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15. 如图，小东在操场的中心位置，从点A出发，每走6 m向左转60°.
(1)小东能否走回点A？若能回到点A，则需走多少米，走过的路径是一个什么图形？请说明理由；(路径为点A→点B→点C→……)
(2)求这个图形的内角和.
(1)小东能否走回点A？若能回到点A，则需走多少米，走过的路径是一个什么图形？请说明理由；(路径为点A→点B→点C→……)
(2)求这个图形的内角和.
答案
15. (1)能，小东一共走了 36 m. 正六边形
(2)$720°$
(2)$720°$
解析
【分析】
(1)要判断能否走回A点，可先明确：小东每次左转的角度就是所走路径构成的多边形的外角，若能回到出发点，说明转过的总角度等于多边形外角和（固定为360°）。用外角和除以单个外角度数即可得到多边形边数，再用边数乘每段路程长度得到总路程，结合各边相等、各外角相等就能判断图形形状；(2)求内角和直接套用n边形内角和公式计算即可。
【解析】
(1) 能回到点A，理由如下：
∵小东每走6m向左转60°，
∴走过的路径构成的多边形的每个外角均为60°，且每条边长为6m。
∵任意多边形的外角和为360°，
∴该多边形的边数为 $360° ÷ 60° =6$。
总路程为 $6 × 6 = 36\ \mathrm{m}$，又因为该多边形各边长度相等、各外角相等，所以走过的路径是正六边形。
(2) 根据n边形内角和公式：$(n-2)× 180°$（n≥3且n为整数），正六边形边数n=6，
∴内角和为 $(6-2)× 180° = 720°$。
【答案】
(1) 能，小东一共走了36 m，走过的路径是正六边形；
(2) $720°$
【知识点】
多边形外角和，多边形内角和，正多边形的性质
【点评】
本题结合实际行走场景考查多边形相关性质的应用，解题的突破口是理解每次左转的角度为多边形的外角，结合外角和固定为360°即可快速求出边数，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
(1)要判断能否走回A点，可先明确：小东每次左转的角度就是所走路径构成的多边形的外角，若能回到出发点，说明转过的总角度等于多边形外角和（固定为360°）。用外角和除以单个外角度数即可得到多边形边数，再用边数乘每段路程长度得到总路程，结合各边相等、各外角相等就能判断图形形状；(2)求内角和直接套用n边形内角和公式计算即可。
【解析】
(1) 能回到点A，理由如下：
∵小东每走6m向左转60°，
∴走过的路径构成的多边形的每个外角均为60°，且每条边长为6m。
∵任意多边形的外角和为360°，
∴该多边形的边数为 $360° ÷ 60° =6$。
总路程为 $6 × 6 = 36\ \mathrm{m}$，又因为该多边形各边长度相等、各外角相等，所以走过的路径是正六边形。
(2) 根据n边形内角和公式：$(n-2)× 180°$（n≥3且n为整数），正六边形边数n=6，
∴内角和为 $(6-2)× 180° = 720°$。
【答案】
(1) 能，小东一共走了36 m，走过的路径是正六边形；
(2) $720°$
【知识点】
多边形外角和，多边形内角和，正多边形的性质
【点评】
本题结合实际行走场景考查多边形相关性质的应用，解题的突破口是理解每次左转的角度为多边形的外角，结合外角和固定为360°即可快速求出边数，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
16. (1)填表：
(2)猜想给定一个正整数n，凸n边形最多有m个内角等于135°，则m与n之间有怎样的关系？
(3)取n=7验证你的猜想是否成立？如果不成立，请给出凸n边形中最多有多少个内角等于135°，并说明理由。
(2)猜想给定一个正整数n，凸n边形最多有m个内角等于135°，则m与n之间有怎样的关系？
(3)取n=7验证你的猜想是否成立？如果不成立，请给出凸n边形中最多有多少个内角等于135°，并说明理由。
答案
16. (1)1 2 3
(2)$m=n-2$
