsymbol{-5}$
【知识点】
同类项的定义；代入消元法解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题是同类项定义的基础应用题型，解题的关键是抓住同类项中相同字母指数相等的特征列方程，计算时要注意符号，避免出现移项、代入计算的错误。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的单项式叫做同类项。根据这一定义，两个单项式中x的指数相等、y的指数相等，即可得到关于m、n的二元一次方程组，解方程组求出m、n的值，最后代入计算m+n即可。
【解析】
解：
∵ $-2x^{m-1}y^{4}$与$5x^{n}y^{m-2n}$是同类项
∴ 根据同类项的定义可得：
$\begin{cases}m - 1 = n \quad ① \\m - 2n = 4 \quad ②\end{cases}$
将①代入②得：$m - 2(m - 1) = 4$
去括号得：$m - 2m + 2 = 4$
合并同类项得：$-m + 2 = 4$
移项计算得：$m = -2$
把$m=-2$代入①得：$n = -2 - 1 = -3$
∴ $m + n = -2 + (-3) = -5$
【答案】
$\boldsymbol{-5}$
【知识点】
同类项的定义；代入消元法解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题是同类项定义的基础应用题型，解题的关键是抓住同类项中相同字母指数相等的特征列方程，计算时要注意符号，避免出现移项、代入计算的错误。
【难度系数】
0.8
16. 在平面直角坐标系中，5个大小、形状完全相同的长方形纸片摆成如图所示的图案，已知点B(-10,7)，则点A的坐标是。
答案
解：设小长方形的长为$x$，宽为$y$，根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x = 10 \\x + y = 7\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}x = 5 \\y = 2\end{cases}$
因此点$A$的横坐标为$-(x-y) = -(5-2) = -3$，点$A$的纵坐标为$x + 2y = 5 + 2×2 = 9$。
则点$A$的坐标是$\boldsymbol{(-3,9)}$。
$\begin{cases}2x = 10 \\x + y = 7\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}x = 5 \\y = 2\end{cases}$
因此点$A$的横坐标为$-(x-y) = -(5-2) = -3$，点$A$的纵坐标为$x + 2y = 5 + 2×2 = 9$。
则点$A$的坐标是$\boldsymbol{(-3,9)}$。
解析
【分析】
要解决本题，需先求出小长方形的长和宽。首先观察图形，结合点B的坐标找等量关系：点B横坐标为-10，说明水平方向2个小长方形的长之和为10；点B纵坐标为7，说明竖直方向1个小长方形的长加1个宽的和为7。我们可以设未知数列出二元一次方程组，求出长和宽后，再根据点A的位置分别计算它的横、纵坐标即可。
【解析】
设小长方形的长为$x$，宽为$y$，根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x = 10 \\x + y = 7\end{cases}$
解方程组：
由$2x=10$可得$x=5$，将$x=5$代入$x+y=7$，得$5+y=7$，解得$y=2$，即$\begin{cases}x = 5 \\y = 2\end{cases}$。
计算点A的坐标：
横坐标：点A在x轴负方向，距离原点的水平长度为$x-y$，因此横坐标为$-(x-y)=-(5-2)=-3$；
纵坐标：点A距离x轴的竖直长度为$x+2y$，因此纵坐标为$5+2×2=9$。
【答案】
$\boldsymbol{(-3,9)}$
【知识点】
二元一次方程组应用；平面直角坐标系坐标；长方形的性质
【点评】
本题结合了几何图形与平面直角坐标系的知识，解题核心是通过点的坐标挖掘图形的边长等量关系，求出小长方形的长宽后即可推导所求点的坐标，考查了数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需先求出小长方形的长和宽。首先观察图形，结合点B的坐标找等量关系：点B横坐标为-10，说明水平方向2个小长方形的长之和为10；点B纵坐标为7，说明竖直方向1个小长方形的长加1个宽的和为7。我们可以设未知数列出二元一次方程组，求出长和宽后，再根据点A的位置分别计算它的横、纵坐标即可。
【解析】
设小长方形的长为$x$，宽为$y$，根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x = 10 \\x + y = 7\end{cases}$
解方程组：
由$2x=10$可得$x=5$，将$x=5$代入$x+y=7$，得$5+y=7$，解得$y=2$，即$\begin{cases}x = 5 \\y = 2\end{cases}$。
计算点A的坐标：
横坐标：点A在x轴负方向，距离原点的水平长度为$x-y$，因此横坐标为$-(x-y)=-(5-2)=-3$；
纵坐标：点A距离x轴的竖直长度为$x+2y$，因此纵坐标为$5+2×2=9$。
【答案】
$\boldsymbol{(-3,9)}$
【知识点】
二元一次方程组应用；平面直角坐标系坐标；长方形的性质
【点评】
本题结合了几何图形与平面直角坐标系的知识，解题核心是通过点的坐标挖掘图形的边长等量关系，求出小长方形的长宽后即可推导所求点的坐标，考查了数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
17.某中学组织若干名学生组成冰雪节志愿者小组，负责冰雕展区物资管理.若小组中每人分配4件工具，则剩余10件；若前面每人分配6件工具，则最后一人分到了工具但不足4件.这批工具共有件.
