1. 已知式子$\frac{2}{\sqrt{1 - x}}$有意义，则$x$的值可以是()。

A.3
B.2
C.1
D.-1

1.D

【分析】
要确定式子$\frac{2}{\sqrt{1 - x}}$有意义时x的可取值，需结合二次根式和分式有意义的条件推导：首先二次根式的被开方数必须是非负数，其次分式的分母不能为0，二者结合求出x的取值范围后，对照选项选出符合条件的数值即可。
【解析】
要使$\frac{2}{\sqrt{1 - x}}$有意义，需同时满足：
1. 二次根式的被开方数大于0（因根号位于分母，若被开方数为0则分母为0，无意义），即$1-x＞0$；
2. 分母$\sqrt{1-x}≠0$，该条件已包含在上述不等式中。
解不等式$1-x＞0$，移项可得$x＜1$。
逐一核对选项：
A. $3＞1$，不符合；B. $2＞1$，不符合；C. $1=1$，不符合；D. $-1＜1$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是二次根式与分式有意义条件的基础综合题，解题时需注意当二次根式作为分母时，被开方数不仅要非负，还不能等于0，避免因漏记分母不为0的条件选错答案。
【难度系数】
0.8

2. 下列计算正确的是()。

A.$\sqrt{(-7)^2} = \pm 7$
B.$\sqrt[3]{(-7)^3} = 7$
C.$\sqrt{1\frac{1}{4}} = 1\frac{1}{2}$
D.$\sqrt{1\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

2.D

【分析】
本题考查根式的化简计算，解题思路为逐个分析选项，结合算术平方根、立方根的性质判断对错：首先明确算术平方根的结果为非负数，立方根的符号与被开方数的符号一致，带分数开方时需先转化为假分数再进行运算，逐一验证每个选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{(-7)^2}$求的是$(-7)^2=49$的算术平方根，算术平方根只有非负结果，即$\sqrt{49}=7$，不是$\pm7$，故A错误；
B选项：立方根的符号与被开方数符号一致，$\sqrt[3]{(-7)^3}=-7$，故B错误；
C、D选项：先将带分数$1\frac{1}{4}$化为假分数，得$1\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$，再化简二次根式：$\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，而$1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}≠\frac{\sqrt{5}}{2}$，故C错误，D正确。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的性质；立方根的性质；二次根式化简
【点评】
本题是根式运算的基础题型，易错点在于混淆算术平方根和平方根的区别、带分数开方时直接对整数和分数部分分别开方，牢记根式运算规则，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.75

3.在$△ ABC$中，$D$是直线$BC$上一点，已知$AB = 15$，$AD = 12$，$AC = 13$，$CD = 5$，则$BC$的长为()。

A.4或14
B.10或14
C.14
D.10

3.A

【分析】首先观察AD、AC、CD的边长，可先用勾股定理的逆定理判断△ADC的形状，得出AD与BC的垂直关系；再在直角三角形ABD中用勾股定理求出BD的长度；最后注意D是直线BC上的点，需分两种情况讨论D的位置，分别计算BC的长度即可。
【解析】
1. 判断△ADC的形状
已知$AD=12$，$CD=5$，$AC=13$，计算得：
$AD^2+CD^2=12^2+5^2=144+25=169$，$AC^2=13^2=169$
因此$AD^2+CD^2=AC^2$，根据勾股定理的逆定理，可得△ADC是直角三角形，且$∠ ADC=90°$，即$AD⊥ BC$。
2. 求BD的长度
在$Rt△ ABD$中，$AB=15$，$AD=12$，由勾股定理得：
$BD^2=AB^2-AD^2=15^2-12^2=225-144=81$
边长为正，因此$BD=9$。
3. 分情况计算BC的长度
因为D在直线BC上，分两种情况讨论：
① 当D在线段BC上时，$BC=BD+CD=9+5=14$；
② 当D在线段BC的延长线上时，$BC=BD-CD=9-5=4$。
综上，BC的长为4或14。
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；分类讨论思想
【点评】本题的易错点是忽略D在直线BC上的两种位置，仅计算D在线段BC上的情况导致漏解，解题时要注意区分“直线”和“线段”的表述差异，结合勾股定理相关知识即可求解。
【难度系数】0.6

