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三、解答题
19. 解下列方程组：
(1) $\begin{cases}2x - y = 4, \\x + y = 8;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}4x - 2y = 2, \\2x + 3y = -7;\end{cases}$
(3) $\begin{cases}\dfrac{x + 2y}{3} - \dfrac{x - 2y}{5} = 16, \\\dfrac{x + 2y}{5} - \dfrac{x - 2y}{4} = 7;\end{cases}$
(4)
19. 解下列方程组：
(1) $\begin{cases}2x - y = 4, \\x + y = 8;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}4x - 2y = 2, \\2x + 3y = -7;\end{cases}$
(3) $\begin{cases}\dfrac{x + 2y}{3} - \dfrac{x - 2y}{5} = 16, \\\dfrac{x + 2y}{5} - \dfrac{x - 2y}{4} = 7;\end{cases}$
(4)
答案
解：
(1) $\begin{cases}2x - y = 4&①\\x + y = 8&②\end{cases}$
①+②，得$3x=12$，解得$x=4$。
把$x=4$代入②，得$4+y=8$，解得$y=4$。
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=4\\y=4\end{cases}$。
(2) $\begin{cases}4x - 2y = 2&①\\2x + 3y = -7&②\end{cases}$
将①两边同除以2，得$2x - y = 1$，即$2x = y + 1$ ③。
把③代入②，得$y+1 + 3y = -7$，
整理得$4y=-8$，解得$y=-2$。
把$y=-2$代入③，得$2x = -2 + 1$，解得$x=-\frac{1}{2}$。
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\y=-2\end{cases}$。
(3) $\begin{cases}\dfrac{x + 2y}{3} - \dfrac{x - 2y}{5} = 16&①\\\dfrac{x + 2y}{5} - \dfrac{x - 2y}{4} = 7&②\end{cases}$
①两边同乘15去分母，得$5(x+2y)-3(x-2y)=240$，
整理得$x + 8y = 120$ ③。
②两边同乘20去分母，得$4(x+2y)-5(x-2y)=140$，
整理得$-x + 18y = 140$ ④。
③+④，得$26y=260$，解得$y=10$。
把$y=10$代入③，得$x + 8×10 = 120$，解得$x=40$。
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=40\\y=10\end{cases}$。
(4) $\begin{cases}\dfrac{2x + 3y}{4} + \dfrac{2x - 3y}{3} = 7&①\\\dfrac{2x + 3y}{3} + \dfrac{2x - 3y}{2} = 8&②\end{cases}$
①两边同乘12去分母，得$3(2x+3y)+4(2x-3y)=84$，
整理得$14x - 3y = 84$ ③。
②两边同乘6去分母，得$2(2x+3y)+3(2x-3y)=48$，
整理得$10x - 3y = 48$ ④。
③-④，得$4x=36$，解得$x=9$。
把$x=9$代入④，得$10×9 - 3y = 48$，解得$y=14$。
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=9\\y=14\end{cases}$。
(1) $\begin{cases}2x - y = 4&①\\x + y = 8&②\end{cases}$
①+②，得$3x=12$，解得$x=4$。
把$x=4$代入②，得$4+y=8$，解得$y=4$。
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=4\\y=4\end{cases}$。
(2) $\begin{cases}4x - 2y = 2&①\\2x + 3y = -7&②\end{cases}$