答案
解：设志愿者小组共有$x$名学生，则这批工具共有$(4x+10)$件。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}4x + 10 - 6(x - 1) ＞ 0 \\4x + 10 - 6(x - 1) ＜ 4\end{cases}$
解第一个不等式：
$4x+10-6x+6＞0$
$-2x ＞ -16$
$x ＜ 8$
解第二个不等式：
$4x+10-6x+6＜4$
$-2x ＜ -12$
$x ＞ 6$
$\because x$为正整数，$\therefore x=7$。
则工具总数为$4×7+10=38$件。
答：这批工具共有38件。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}4x + 10 - 6(x - 1) ＞ 0 \\4x + 10 - 6(x - 1) ＜ 4\end{cases}$
解第一个不等式：
$4x+10-6x+6＞0$
$-2x ＞ -16$
$x ＜ 8$
解第二个不等式：
$4x+10-6x+6＜4$
$-2x ＜ -12$
$x ＞ 6$
$\because x$为正整数，$\therefore x=7$。
则工具总数为$4×7+10=38$件。
答：这批工具共有38件。
解析
【分析】
这是一道一元一次不等式组的实际应用题，解题思路如下：第一步，设志愿者人数为未知数$x$，根据第一种分配方案用含$x$的代数式表示出工具总数量；第二步，分析第二种分配方案的不等关系：最后一人分到的工具数=总工具数-前面$(x-1)$人分得的工具数，这个数满足“大于0（分到了工具）、小于4（不足4件）”，据此列出不等式组；第三步，解不等式组得到$x$的取值范围，结合$x$是正整数的隐含条件确定$x$的取值；第四步，将$x$代入工具总数的代数式求出结果即可。
【解析】
解：设志愿者小组共有$x$名学生，则这批工具共有$(4x+10)$件。
根据题意，最后一人分得的工具数满足以下不等关系，列不等式组：
$\begin{cases}4x + 10 - 6(x - 1) ＞ 0 \\4x + 10 - 6(x - 1) ＜ 4\end{cases}$
解第一个不等式：
$4x+10-6x+6＞0$
$-2x ＞ -16$
$x ＜ 8$
解第二个不等式：
$4x+10-6x+6＜4$
$-2x ＜ -12$
$x ＞ 6$
所以不等式组的解集为$6＜x＜8$，
$\because x$为正整数，$\therefore x=7$。
则工具总数为$4×7+10=38$（件）。
【答案】
38
【知识点】
一元一次不等式组应用，不等式组求解，实际问题正整数解
【点评】
本题属于不等式组的实际应用类题型，解题的核心是准确抓住题干中的不等关系建立不等式组，同时要注意人数、物品数量为正整数这一隐含约束条件，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.6
这是一道一元一次不等式组的实际应用题，解题思路如下：第一步，设志愿者人数为未知数$x$，根据第一种分配方案用含$x$的代数式表示出工具总数量；第二步，分析第二种分配方案的不等关系：最后一人分到的工具数=总工具数-前面$(x-1)$人分得的工具数，这个数满足“大于0（分到了工具）、小于4（不足4件）”，据此列出不等式组；第三步，解不等式组得到$x$的取值范围，结合$x$是正整数的隐含条件确定$x$的取值；第四步，将$x$代入工具总数的代数式求出结果即可。
【解析】
解：设志愿者小组共有$x$名学生，则这批工具共有$(4x+10)$件。
根据题意，最后一人分得的工具数满足以下不等关系，列不等式组：
$\begin{cases}4x + 10 - 6(x - 1) ＞ 0 \\4x + 10 - 6(x - 1) ＜ 4\end{cases}$
解第一个不等式：
$4x+10-6x+6＞0$
$-2x ＞ -16$
$x ＜ 8$
解第二个不等式：
$4x+10-6x+6＜4$
$-2x ＜ -12$
$x ＞ 6$
所以不等式组的解集为$6＜x＜8$，
$\because x$为正整数，$\therefore x=7$。
则工具总数为$4×7+10=38$（件）。
【答案】
38
【知识点】
一元一次不等式组应用，不等式组求解，实际问题正整数解
【点评】
