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三、综合实践活动
某班组织了一次成语知识趣味竞赛，有20名学生报名参加，参赛学生被分为甲、乙两组，每组10人，满分10分（得分均为整数），成绩达到7分及7分以上为合格，达到9分或10分为优秀。以下是这次竞赛中甲、乙两组学生成绩分布的折线统计图和成绩统计分析表。
根据以上信息，解决下列问题：
(1)求出成绩统计分析表中$a$、$b$、$c$的值。
(2)小英同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察成绩统计分析表判断，小英是哪个组的学生？
(3)你认为哪个组的成绩更好？请说明理由。
某班组织了一次成语知识趣味竞赛，有20名学生报名参加，参赛学生被分为甲、乙两组，每组10人，满分10分（得分均为整数），成绩达到7分及7分以上为合格，达到9分或10分为优秀。以下是这次竞赛中甲、乙两组学生成绩分布的折线统计图和成绩统计分析表。
根据以上信息，解决下列问题：
(1)求出成绩统计分析表中$a$、$b$、$c$的值。
(2)小英同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察成绩统计分析表判断，小英是哪个组的学生？
(3)你认为哪个组的成绩更好？请说明理由。
答案
(1) $a = 6.8,b = 6,c = 1.96$。
(2)小英属于甲组的学生。
(3)解:乙组的成绩更好。说明理由:甲组的平均分、中位数小于乙组的平均分、中位数,甲组的方差大于乙组的方差,甲组的合格率小于乙组的合格率,
∴乙组的成绩更好。
(2)小英属于甲组的学生。
(3)解:乙组的成绩更好。说明理由:甲组的平均分、中位数小于乙组的平均分、中位数,甲组的方差大于乙组的方差,甲组的合格率小于乙组的合格率,
∴乙组的成绩更好。
解析
【分析】
(1)求a（甲组平均分）：先从折线统计图提取甲组所有成绩，根据“平均分=总成绩÷总人数”计算；求b（甲组中位数）：将甲组成绩从小到大排序，10个数据的中位数是第5、6个数据的平均数；求c（乙组方差）：提取乙组所有成绩，结合乙组平均分，根据方差公式计算即可。
(2)判断小英所属组：7分排名中游偏上说明该组中位数小于7，对比两组中位数即可得出结论。
(3)判断哪组成绩更好：可从平均分、中位数、方差、合格率几个统计量综合分析，平均分、中位数、合格率越高，方差越低，说明整体成绩越好。
【解析】
(1) ①计算甲组平均分$a$：
从折线图得甲组10人的成绩为：3分1人，6分5人，7分1人，9分2人，10分1人。
总成绩$=3×1 + 6×5 + 7×1 + 9×2 + 10×1=68$
$\therefore a=68÷10=6.8$
②计算甲组中位数$b$：
将甲组成绩从小到大排列：3，6，6，6，6，6，7，9，9，10
共10个数据，中位数为第5、6个数据的平均数，第5、6个数据均为6
$\therefore b=(6+6)÷2=6$
③计算乙组方差$c$：
从折线图得乙组10人的成绩为：5分2人，6分1人，7分2人，8分3人，9分2人，已知乙组平均分为7.2。
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$代入得：
$c=\frac{1}{10}[2×(5-7.2)^2 + 1×(6-7.2)^2 + 2×(7-7.2)^2 + 3×(8-7.2)^2 + 2×(9-7.2)^2]$
$=\frac{1}{10}(9.68 + 1.44 + 0.08 + 1.92 + 6.48)=\frac{19.6}{10}=1.96$
(2) 小英得7分，排名中游偏上，说明所在组的中位数小于7：
甲组中位数为$6＜7$，乙组中位数为$7.5＞7$，因此7分在甲组属于中游略偏上，在乙组属于中游偏下，故小英是甲组的学生。
(3) 乙组的成绩更好，理由如下：
甲组的平均分、中位数均小于乙组，说明乙组整体平均水平和中等水平学生的成绩都更好；甲组的方差大于乙组，说明乙组成绩更稳定；甲组的合格率小于乙组，说明乙组合格人数占比更高，因此乙组的成绩更好。
【答案】
(1) $a = 6.8,b = 6,c = 1.96$
(2) 小英是甲组的学生。
(3) 乙组的成绩更好，理由见解析。
【知识点】
平均数，中位数，方差
【点评】
本题考查常见统计量的计算与实际应用，解题关键是准确从统计图中提取数据，理解各统计量的实际意义，结合数据特征分析问题。
【难度系数】
0.7
(1)求a（甲组平均分）：先从折线统计图提取甲组所有成绩，根据“平均分=总成绩÷总人数”计算；求b（甲组中位数）：将甲组成绩从小到大排序，10个数据的中位数是第5、6个数据的平均数；求c（乙组方差）：提取乙组所有成绩，结合乙组平均分，根据方差公式计算即可。
(2)判断小英所属组：7分排名中游偏上说明该组中位数小于7，对比两组中位数即可得出结论。
(3)判断哪组成绩更好：可从平均分、中位数、方差、合格率几个统计量综合分析，平均分、中位数、合格率越高，方差越低，说明整体成绩越好。
【解析】
(1) ①计算甲组平均分$a$：
从折线图得甲组10人的成绩为：3分1人，6分5人，7分1人，9分2人，10分1人。
总成绩$=3×1 + 6×5 + 7×1 + 9×2 + 10×1=68$
$\therefore a=68÷10=6.8$
②计算甲组中位数$b$：
将甲组成绩从小到大排列：3，6，6，6，6，6，7，9，9，10
共10个数据，中位数为第5、6个数据的平均数，第5、6个数据均为6
$\therefore b=(6+6)÷2=6$
③计算乙组方差$c$：
从折线图得乙组10人的成绩为：5分2人，6分1人，7分2人，8分3人，9分2人，已知乙组平均分为7.2。
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$代入得：
$c=\frac{1}{10}[2×(5-7.2)^2 + 1×(6-7.2)^2 + 2×(7-7.2)^2 + 3×(8-7.2)^2 + 2×(9-7.2)^2]$
$=\frac{1}{10}(9.68 + 1.44 + 0.08 + 1.92 + 6.48)=\frac{19.6}{10}=1.96$
(2) 小英得7分，排名中游偏上，说明所在组的中位数小于7：
甲组中位数为$6＜7$，乙组中位数为$7.5＞7$，因此7分在甲组属于中游略偏上，在乙组属于中游偏下，故小英是甲组的学生。
(3) 乙组的成绩更好，理由如下：
甲组的平均分、中位数均小于乙组，说明乙组整体平均水平和中等水平学生的成绩都更好；甲组的方差大于乙组，说明乙组成绩更稳定；甲组的合格率小于乙组，说明乙组合格人数占比更高，因此乙组的成绩更好。
【答案】
(1) $a = 6.8,b = 6,c = 1.96$
(2) 小英是甲组的学生。
(3) 乙组的成绩更好，理由见解析。
【知识点】
平均数，中位数，方差
【点评】
本题考查常见统计量的计算与实际应用，解题关键是准确从统计图中提取数据，理解各统计量的实际意义，结合数据特征分析问题。
【难度系数】
0.7
