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12.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E。若AB+BC=24，则△BCE的周长为。
答案
$\boldsymbol{24}$
解析
解：
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ AE = BE。
△BCE的周长为：BE + EC + BC，
将BE替换为AE，可得：
BE + EC + BC = AE + EC + BC = AC + BC。
又∵ AB = AC，AB + BC = 24，
∴ AC + BC = AB + BC = 24，
即△BCE的周长为24。
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ AE = BE。
△BCE的周长为：BE + EC + BC，
将BE替换为AE，可得：
BE + EC + BC = AE + EC + BC = AC + BC。
又∵ AB = AC，AB + BC = 24，
∴ AC + BC = AB + BC = 24，
即△BCE的周长为24。
13.如图，在$△ ABC$中，$DE$是$AC$的垂直平分线，$△ ABC$的周长为24，$AB+BD+AD=15$，则$AC$的长为________。
答案
$\boldsymbol{9}$
解析
解：
∵ DE是AC的垂直平分线，
∴ AD = DC。
∵ △ABC的周长为24，
∴ AB + BC + AC = 24，
又∵ BC = BD + DC，
∴ AB + BD + DC + AC = 24，
将AD=DC代入上式得：AB + BD + AD + AC = 24，
已知AB + BD + AD = 15，
∴ 15 + AC = 24，
解得AC = 9。
∵ DE是AC的垂直平分线，
∴ AD = DC。
∵ △ABC的周长为24，
∴ AB + BC + AC = 24，
又∵ BC = BD + DC，
∴ AB + BD + DC + AC = 24，
将AD=DC代入上式得：AB + BD + AD + AC = 24，
已知AB + BD + AD = 15，
∴ 15 + AC = 24，
解得AC = 9。
14. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，已知$∠ C=90°$，有一点$D$同时满足以下三个条件：①在直角边$BC$上；②在$∠ CAB$的平分线上；③在斜边$AB$的垂直平分线上。则$∠ CAD$的度数为________。
答案
$\boldsymbol{30°}$
解析
解：
∵ 点D在斜边AB的垂直平分线上，
∴ DA = DB，
∴ ∠DAB = ∠B。
∵ 点D在∠CAB的平分线上，
∴ ∠CAD = ∠DAB，
∴ ∠CAD = ∠DAB = ∠B。
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴ ∠CAB + ∠B = 90°，
即 ∠CAD + ∠DAB + ∠B = 90°，
∴ 3∠CAD = 90°，
∴ ∠CAD = 30°。
∵ 点D在斜边AB的垂直平分线上，
∴ DA = DB，
∴ ∠DAB = ∠B。
∵ 点D在∠CAB的平分线上，
∴ ∠CAD = ∠DAB，
∴ ∠CAD = ∠DAB = ∠B。
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴ ∠CAB + ∠B = 90°，
即 ∠CAD + ∠DAB + ∠B = 90°，
∴ 3∠CAD = 90°，
∴ ∠CAD = 30°。
15. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,若$∠ C=90°,BC=3,AB=6$,则$∠ B$的度数为。
答案
$\boldsymbol{60°}$
解析
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because BC=3$，$AB=6$，
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB$，
$\therefore ∠ A=30°$，
又$\because ∠ A + ∠ B = 90°$，
$\therefore ∠ B=90° - 30°=60°$。
最终
$\because BC=3$，$AB=6$，
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB$，
$\therefore ∠ A=30°$，
又$\because ∠ A + ∠ B = 90°$，
$\therefore ∠ B=90° - 30°=60°$。
最终
16.如图，将三角形纸片ABC的一角沿AB的垂直平分线翻折，折痕为DE，点B与点A重合。已知△ACD的周长是18，△ABC的周长是26，则AB的长为。
第16题图 第17题图
第16题图 第17题图
答案
$\boldsymbol{8}$
解析
解：由翻折的性质可得：$AD = BD$。
$\because △ ACD$的周长是18，
$\therefore AC + CD + AD = 18$，
将$AD=BD$代入得：$AC + CD + BD = AC + BC = 18$。
又$\because △ ABC$的周长是26，
$\therefore AC + BC + AB = 26$，
把$AC+BC=18$代入上式：
$18 + AB = 26$，
解得$AB=8$。
$\because △ ACD$的周长是18，
$\therefore AC + CD + AD = 18$，
将$AD=BD$代入得：$AC + CD + BD = AC + BC = 18$。
又$\because △ ABC$的周长是26，
$\therefore AC + BC + AB = 26$，
把$AC+BC=18$代入上式：
$18 + AB = 26$，
解得$AB=8$。
17.如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,EF垂直平分线段BC,P是直线EF上的任意一点,则△ABP周长的最小值是。
答案
$\boldsymbol{14}$
解析
解：
∵ EF垂直平分线段BC，
∴ 点B、C关于直线EF对称，
∴ PB = PC。
△ABP的周长为 $AB + AP + PB = AB + AP + PC$。
根据两点之间线段最短，可得 $AP + PC ≥ AC$，当且仅当P为AC与直线EF的交点时，$AP+PC$ 取得最小值，最小值为 $AC=8$。
已知 $AB=6$，因此△ABP周长的最小值为 $6+8=14$。
∵ EF垂直平分线段BC，
∴ 点B、C关于直线EF对称，
∴ PB = PC。
△ABP的周长为 $AB + AP + PB = AB + AP + PC$。
根据两点之间线段最短，可得 $AP + PC ≥ AC$，当且仅当P为AC与直线EF的交点时，$AP+PC$ 取得最小值，最小值为 $AC=8$。
已知 $AB=6$，因此△ABP周长的最小值为 $6+8=14$。
18.如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=30°$,$∠ ACB=50°$,$DE$,$FG$分别为$AB$,$AC$的垂直平分线,$E$,$G$分别为垂足,$△ DAF$的周长为16,求$BC$的长。
答案
解：
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ DA = DB。
∵ FG是AC的垂直平分线，
∴ FA = FC。
∵ △DAF的周长为16，
∴ DA + DF + FA = 16。
将DA=DB，FA=FC代入得：
DB + DF + FC = 16，
又∵ 点B、D、F、C在同一直线上，DB + DF + FC = BC，
∴ BC = 16。
答：BC的长为16。
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ DA = DB。
∵ FG是AC的垂直平分线，
∴ FA = FC。
∵ △DAF的周长为16，
∴ DA + DF + FA = 16。
将DA=DB，FA=FC代入得：
DB + DF + FC = 16，
又∵ 点B、D、F、C在同一直线上，DB + DF + FC = BC，
∴ BC = 16。
答：BC的长为16。