本题属于不等式组的实际应用类题型，解题的核心是准确抓住题干中的不等关系建立不等式组，同时要注意人数、物品数量为正整数这一隐含约束条件，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.6
18.已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x+3y=4-a,\\x-y=3a\end{cases}$有下列结论:①当这个方程组的解$x,y$的值互为相反数时，$a=-2$；②当$a=1$时，方程组的解也是方程$x+y=4+2a$的解；③无论$a$取什么实数，$x+2y$的值始终不变；④若用含$x$的式子表示$y$，则$y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{3}{2}$。其中正确的有 ______ (填序号)。
答案
解：
解原方程组$\begin{cases}x+3y=4-a \quad \mathrm{(1)} \\ x-y=3a \quad \mathrm{(2)}\end{cases}$
①$-$②，得$4y=4-4a$，解得$y=1-a$。
将$y=1-a$代入②，得$x-(1-a)=3a$，解得$x=2a+1$。
验证结论①：
若$x,y$互为相反数，则$x+y=0$，代入$x=2a+1$，$y=1-a$，得：
$(2a+1)+(1-a)=0$，即$a+2=0$，解得$a=-2$，故①正确。
验证结论②：
当$a=1$时，$x=2×1+1=3$，$y=1-1=0$，方程组的解为$\begin{cases}x=3 \\ y=0\end{cases}$。
将$x=3,y=0$代入$x+y=4+2a$，左边$=3+0=3$，右边$=4+2×1=6$，左边$≠$右边，该解不是方程$x+y=4+2a$的解，故②错误。
验证结论③：
将$x=2a+1$，$y=1-a$代入$x+2y$，得：
$x+2y=(2a+1)+2(1-a)=2a+1+2-2a=3$，
无论$a$取何实数，$x+2y$的值恒为3，始终不变，故③正确。
验证结论④：
由$x=2a+1$得$a=\dfrac{x-1}{2}$，将其代入$y=1-a$，得：
$y=1-\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{2-x+1}{2}=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{3}{2}$，
即用含$x$的式子表示$y$为$y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{3}{2}$，故④正确。
综上，答案为$\boldsymbol{①③④}$。
解原方程组$\begin{cases}x+3y=4-a \quad \mathrm{(1)} \\ x-y=3a \quad \mathrm{(2)}\end{cases}$
①$-$②，得$4y=4-4a$，解得$y=1-a$。
将$y=1-a$代入②，得$x-(1-a)=3a$，解得$x=2a+1$。
验证结论①：
若$x,y$互为相反数，则$x+y=0$，代入$x=2a+1$，$y=1-a$，得：
$(2a+1)+(1-a)=0$，即$a+2=0$，解得$a=-2$，故①正确。
验证结论②：
当$a=1$时，$x=2×1+1=3$，$y=1-1=0$，方程组的解为$\begin{cases}x=3 \\ y=0\end{cases}$。
将$x=3,y=0$代入$x+y=4+2a$，左边$=3+0=3$，右边$=4+2×1=6$，左边$≠$右边，该解不是方程$x+y=4+2a$的解，故②错误。
验证结论③：
将$x=2a+1$，$y=1-a$代入$x+2y$，得：
$x+2y=(2a+1)+2(1-a)=2a+1+2-2a=3$，
无论$a$取何实数，$x+2y$的值恒为3，始终不变，故③正确。
验证结论④：
由$x=2a+1$得$a=\dfrac{x-1}{2}$，将其代入$y=1-a$，得：
$y=1-\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{2-x+1}{2}=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{3}{2}$，
