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5. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ B=90°$。根据尺规作图的痕迹判断以下结论正确的是 ()
A.$DB=DE$
B.$AB=AE$
C.$∠ EDC=∠ BAD$
D.$∠ DAC=∠ C$
A.$DB=DE$
B.$AB=AE$
C.$∠ EDC=∠ BAD$
D.$∠ DAC=∠ C$
答案
D
解析
由尺规作图痕迹可知，DE是线段AC的垂直平分线。根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD=CD，再由等边对等角推出∠DAC=∠C。
对各选项逐一判断：
1. 选项A：没有条件可证DB=DE，结论错误；
2. 选项B：没有条件可证AB=AE，结论错误；
3. 选项C：在Rt△DEC中∠EDC=90°-∠C，结合∠BAC+∠C=90°、∠BAC=∠BAD+∠DAC、∠DAC=∠C，可得∠BAD=90°-2∠C，因此∠EDC≠∠BAD，结论错误；
4. 选项D：由AD=CD，等边对等角可得∠DAC=∠C，结论正确。
对各选项逐一判断：
1. 选项A：没有条件可证DB=DE，结论错误；
2. 选项B：没有条件可证AB=AE，结论错误；
3. 选项C：在Rt△DEC中∠EDC=90°-∠C，结合∠BAC+∠C=90°、∠BAC=∠BAD+∠DAC、∠DAC=∠C，可得∠BAD=90°-2∠C，因此∠EDC≠∠BAD，结论错误；
4. 选项D：由AD=CD，等边对等角可得∠DAC=∠C，结论正确。
6.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，分别以点A和点B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交BC于点D，连接AD。若$∠ B=50°$，则$∠ DAC$的度数为 （）
A.$20°$
B.$50°$
C.$30°$
D.$80°$
A.$20°$
B.$50°$
C.$30°$
D.$80°$
答案
C
解析
由作图可知，直线MN是AB的垂直平分线，因此AD=BD，可得∠BAD=∠B=50°。
因为AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，∠C=∠B=50°。
根据三角形内角和为180°，计算得∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-50°=80°。
因此∠DAC=∠BAC - ∠BAD=80°-50°=30°。
因为AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，∠C=∠B=50°。
根据三角形内角和为180°，计算得∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-50°=80°。
因此∠DAC=∠BAC - ∠BAD=80°-50°=30°。
7.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=8,BC=5$,线段$AB$的垂直平分线交$AB$于点$E$,交$AC$于点$D$,则$△ BDC$的周长为（）
A.21
B.14
C.13
D.9
A.21
B.14
C.13
D.9
答案
C
解析
∵DE是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD=BD。
∴△BDC的周长 = BD + DC + BC = AD + DC + BC = AC + BC。
已知AC=8，BC=5，代入得△BDC的周长=8+5=13。
∴△BDC的周长 = BD + DC + BC = AD + DC + BC = AC + BC。
已知AC=8，BC=5，代入得△BDC的周长=8+5=13。
8.命题“线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等”是（填“真”或“假”）命题。
答案
真
解析
解：线段垂直平分线的性质定理可证，线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离都相等，该命题表述正确，是真命题。
9.若点P在线段AB的垂直平分线上，且PA=7，则PB的长是。
答案
$\boldsymbol{7}$
解析
解：根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PB = PA，
又∵PA=7，
∴PB=7。
最终
∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PB = PA，
又∵PA=7，
∴PB=7。
最终
10.如图,在△ABC中,DE是边BC的垂直平分线,∠A=90°,CD=8,AC=6,则△BDE的面积为。
答案
$\boldsymbol{12}$
解析
解：
∵ DE是边BC的垂直平分线
∴ BD=CD=8，BE=CE，DE⊥BC
∵ ∠A=90°，在Rt△ACD中，
AD = √(CD² - AC²) = √(8² - 6²) = 2√7
∵ 点D在AB上，AC⊥AB，以BD为底，点C到AB的高为AC
∴ S△BDC = 1/2 × BD × AC = 1/2 × 8 × 6 = 24
∵ DE垂直平分BC，可得△BDE ≌ △CDE
∴ S△BDE = S△CDE = 1/2 S△BDC
∴ S△BDE = 1/2 × 24 = 12
∵ DE是边BC的垂直平分线
∴ BD=CD=8，BE=CE，DE⊥BC
∵ ∠A=90°，在Rt△ACD中，
AD = √(CD² - AC²) = √(8² - 6²) = 2√7
∵ 点D在AB上，AC⊥AB，以BD为底，点C到AB的高为AC
∴ S△BDC = 1/2 × BD × AC = 1/2 × 8 × 6 = 24
∵ DE垂直平分BC，可得△BDE ≌ △CDE
∴ S△BDE = S△CDE = 1/2 S△BDC
∴ S△BDE = 1/2 × 24 = 12
11. 如图，在$△ ABC$中，AB 的垂直平分线 DE 分别与 AB，BC 交于点 D，E，AC 的垂直平分线 FG 分别与 BC，AC 交于点 F，G。若 BC＝18，则$△ AEF$ 的周长是。
答案
解：
∵ DE是AB的垂直平分线，点E在DE上，
∴ EA = EB。
∵ FG是AC的垂直平分线，点F在FG上，
∴ FA = FC。
∴ △AEF的周长 = AE + EF + AF = BE + EF + FC = BC。
∵ BC = 18，
∴ △AEF的周长是18。
∵ DE是AB的垂直平分线，点E在DE上，
∴ EA = EB。
∵ FG是AC的垂直平分线，点F在FG上，
∴ FA = FC。
∴ △AEF的周长 = AE + EF + AF = BE + EF + FC = BC。
∵ BC = 18，
∴ △AEF的周长是18。