4. 如图1，在 Rt △ABC 中，∠C = 90°，点 D 是 BC 的中点，动点 P 从点 C 出发沿 C→A→B 运动到点 B，设点 P 的运动路程为 x，△PCD 的面积为 y，y 与 x 之间的函数图象如图2，则 AB 的长为()。

A.12
B.$4\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{17}$
D.10

4.B

【分析】
解题时先结合动点P的运动过程和函数图象的对应关系分析：①点P在CA上运动时，△PCD的面积随运动路程x的增大成正比例增大，对应图2的上升段；②点P在AB上运动时，点P到BC的距离逐渐减小，△PCD的面积逐渐减小到0，对应图2的下降段。首先利用上升段的已知点求出BC的长度，再由最高点的横坐标得到AC的长度，最后用勾股定理计算AB的长度。
【解析】
设$CD=m$，因为D是BC的中点，所以$BC=2m$。
1. 当点P在CA上运动时，$∠ C=90°$，$△ PCD$为直角三角形，点P的运动路程$x=CP$，因此$△ PCD$的面积：
$y=\frac{1}{2}· CP· CD=\frac{1}{2}mx$
由图2可知，当$x=3$时$y=3$，代入得：
$3=\frac{1}{2}m×3$，解得$m=2$，因此$BC=2m=4$。
2. 当点P运动到A点时，$△ PCD$的面积最大，对应图2的最高点，此时点P的运动路程等于AC的长度，即$AC=8$。
3. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，动点函数图象，三角形面积计算
【点评】
本题是几何动点与函数图象的综合题，核心是理解函数图象上特殊点（最高点、已知点）对应的几何意义，结合三角形面积公式和勾股定理求解，侧重考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6

二、解答题
已知一次函数$y = kx + b$（$k,b$是常数，且$k ≠ 0$）的图象经过$A(3,5)$与$B(-2,-5)$两点。
(1)求该一次函数的解析式；
(2)若点$(a - 3, -a)$在该一次函数的图象上，求$a$的值；
(3)把$y = kx + b$的图象向下平移3个单位长度后得到新的一次函数图象，在图中画出新函数图象，并直接写出新函数图象对应的解析式。

(1) $y = 2x - 1$。
(2) $\frac{7}{3}$。
(3) $y = 2x - 4$。(画图略)

【分析】
(1) 求一次函数解析式，已知函数经过两个点，采用待定系数法求解：将两个点的坐标分别代入$y=kx+b$，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组得到$k$、$b$的值，即可确定解析式。
(2) 点在函数图象上说明点的坐标满足函数解析式，将点的横、纵坐标代入第一问求出的解析式，得到关于$a$的一元一次方程，解方程即可求出$a$的值。
(3) 一次函数上下平移时斜率$k$不变，仅改变常数项，遵循“上加下减”的规则：向下平移$n$个单位，就在原解析式的常数项后减$n$，即可得到新解析式；画图象时找新函数与坐标轴的两个交点，连线即可。
【解析】
(1) 将$A(3,5)$、$B(-2,-5)$代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}3k + b = 5 \\-2k + b = -5 \end{cases}$
用第一个方程减第二个方程消去$b$：
$3k + b - (-2k + b) = 5 - (-5)$
$5k = 10$，解得$k=2$
将$k=2$代入$3k + b =5$，得$6 + b =5$，解得$b=-1$
所以该一次函数的解析式为$y=2x-1$。
(2) 因为点$(a-3,-a)$在$y=2x-1$的图象上，将坐标代入解析式：
$-a = 2(a - 3) - 1$
展开右边得：$-a = 2a - 6 -1$
移项合并同类项：$-3a = -7$
解得$a=\frac{7}{3}$。
(3) 根据一次函数平移“上加下减”的规则，将$y=2x-1$向下平移3个单位，常数项减3：
新解析式为$y=2x -1 -3 = 2x -4$。
画图时可取两点：当$x=0$时$y=-4$，得点$(0,-4)$；当$y=0$时$x=2$，得点$(2,0)$，在坐标系中描出两点并连线即可。
【答案】
(1) $y = 2x - 1$
(2) $\frac{7}{3}$
(3) 新函数解析式为$y = 2x - 4$，画图略
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数平移规律
【点评】
本题是一次函数基础综合题，覆盖了一次函数核心的基础考点，解题关键是熟练掌握待定系数法的应用、点与函数图象的关系以及平移规则，计算量小，属于常规基础题。
【难度系数】
0.7