将①两边同除以2，得$2x - y = 1$，即$2x = y + 1$ ③。
把③代入②，得$y+1 + 3y = -7$，
整理得$4y=-8$，解得$y=-2$。
把$y=-2$代入③，得$2x = -2 + 1$，解得$x=-\frac{1}{2}$。
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\y=-2\end{cases}$。
(3) $\begin{cases}\dfrac{x + 2y}{3} - \dfrac{x - 2y}{5} = 16&①\\\dfrac{x + 2y}{5} - \dfrac{x - 2y}{4} = 7&②\end{cases}$
①两边同乘15去分母，得$5(x+2y)-3(x-2y)=240$，
整理得$x + 8y = 120$ ③。
②两边同乘20去分母，得$4(x+2y)-5(x-2y)=140$，
整理得$-x + 18y = 140$ ④。
③+④，得$26y=260$，解得$y=10$。
把$y=10$代入③，得$x + 8×10 = 120$，解得$x=40$。
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=40\\y=10\end{cases}$。
(4) $\begin{cases}\dfrac{2x + 3y}{4} + \dfrac{2x - 3y}{3} = 7&①\\\dfrac{2x + 3y}{3} + \dfrac{2x - 3y}{2} = 8&②\end{cases}$
①两边同乘12去分母，得$3(2x+3y)+4(2x-3y)=84$，
整理得$14x - 3y = 84$ ③。
②两边同乘6去分母，得$2(2x+3y)+3(2x-3y)=48$，
整理得$10x - 3y = 48$ ④。
③-④，得$4x=36$，解得$x=9$。
把$x=9$代入④，得$10×9 - 3y = 48$，解得$y=14$。
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=9\\y=14\end{cases}$。
解析
【分析】
解二元一次方程组的核心是消元，将二元转化为一元求解，具体解题思路如下：①对于含分母的方程，先给方程两边乘所有分母的最小公倍数去分母，再通过去括号、移项、合并同类项，将方程组整理为整式形式的标准二元一次方程组；②观察未知数的系数特点：若某个未知数的系数互为相反数或相等，优先选用加减消元法；若有未知数的系数为±1，也可选择代入消元法，消去一个未知数得到一元一次方程；③解一元一次方程得到一个未知数的值，代入合适的方程求出另一个未知数的值，最后可将解代入原方程组检验是否正确。
【解析】
(1) $\begin{cases}2x - y = 4&①\\x + y = 8&②\end{cases}$
①+②，得$3x=12$，解得$x=4$。
把$x=4$代入②，得$4+y=8$，解得$y=4$。
(2) $\begin{cases}4x - 2y = 2&①\\2x + 3y = -7&②\end{cases}$
将①两边同除以2，得$2x - y = 1$，即$2x = y + 1$ ③。
把③代入②，得$y+1 + 3y = -7$，
整理得$4y=-8$，解得$y=-2$。
把$y=-2$代入③，得$2x = -2 + 1$，解得$x=-\frac{1}{2}$。
(3) $\begin{cases}\dfrac{x + 2y}{3} - \dfrac{x - 2y}{5} = 16&①\\\dfrac{x + 2y}{5} - \dfrac{x - 2y}{4} = 7&②\end{cases}$
①两边同乘15去分母，得$5(x+2y)-3(x-2y)=240$，
整理得$x + 8y = 120$ ③。
②两边同乘20去分母，得$4(x+2y)-5(x-2y)=140$，
整理得$-x + 18y = 140$ ④。
③+④，得$26y=260$，解得$y=10$。
把$y=10$代入③，得$x + 8×10 = 120$，解得$x=40$。
(4) $\begin{cases}\dfrac{2x + 3y}{4} + \dfrac{2x - 3y}{3} = 7&①\\\dfrac{2x + 3y}{3} + \dfrac{2x - 3y}{2} = 8&②\end{cases}$
①两边同乘12去分母，得$3(2x+3y)+4(2x-3y)=84$，
整理得$14x - 3y = 84$ ③。
②两边同乘6去分母，得$2(2x+3y)+3(2x-3y)=48$，