(3)当 $3 ≤ n ≤ 5$ 时, 凸 $n$ 边形最多有 $n-2$ 个内角等于 $135°$; 当 $6 ≤ n ≤ 7$ 时, 凸 $n$ 边形最多有 $n-1$ 个内角等于 $135°$; 当 $n=8$ 时, 凸 $n$ 边形最多有 8 个内角等于 $135°$; 当 $n＞8$ 时,凸 $n$ 边形最多有 7 个内角等于 $135°.$
(2)$m=n-2$
(3)当 $3 ≤ n ≤ 5$ 时, 凸 $n$ 边形最多有 $n-2$ 个内角等于 $135°$; 当 $6 ≤ n ≤ 7$ 时, 凸 $n$ 边形最多有 $n-1$ 个内角等于 $135°$; 当 $n=8$ 时, 凸 $n$ 边形最多有 8 个内角等于 $135°$; 当 $n＞8$ 时,凸 $n$ 边形最多有 7 个内角等于 $135°.$
解析
【分析】
解决本题首先要明确凸多边形的核心性质：内角和为$(n-2)×180°$，外角和恒为$360°$，且所有外角均大于$0°$。第(1)问分别对边数为3、4、5的凸多边形，计算内角和后判断最多可容纳的$135°$内角数量；第(2)问根据第(1)问的结果直接归纳猜想m和n的关系；第(3)问转换思路，用外角性质分析：$135°$内角对应的外角为$45°$，结合外角和为$360°$列不等式，再按n的不同取值范围分类讨论，验证猜想并得出完整结论。
【解析】
(1) 当$n=3$时，三角形内角和为$180°$：若存在2个$135°$内角，和为$2×135°=270°＞180°$，不符合要求，最多有1个$135°$内角，即$m=1$；
当$n=4$时，四边形内角和为$(4-2)×180°=360°$：若存在3个$135°$内角，和为$3×135°=405°＞360°$，不符合要求，最多有2个$135°$内角，即$m=2$；
当$n=5$时，五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$：若存在4个$135°$内角，和为$4×135°=540°$，第5个内角为$0°$，不符合凸多边形定义，最多有3个$135°$内角，即$m=3$；
故表格依次填1、2、3。
(2) 观察(1)的结果：$n=3$时$m=1=3-2$，$n=4$时$m=2=4-2$，$n=5$时$m=3=5-2$，猜想$m$与$n$的关系为$\boldsymbol{m=n-2}$。
(3) 转换为外角分析：$135°$内角对应的外角为$180°-135°=45°$，凸多边形外角和恒为$360°$，且所有外角均大于$0°$。设$135°$内角的个数为$m$，则$m$个对应外角的和为$45m$，剩余$(n-m)$个外角的和为$360°-45m＞0$，解得$m＜8$，且$m≤ n$，分类讨论：
① 当$3≤ n≤5$时，$n＜8$，$m$最大可取$n-2$，原猜想成立；
② 当$6≤ n≤7$时，$n＜8$，$m$最大可取$n-1$：如$n=7$时，$m=6$，对应外角和为$6×45°=270°$，剩余1个外角为$360°-270°=90°$，对应内角为$90°$，符合凸多边形要求，此时$m=6=7-1$，原猜想不成立；
③ 当$n=8$时，$m=8$，对应外角和为$8×45°=360°$，刚好等于外角和，所有内角均为$135°$，符合要求；
④ 当$n＞8$时，由$m＜8$可得$m$最大可取7，此时对应外角和为$7×45°=315°$，剩余$(n-7)$个外角和为$45°$，每个外角均大于$0°$，符合要求。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$、$\boldsymbol{2}$、$\boldsymbol{3}$
(2) $\boldsymbol{m=n-2}$
(3) 当 $3 ≤ n ≤ 5$ 时, 凸 $n$ 边形最多有 $n-2$ 个内角等于 $135°$; 当 $6 ≤ n ≤ 7$ 时, 凸 $n$ 边形最多有 $n-1$ 个内角等于 $135°$; 当 $n=8$ 时, 凸 $n$ 边形最多有 8 个内角等于 $135°$; 当 $n＞8$ 时,凸 $n$ 边形最多有 7 个内角等于 $135°$。
