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一、单项选择题
1. 下列是二元一次方程的是 （）
A.$2x + 3 = \frac{5}{2}$
B.$4x^2 -7y =11$
C.$y +6 =x$
D.$\frac{1}{x} + y =4$
1. 下列是二元一次方程的是 （）
A.$2x + 3 = \frac{5}{2}$
B.$4x^2 -7y =11$
C.$y +6 =x$
D.$\frac{1}{x} + y =4$
答案
C
解析
【分析】
要判断一个方程是否为二元一次方程，需先明确二元一次方程的三个核心判定条件：①含有2个不同的未知数；②含有未知数的项的最高次数是1；③是整式方程（分母不含未知数）。解题时我们用这三个条件逐一排查选项，排除不符合要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
解：根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程，逐一分析选项：
A. 方程$2x + 3 = \frac{5}{2}$只含有1个未知数$x$，属于一元一次方程，不符合二元一次方程要求，排除；
B. 方程$4x^2 -7y =11$中$x$的次数为2，含未知数的项的最高次数是2，不符合“次数为1”的要求，排除；
C. 方程$y +6 =x$含有$x$、$y$两个未知数，$x$和$y$的次数均为1，且是整式方程，符合二元一次方程的定义，当选；
D. 方程$\frac{1}{x} + y =4$的分母含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的定义；整式方程的判定
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对二元一次方程定义的理解，只要牢记判定的三个要点，注意区分整式方程和分式方程，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
要判断一个方程是否为二元一次方程，需先明确二元一次方程的三个核心判定条件：①含有2个不同的未知数；②含有未知数的项的最高次数是1；③是整式方程（分母不含未知数）。解题时我们用这三个条件逐一排查选项，排除不符合要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
解：根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程，逐一分析选项：
A. 方程$2x + 3 = \frac{5}{2}$只含有1个未知数$x$，属于一元一次方程，不符合二元一次方程要求，排除；
B. 方程$4x^2 -7y =11$中$x$的次数为2，含未知数的项的最高次数是2，不符合“次数为1”的要求，排除；
C. 方程$y +6 =x$含有$x$、$y$两个未知数，$x$和$y$的次数均为1，且是整式方程，符合二元一次方程的定义，当选；
D. 方程$\frac{1}{x} + y =4$的分母含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的定义；整式方程的判定
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对二元一次方程定义的理解，只要牢记判定的三个要点，注意区分整式方程和分式方程，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
2. 下列各组数中，是方程$x+2y=4$的解的是（）
A.$\begin{cases} x=-1, \\ y=3 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=2, \\ y=-1 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=0, \\ y=2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=4, \\ y=1 \end{cases}$
A.$\begin{cases} x=-1, \\ y=3 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=2, \\ y=-1 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=0, \\ y=2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=4, \\ y=1 \end{cases}$
答案
C
解析
【分析】
要判断一组数是不是二元一次方程的解，核心方法是代入检验法：将每组中x、y的值代入方程的左边，计算出结果后和方程右边的数值对比，若两边相等，则这组数是该方程的解，否则不是。本题只需依次把四个选项的数值代入方程$x+2y=4$的左边计算，找出结果等于4的选项即可。
【解析】
根据二元一次方程解的判定方法，逐一检验各选项：
A选项：把$\begin{cases} x=-1, \\ y=3 \end{cases}$代入方程左边，得$-1 + 2×3 = 5 ≠ 4$，不是方程的解；
B选项：把$\begin{cases} x=2, \\ y=-1 \end{cases}$代入方程左边，得$2 + 2×(-1) = 0 ≠ 4$，不是方程的解；
C选项：把$\begin{cases} x=0, \\ y=2 \end{cases}$代入方程左边，得$0 + 2×2 = 4$，和方程右边相等，是方程的解；
D选项：把$\begin{cases} x=4, \\ y=1 \end{cases}$代入方程左边，得$4 + 2×1 = 6 ≠ 4$，不是方程的解。
综上选择C选项。
【答案】
C
【知识点】
1.二元一次方程的解
2.代入检验法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二元一次方程解的概念的掌握，熟练运用代入检验的方法即可快速得出正确答案，是二元一次方程章节的常规考题。
【难度系数】
0.9
要判断一组数是不是二元一次方程的解，核心方法是代入检验法：将每组中x、y的值代入方程的左边，计算出结果后和方程右边的数值对比，若两边相等，则这组数是该方程的解，否则不是。本题只需依次把四个选项的数值代入方程$x+2y=4$的左边计算，找出结果等于4的选项即可。
【解析】
根据二元一次方程解的判定方法，逐一检验各选项：