整理得$10x - 3y = 48$ ④。
③-④，得$4x=36$，解得$x=9$。
把$x=9$代入④，得$10×9 - 3y = 48$，解得$y=14$。
【答案】
(1) $\begin{cases}x=4\\y=4\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\y=-2\end{cases}$
(3) $\begin{cases}x=40\\y=10\end{cases}$
(4) $\begin{cases}x=9\\y=14\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组求解，去分母法则，消元法
【点评】
这组题目是二元一次方程组解法的基础训练，需要熟练掌握去分母、去括号的运算规则，根据方程组系数特点灵活选择加减消元或代入消元法，计算时注意符号变化，避免出现漏乘等错误。
【难度系数】
0.7
解二元一次方程组的核心是消元，将二元转化为一元求解，具体解题思路如下：①对于含分母的方程，先给方程两边乘所有分母的最小公倍数去分母，再通过去括号、移项、合并同类项，将方程组整理为整式形式的标准二元一次方程组；②观察未知数的系数特点：若某个未知数的系数互为相反数或相等，优先选用加减消元法；若有未知数的系数为±1，也可选择代入消元法，消去一个未知数得到一元一次方程；③解一元一次方程得到一个未知数的值，代入合适的方程求出另一个未知数的值，最后可将解代入原方程组检验是否正确。
【解析】
(1) $\begin{cases}2x - y = 4&①\\x + y = 8&②\end{cases}$
①+②，得$3x=12$，解得$x=4$。
把$x=4$代入②，得$4+y=8$，解得$y=4$。
(2) $\begin{cases}4x - 2y = 2&①\\2x + 3y = -7&②\end{cases}$
将①两边同除以2，得$2x - y = 1$，即$2x = y + 1$ ③。
把③代入②，得$y+1 + 3y = -7$，
整理得$4y=-8$，解得$y=-2$。
把$y=-2$代入③，得$2x = -2 + 1$，解得$x=-\frac{1}{2}$。
(3) $\begin{cases}\dfrac{x + 2y}{3} - \dfrac{x - 2y}{5} = 16&①\\\dfrac{x + 2y}{5} - \dfrac{x - 2y}{4} = 7&②\end{cases}$
①两边同乘15去分母，得$5(x+2y)-3(x-2y)=240$，
整理得$x + 8y = 120$ ③。
②两边同乘20去分母，得$4(x+2y)-5(x-2y)=140$，
整理得$-x + 18y = 140$ ④。
③+④，得$26y=260$，解得$y=10$。
把$y=10$代入③，得$x + 8×10 = 120$，解得$x=40$。
(4) $\begin{cases}\dfrac{2x + 3y}{4} + \dfrac{2x - 3y}{3} = 7&①\\\dfrac{2x + 3y}{3} + \dfrac{2x - 3y}{2} = 8&②\end{cases}$
①两边同乘12去分母，得$3(2x+3y)+4(2x-3y)=84$，
整理得$14x - 3y = 84$ ③。
②两边同乘6去分母，得$2(2x+3y)+3(2x-3y)=48$，
整理得$10x - 3y = 48$ ④。
③-④，得$4x=36$，解得$x=9$。
把$x=9$代入④，得$10×9 - 3y = 48$，解得$y=14$。
【答案】
(1) $\begin{cases}x=4\\y=4\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\y=-2\end{cases}$
(3) $\begin{cases}x=40\\y=10\end{cases}$
(4) $\begin{cases}x=9\\y=14\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组求解，去分母法则，消元法
【点评】
这组题目是二元一次方程组解法的基础训练，需要熟练掌握去分母、去括号的运算规则，根据方程组系数特点灵活选择加减消元或代入消元法，计算时注意符号变化，避免出现漏乘等错误。
【难度系数】
0.7
20. 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases} x - 2y = 1, \\ x + 2y = n \end{cases}$和$\begin{cases} x + y = m, \\ 2x - 3y = 5 \end{cases}$有公共解，求$m,n$的值。