【知识点】
多边形内角和公式，多边形外角和性质，分类讨论思想
【点评】
本题考查多边形性质的综合应用与规律探究能力，解题时利用外角和恒为$360°$的性质比直接计算内角和更简便，需注意凸多边形外角大于$0°$的隐含条件，结合n的取值范围分类讨论即可得到完整结论。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确凸多边形的核心性质：内角和为$(n-2)×180°$，外角和恒为$360°$，且所有外角均大于$0°$。第(1)问分别对边数为3、4、5的凸多边形，计算内角和后判断最多可容纳的$135°$内角数量；第(2)问根据第(1)问的结果直接归纳猜想m和n的关系；第(3)问转换思路，用外角性质分析：$135°$内角对应的外角为$45°$，结合外角和为$360°$列不等式，再按n的不同取值范围分类讨论，验证猜想并得出完整结论。
【解析】
(1) 当$n=3$时，三角形内角和为$180°$：若存在2个$135°$内角，和为$2×135°=270°＞180°$，不符合要求，最多有1个$135°$内角，即$m=1$；
当$n=4$时，四边形内角和为$(4-2)×180°=360°$：若存在3个$135°$内角，和为$3×135°=405°＞360°$，不符合要求，最多有2个$135°$内角，即$m=2$；
当$n=5$时，五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$：若存在4个$135°$内角，和为$4×135°=540°$，第5个内角为$0°$，不符合凸多边形定义，最多有3个$135°$内角，即$m=3$；
故表格依次填1、2、3。
(2) 观察(1)的结果：$n=3$时$m=1=3-2$，$n=4$时$m=2=4-2$，$n=5$时$m=3=5-2$，猜想$m$与$n$的关系为$\boldsymbol{m=n-2}$。
(3) 转换为外角分析：$135°$内角对应的外角为$180°-135°=45°$，凸多边形外角和恒为$360°$，且所有外角均大于$0°$。设$135°$内角的个数为$m$，则$m$个对应外角的和为$45m$，剩余$(n-m)$个外角的和为$360°-45m＞0$，解得$m＜8$，且$m≤ n$，分类讨论：
① 当$3≤ n≤5$时，$n＜8$，$m$最大可取$n-2$，原猜想成立；
② 当$6≤ n≤7$时，$n＜8$，$m$最大可取$n-1$：如$n=7$时，$m=6$，对应外角和为$6×45°=270°$，剩余1个外角为$360°-270°=90°$，对应内角为$90°$，符合凸多边形要求，此时$m=6=7-1$，原猜想不成立；
③ 当$n=8$时，$m=8$，对应外角和为$8×45°=360°$，刚好等于外角和，所有内角均为$135°$，符合要求；
④ 当$n＞8$时，由$m＜8$可得$m$最大可取7，此时对应外角和为$7×45°=315°$，剩余$(n-7)$个外角和为$45°$，每个外角均大于$0°$，符合要求。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$、$\boldsymbol{2}$、$\boldsymbol{3}$
(2) $\boldsymbol{m=n-2}$
(3) 当 $3 ≤ n ≤ 5$ 时, 凸 $n$ 边形最多有 $n-2$ 个内角等于 $135°$; 当 $6 ≤ n ≤ 7$ 时, 凸 $n$ 边形最多有 $n-1$ 个内角等于 $135°$; 当 $n=8$ 时, 凸 $n$ 边形最多有 8 个内角等于 $135°$; 当 $n＞8$ 时,凸 $n$ 边形最多有 7 个内角等于 $135°$。
【知识点】
多边形内角和公式，多边形外角和性质，分类讨论思想
【点评】
本题考查多边形性质的综合应用与规律探究能力，解题时利用外角和恒为$360°$的性质比直接计算内角和更简便，需注意凸多边形外角大于$0°$的隐含条件，结合n的取值范围分类讨论即可得到完整结论。
【难度系数】
0.6