A选项：把$\begin{cases} x=-1, \\ y=3 \end{cases}$代入方程左边，得$-1 + 2×3 = 5 ≠ 4$，不是方程的解；
B选项：把$\begin{cases} x=2, \\ y=-1 \end{cases}$代入方程左边，得$2 + 2×(-1) = 0 ≠ 4$，不是方程的解；
C选项：把$\begin{cases} x=0, \\ y=2 \end{cases}$代入方程左边，得$0 + 2×2 = 4$，和方程右边相等，是方程的解；
D选项：把$\begin{cases} x=4, \\ y=1 \end{cases}$代入方程左边，得$4 + 2×1 = 6 ≠ 4$，不是方程的解。
综上选择C选项。
【答案】
C
【知识点】
1.二元一次方程的解
2.代入检验法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二元一次方程解的概念的掌握，熟练运用代入检验的方法即可快速得出正确答案，是二元一次方程章节的常规考题。
【难度系数】
0.9
3. 下列是二元一次方程组的是 （）
A.$\begin{cases} \dfrac{1}{x} + y = 4, \\ x - y = 1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} 2x - y = 1, \\ 3y + z = 2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} 5x + y = 2, \\ xy = 1 \end{cases}$
A.$\begin{cases} \dfrac{1}{x} + y = 4, \\ x - y = 1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} 2x - y = 1, \\ 3y + z = 2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} 5x + y = 2, \\ xy = 1 \end{cases}$
答案
B
解析
【分析】
解决本题首先要明确二元一次方程组的三个判定标准：①整个方程组中总共只有2个不同的未知数；②所有方程都是整式方程（分母不含未知数）；③每个方程中含未知数的项的次数均为1。解题时只需将每个选项依次对照三个标准排查，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们结合二元一次方程组的判定标准逐一分析选项：
选项A：第一个方程$\dfrac{1}{x}+y=4$中$\dfrac{1}{x}$的分母含未知数$x$，属于分式方程，不满足整式方程的要求，排除A；
选项B：方程组共有$x$、$y$2个未知数，两个方程都是整式方程，且含未知数的项的次数均为1，符合二元一次方程组的定义；
选项C：方程组中含有$x$、$y$、$z$共3个未知数，属于三元方程组，不符合“二元”的要求，排除C；
选项D：第二个方程$xy=1$中$xy$项的次数为$1+1=2$，是二次项，不符合“一次”的要求，排除D。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的判定、整式方程的识别、单项式的次数
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对二元一次方程组定义的理解，解题时需注意不要遗漏“整式方程”“未知数总个数为2”“含未知数的项次数为1”三个判定要点，逐一排查即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确二元一次方程组的三个判定标准：①整个方程组中总共只有2个不同的未知数；②所有方程都是整式方程（分母不含未知数）；③每个方程中含未知数的项的次数均为1。解题时只需将每个选项依次对照三个标准排查，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们结合二元一次方程组的判定标准逐一分析选项：
选项A：第一个方程$\dfrac{1}{x}+y=4$中$\dfrac{1}{x}$的分母含未知数$x$，属于分式方程，不满足整式方程的要求，排除A；
选项B：方程组共有$x$、$y$2个未知数，两个方程都是整式方程，且含未知数的项的次数均为1，符合二元一次方程组的定义；
选项C：方程组中含有$x$、$y$、$z$共3个未知数，属于三元方程组，不符合“二元”的要求，排除C；
选项D：第二个方程$xy=1$中$xy$项的次数为$1+1=2$，是二次项，不符合“一次”的要求，排除D。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的判定、整式方程的识别、单项式的次数
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对二元一次方程组定义的理解，解题时需注意不要遗漏“整式方程”“未知数总个数为2”“含未知数的项次数为1”三个判定要点，逐一排查即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
4. 解为$\begin{cases}x=-1, \\ y=-4\end{cases}$的方程组可以是（ ）
A.$\begin{cases} x-y=-1, \\ 3x-y=5 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x-y=1, \\ 3x+y=5 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x-y=3, \\ 3x-y=1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x-2y=-3, \\ 3x+y=5 \end{cases}$
A.$\begin{cases} x-y=-1, \\ 3x-y=5 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x-y=1, \\ 3x+y=5 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x-y=3, \\ 3x-y=1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x-2y=-3, \\ 3x+y=5 \end{cases}$
答案
C
解析
【分析】
