13. 看下图解答问题.

(1)小明为什么说多边形的内角和是2026°？
(2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？

13. (1)解: $\because n$ 边形的内角和是
$(n-2) ×180°,$
$\therefore$ 多边形的内角和一定是 $180°$ 的整数倍.
$\because 2026° ÷180°=11 ··· ··· 46°,$
$\therefore$ 小明说多边形的内角和不可能是 $2026°.$
(2)解: $2026° ÷180°=11 ··· ··· 46°.$
$11+2=13,$
$2026°-46°=1980°.$
故小华求的是十三边形的内角和,内角和是 $1980°$, 多加的那个外角是 $46°.$

【分析】
(1) 第一问解题思路：首先回忆多边形内角和公式，n边形内角和为$(n-2)×180°$（n为≥3的整数），因此内角和必然是180°的整数倍，只需验证2026°是否为180°的整数倍即可判断该内角和是否正确。
(2) 第二问解题思路：凸多边形的外角度数范围是$0°＜外角＜180°$，2026°是正确内角和加一个外角的结果，因此2026°除以180°得到的余数就是多加的外角，商对应$(n-2)$的值，由此可算出多边形边数，再代入内角和公式得到正确的内角和。
【解析】
(1) 解：$\because n$边形的内角和是$(n-2) ×180°$（$n$为不小于3的整数），
$\therefore$ 多边形的内角和一定是$180°$的整数倍。
$\because 2026° ÷180°=11 ··· ··· 46°$，即2026°不能被180°整除，
$\therefore$ 小明说多边形的内角和不可能是$2026°$。
(2) 解：由$2026° ÷180°=11 ··· ··· 46°$，可知余数46°就是多加的外角度数。
根据内角和公式得$n-2=11$，因此边数$n=11+2=13$。
正确内角和为$2026°-46°=1980°$（或代入公式计算：$(13-2)×180°=1980°$）。
【答案】
(1) 因为多边形内角和一定是180°的整数倍，2026°除以180°有余数，所以内角和不可能是2026°；
(2) 小华求的是十三边形的内角和，内角和是$1980°$，多加的那个外角是$46°$。
【知识点】
多边形内角和公式；凸多边形外角性质
【点评】
本题解题关键是抓住多边形内角和是180°整数倍的核心性质，结合凸多边形外角小于180°的特点即可快速求解，易错点是容易混淆边数和商的关系，计算边数时不要忘记加2。
【难度系数】
0.7

14. 【建立模型】如图①，在∠A内部有一点P，连结BP、CP，求证：∠P=∠1+∠A+∠2；
【尝试应用】如图②，利用上面的结论，直接写出五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=度；
【拓展创新】如图③，将五角星截去一个角后多出一个角，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠G=度.
【提升思维】如图④，将五角星的每个角都截去，则一共得到10个角，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠J=度.

14. 建立模型：证明略；
尝试应用：180
拓展创新：360
提升思维：1 080

【分析】
1. 建立模型：要证明∠P=∠1+∠A+∠2，可通过连接AP并延长，利用三角形外角的性质，将∠BPC拆分为两个三角形的外角之和，分别表示后合并即可得到结论。
2. 尝试应用：五角星的五个角可利用三角形外角性质，将四个角转化到包含∠A的三角形中，结合三角形内角和为180°即可算出五个角的和。
3. 拓展创新：截去一个角后，被截位置的两个新角之和比原来的角多180°，结合五角星原有五个角和为180°，即可算出六个角的总和。
4. 提升思维：每截去一个角，总和就增加180°，截去5个角共增加5×180°，加上原有五个角的和即可得到10个角的总和。
【解析】
★建立模型证明：
连接AP并延长至点Q。
∵∠BPQ是△ABP的外角，
∴∠BPQ=∠2+∠BAP，
∵∠CPQ是△ACP的外角，
∴∠CPQ=∠1+∠CAP，
∴∠BPC=∠BPQ+∠CPQ=∠2+∠BAP+∠1+∠CAP=∠1+∠2+(∠BAP+∠CAP)=∠1+∠A+∠2，得证。
★尝试应用：
观察五角星，利用三角形外角性质，可将∠B+∠D、∠C+∠E分别转化为包含∠A的三角形的两个内角，根据三角形内角和为180°，可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。
★拓展创新：
截去∠A后，新得到的∠A+∠G=180°+原∠A，因此总和为原有五个角的和180°减去原∠A，再加∠A+∠G，即$180° - \mathrm{原}∠ A + 180° + \mathrm{原}∠ A = 360°$。
★提升思维：
每截去一个角，该位置的角替换为两个新角，总和比原来增加180°，截去5个角共增加$5×180°=900°$，原有五个角和为180°，因此10个角的总和为$180°+900°=1080°$。
【答案】
尝试应用：180；拓展创新：360；提升思维：1080
【知识点】
三角形外角性质，三角形内角和定理，角度转化计算
【点评】
本题遵循从基础模型到拓展应用的逻辑设计，重点考查对三角形内外角相关性质的灵活运用，以及归纳推理能力，解题核心是掌握将分散的角度集中转化的思路。
【难度系数】
0.6