即用含$x$的式子表示$y$为$y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{3}{2}$，故④正确。
综上，答案为$\boldsymbol{①③④}$。
解析
【分析】
解题时首先需要用消元法解出关于x、y的二元一次方程组，得到x、y用参数a表示的表达式，再针对四个结论分别代入对应条件进行计算验证，判断每个结论是否正确即可。
【解析】
解原方程组$\begin{cases}x+3y=4-a \quad \mathrm{(1)} \\ x-y=3a \quad \mathrm{(2)}\end{cases}$
用(1)-(2)消去x，得$4y=4-4a$，解得$y=1-a$。
把$y=1-a$代入方程(2)，得$x-(1-a)=3a$，解得$x=2a+1$。
接下来逐一验证结论：
1. 验证结论①：若x、y互为相反数，则$x+y=0$，把$x=2a+1$，$y=1-a$代入得：$(2a+1)+(1-a)=0$，化简得$a+2=0$，解得$a=-2$，故①正确。
2. 验证结论②：当$a=1$时，代入x、y的表达式得$x=2×1+1=3$，$y=1-1=0$，将$x=3,y=0$代入方程$x+y=4+2a$，左边$=3+0=3$，右边$=4+2×1=6$，左边≠右边，所以该解不是方程$x+y=4+2a$的解，故②错误。
3. 验证结论③：把$x=2a+1$，$y=1-a$代入$x+2y$，得：$x+2y=(2a+1)+2(1-a)=2a+1+2-2a=3$，结果不含参数a，所以无论a取什么实数，$x+2y$的值始终为3，保持不变，故③正确。
4. 验证结论④：由$x=2a+1$变形得$a=\frac{x-1}{2}$，将其代入$y=1-a$，得$y=1-\frac{x-1}{2}=\frac{2-x+1}{2}=-\frac{x}{2}+\frac{3}{2}$，即可用含x的式子表示y为$y=-\frac{x}{2}+\frac{3}{2}$，故④正确。
【答案】
$\boldsymbol{①③④}$
【知识点】
二元一次方程组的解法，二元一次方程的解，代数式化简
【点评】
本题是二元一次方程组的综合题，需要先求出含参数的方程组的解，再结合各结论的条件代入验证，解题时注意计算的准确性，避免代入化简时出错。
【难度系数】
0.6
解题时首先需要用消元法解出关于x、y的二元一次方程组，得到x、y用参数a表示的表达式，再针对四个结论分别代入对应条件进行计算验证，判断每个结论是否正确即可。
【解析】
解原方程组$\begin{cases}x+3y=4-a \quad \mathrm{(1)} \\ x-y=3a \quad \mathrm{(2)}\end{cases}$
用(1)-(2)消去x，得$4y=4-4a$，解得$y=1-a$。
把$y=1-a$代入方程(2)，得$x-(1-a)=3a$，解得$x=2a+1$。
接下来逐一验证结论：
1. 验证结论①：若x、y互为相反数，则$x+y=0$，把$x=2a+1$，$y=1-a$代入得：$(2a+1)+(1-a)=0$，化简得$a+2=0$，解得$a=-2$，故①正确。
2. 验证结论②：当$a=1$时，代入x、y的表达式得$x=2×1+1=3$，$y=1-1=0$，将$x=3,y=0$代入方程$x+y=4+2a$，左边$=3+0=3$，右边$=4+2×1=6$，左边≠右边，所以该解不是方程$x+y=4+2a$的解，故②错误。
3. 验证结论③：把$x=2a+1$，$y=1-a$代入$x+2y$，得：$x+2y=(2a+1)+2(1-a)=2a+1+2-2a=3$，结果不含参数a，所以无论a取什么实数，$x+2y$的值始终为3，保持不变，故③正确。
4. 验证结论④：由$x=2a+1$变形得$a=\frac{x-1}{2}$，将其代入$y=1-a$，得$y=1-\frac{x-1}{2}=\frac{2-x+1}{2}=-\frac{x}{2}+\frac{3}{2}$，即可用含x的式子表示y为$y=-\frac{x}{2}+\frac{3}{2}$，故④正确。
【答案】
$\boldsymbol{①③④}$
【知识点】
二元一次方程组的解法，二元一次方程的解，代数式化简
【点评】
本题是二元一次方程组的综合题，需要先求出含参数的方程组的解，再结合各结论的条件代入验证，解题时注意计算的准确性，避免代入化简时出错。
【难度系数】
0.6