答案
解：由题意可知，两个方程组的公共解同时满足方程
$\begin{cases}x-2y=1\\2x-3y=5\end{cases}$
解这个方程组：
由$x-2y=1$得$x=2y+1$，将其代入$2x-3y=5$，得
$2(2y+1)-3y=5$
化简得$y+2=5$，解得$y=3$。
把$y=3$代入$x=2y+1$，得$x=7$。
即两个方程组的公共解为$\begin{cases}x=7\\y=3\end{cases}$。
将$\begin{cases}x=7\\y=3\end{cases}$代入$x+y=m$，得$m=7+3=10$；
将$\begin{cases}x=7\\y=3\end{cases}$代入$x+2y=n$，得$n=7+2×3=13$。
综上，$m=10$，$n=13$。
$\begin{cases}x-2y=1\\2x-3y=5\end{cases}$
解这个方程组：
由$x-2y=1$得$x=2y+1$，将其代入$2x-3y=5$，得
$2(2y+1)-3y=5$
化简得$y+2=5$，解得$y=3$。
把$y=3$代入$x=2y+1$，得$x=7$。
即两个方程组的公共解为$\begin{cases}x=7\\y=3\end{cases}$。
将$\begin{cases}x=7\\y=3\end{cases}$代入$x+y=m$，得$m=7+3=10$；
将$\begin{cases}x=7\\y=3\end{cases}$代入$x+2y=n$，得$n=7+2×3=13$。
综上，$m=10$，$n=13$。
解析
【分析】
两个方程组有公共解，说明这个解同时满足四个方程。解题时首先把不含参数m、n的两个方程$x-2y=1$和$2x-3y=5$联立组成新的方程组，用代入消元法求出x、y的公共解，再把公共解分别代入含m、n的方程，即可求出m和n的值。
【解析】
由题意可知，两个方程组的公共解同时满足方程$\begin{cases}x-2y=1\\2x-3y=5\end{cases}$
解这个方程组：
由$x-2y=1$得$x=2y+1$，将其代入$2x-3y=5$，得
$2(2y+1)-3y=5$
化简得$y+2=5$，解得$y=3$。
把$y=3$代入$x=2y+1$，得$x=7$。
即两个方程组的公共解为$\begin{cases}x=7\\y=3\end{cases}$。
将$\begin{cases}x=7\\y=3\end{cases}$代入$x+y=m$，得$m=7+3=10$；
将$\begin{cases}x=7\\y=3\end{cases}$代入$x+2y=n$，得$n=7+2×3=13$。
【答案】
$m=10$，$n=13$
【知识点】
1. 二元一次方程组的公共解
2. 代入消元法
3. 二元一次方程的解
【点评】
本题重点考查对二元一次方程组公共解概念的理解，解题核心是先联立无参数的方程求出公共解，再代入求参数，是二元一次方程组章节的常考基础题型，熟练掌握消元法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
两个方程组有公共解，说明这个解同时满足四个方程。解题时首先把不含参数m、n的两个方程$x-2y=1$和$2x-3y=5$联立组成新的方程组，用代入消元法求出x、y的公共解，再把公共解分别代入含m、n的方程，即可求出m和n的值。
【解析】
由题意可知，两个方程组的公共解同时满足方程$\begin{cases}x-2y=1\\2x-3y=5\end{cases}$
解这个方程组：
由$x-2y=1$得$x=2y+1$，将其代入$2x-3y=5$，得
$2(2y+1)-3y=5$
化简得$y+2=5$，解得$y=3$。
把$y=3$代入$x=2y+1$，得$x=7$。
即两个方程组的公共解为$\begin{cases}x=7\\y=3\end{cases}$。
将$\begin{cases}x=7\\y=3\end{cases}$代入$x+y=m$，得$m=7+3=10$；
将$\begin{cases}x=7\\y=3\end{cases}$代入$x+2y=n$，得$n=7+2×3=13$。
【答案】
$m=10$，$n=13$
【知识点】
1. 二元一次方程组的公共解
2. 代入消元法
3. 二元一次方程的解
【点评】
本题重点考查对二元一次方程组公共解概念的理解，解题核心是先联立无参数的方程求出公共解，再代入求参数，是二元一次方程组章节的常考基础题型，熟练掌握消元法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