本题考查判断哪个方程组的解是给定的数值，解题时不需要逐一求解每个方程组，最简便的方法是代入检验法：将给定的解$\begin{cases}x=-1 \\ y=-4\end{cases}$分别代入每个选项的两个方程中，若两个方程左右两边都相等，则该选项即为正确答案。
【解析】
将$\begin{cases}x=-1 \\ y=-4\end{cases}$依次代入各选项验证：
选项A：代入$x-y$得$-1-(-4)=3≠-1$，第一个方程不成立，排除A；
选项B：代入$x-y$得$-1-(-4)=3≠1$，第一个方程不成立，排除B；
选项C：代入$x-y$得$-1-(-4)=3$，与方程右边相等，第一个方程成立；代入$3x-y$得$3×(-1)-(-4)=-3+4=1$，与方程右边相等，第二个方程也成立，符合要求；
选项D：代入$x-2y$得$-1-2×(-4)=7≠-3$，第一个方程不成立，排除D。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二元一次方程组的解的定义
2. 代入检验法
【点评】
本题是二元一次方程组的基础题型，核心是理解二元一次方程组的解需要同时满足组内所有方程，使用代入验证法可以快速得出结果，避免不必要的计算，是需要熟练掌握的解题技巧。
【难度系数】
0.8
本题考查判断哪个方程组的解是给定的数值，解题时不需要逐一求解每个方程组，最简便的方法是代入检验法：将给定的解$\begin{cases}x=-1 \\ y=-4\end{cases}$分别代入每个选项的两个方程中，若两个方程左右两边都相等，则该选项即为正确答案。
【解析】
将$\begin{cases}x=-1 \\ y=-4\end{cases}$依次代入各选项验证：
选项A：代入$x-y$得$-1-(-4)=3≠-1$，第一个方程不成立，排除A；
选项B：代入$x-y$得$-1-(-4)=3≠1$，第一个方程不成立，排除B；
选项C：代入$x-y$得$-1-(-4)=3$，与方程右边相等，第一个方程成立；代入$3x-y$得$3×(-1)-(-4)=-3+4=1$，与方程右边相等，第二个方程也成立，符合要求；
选项D：代入$x-2y$得$-1-2×(-4)=7≠-3$，第一个方程不成立，排除D。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二元一次方程组的解的定义
2. 代入检验法
【点评】
本题是二元一次方程组的基础题型，核心是理解二元一次方程组的解需要同时满足组内所有方程，使用代入验证法可以快速得出结果，避免不必要的计算，是需要熟练掌握的解题技巧。
【难度系数】
0.8
5.《算法统宗》中有一首饮酒数学诗:醇酒一瓶醉三客,薄酒三瓶醉一人,共同饮了一十九,三十三客醉颜生,试问高明能算士,几多醇酒几多醇？这首诗是说:好酒一瓶,可以醉倒3位客人;薄酒三瓶,可以醉倒1位客人,如今33位客人醉倒了,他们总共饮19瓶酒.试问:其中好酒、薄酒分别是多少瓶？设有好酒$x$瓶,薄酒$y$瓶.根据题意,可列方程组为
（）
A.$\begin{cases} x+y=19, \\ 3x+\dfrac{1}{3}y=33 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=19, \\ x+3y=33 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=19, \\ \dfrac{1}{3}x+3y=33 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=19, \\ 3x+y=33 \end{cases}$
（）
A.$\begin{cases} x+y=19, \\ 3x+\dfrac{1}{3}y=33 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=19, \\ x+3y=33 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=19, \\ \dfrac{1}{3}x+3y=33 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=19, \\ 3x+y=33 \end{cases}$
答案
A
解析
【分析】
这是一道列二元一次方程组的实际应用题，解题时需要先找准题目中的两个等量关系：一是好酒和薄酒的总瓶数，二是喝醉的客人总人数。首先根据总瓶数可以列出第一个方程，再结合两种酒各自醉倒的人数规则列出第二个方程，联立即可得到正确的方程组。
【解析】
设好酒有$x$瓶，薄酒有$y$瓶。
1. 根据“总共饮了一十九瓶酒”，可得好酒数量加薄酒数量等于19，即：$\boldsymbol{x+y=19}$；
2. 根据“好酒1瓶醉3客，薄酒3瓶醉1客，共33位客人醉倒”：$x$瓶好酒可醉倒$3x$位客人，1瓶薄酒可醉倒$\frac{1}{3}$位客人，因此$y$瓶薄酒可醉倒$\frac{1}{3}y$位客人，两者相加等于总醉客数33，即：$\boldsymbol{3x+\frac{1}{3}y=33}$。
联立两个方程可得对应的方程组，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用；根据实际问题列方程组
【点评】
本题以古代数学诗歌为背景，核心是准确理解题意，梳理出两个独立的等量关系，解题时需注意薄酒醉客的数量换算，不要混淆两种酒对应的醉客系数。
【难度系数】
0.8
这是一道列二元一次方程组的实际应用题，解题时需要先找准题目中的两个等量关系：一是好酒和薄酒的总瓶数，二是喝醉的客人总人数。首先根据总瓶数可以列出第一个方程，再结合两种酒各自醉倒的人数规则列出第二个方程，联立即可得到正确的方程组。
【解析】
设好酒有$x$瓶，薄酒有$y$瓶。
1. 根据“总共饮了一十九瓶酒”，可得好酒数量加薄酒数量等于19，即：$\boldsymbol{x+y=19}$；
2. 根据“好酒1瓶醉3客，薄酒3瓶醉1客，共33位客人醉倒”：$x$瓶好酒可醉倒$3x$位客人，1瓶薄酒可醉倒$\frac{1}{3}$位客人，因此$y$瓶薄酒可醉倒$\frac{1}{3}y$位客人，两者相加等于总醉客数33，即：$\boldsymbol{3x+\frac{1}{3}y=33}$。
联立两个方程可得对应的方程组，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用；根据实际问题列方程组
【点评】
本题以古代数学诗歌为背景，核心是准确理解题意，梳理出两个独立的等量关系，解题时需注意薄酒醉客的数量换算，不要混淆两种酒对应的醉客系数。
【难度系数】
0.8
