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1. 判断，对的画“√”，错的画“×”。
(1) 如果$a = 7b$($a$，$b$都是非 $0$ 自然数)，那么$a$和$b$的最小公倍数是$a$。(
(2) 两个数的积一定是这两个数的公倍数。(
(3) 两个数的公倍数不可能是这两个数中的一个。(
(4) 两个非 $0$ 自然数的公倍数一定是它们的最小公倍数的倍数。(
(1) 如果$a = 7b$($a$，$b$都是非 $0$ 自然数)，那么$a$和$b$的最小公倍数是$a$。(
√
)(2) 两个数的积一定是这两个数的公倍数。(
×
)(3) 两个数的公倍数不可能是这两个数中的一个。(
×
)(4) 两个非 $0$ 自然数的公倍数一定是它们的最小公倍数的倍数。(
√
)答案
√
×
×
√
×
×
√
解析
【分析】
我们逐个分析每道小题：
1. 第(1)题，已知$a = 7b$（$a$，$b$都是非0自然数），说明$a$是$b$的倍数，根据倍数关系的两个数的最小公倍数规律，较大数就是它们的最小公倍数，据此可判断对错。
2. 第(2)题，公倍数的定义是针对非0自然数而言的，若两个数不满足非0自然数的前提，它们的积不一定是这两个数的公倍数，需结合概念适用范围判断。
3. 第(3)题，当两个数存在倍数关系时，较大的数既是其中一个数，也是这两个数的公倍数，通过举例即可验证说法是否正确。
4. 第(4)题，根据最小公倍数的定义，最小公倍数是所有公倍数中最小的那个，其他公倍数都是它的整数倍，由此可推导结论。
【解析】
(1) 因为$a = 7b$（$a$，$b$都是非0自然数），所以$a$是$b$的倍数。当两个数为倍数关系时，较大数就是它们的最小公倍数，$a$是较大数，因此$a$和$b$的最小公倍数是$a$，此说法正确，画“√”。
(2) 公倍数的概念仅适用于非0自然数范围。若两个数包含0或不是自然数（如小数），它们的积不满足公倍数的要求，例如0和5的积是0，0不能作为公倍数；2和0.5的积是1，1不是0.5的整数倍，所以“两个数的积一定是这两个数的公倍数”说法错误，画“×”。
(3) 当两个数是倍数关系时，较大数既是其中一个数，也是这两个数的公倍数，比如2和4，4是它们的公倍数，同时是其中一个数，因此该说法错误，画“×”。
(4) 两个非0自然数的最小公倍数是它们公倍数中最小的那个，所有其他公倍数都可表示为最小公倍数的正整数倍，因此两个非0自然数的公倍数一定是它们的最小公倍数的倍数，此说法正确，画“√”。
【答案】
√；×；×；√
【知识点】
1. 最小公倍数判定
2. 公倍数定义
3. 倍数关系数的公倍数特征
【点评】
本题聚焦公倍数与最小公倍数的核心概念，重点考查概念的适用范围及特殊关系（倍数关系）下的数的公倍数特点，通过举例验证能更直观地辨析对错，帮助强化对概念的理解。
【难度系数】
0.6
我们逐个分析每道小题：
1. 第(1)题，已知$a = 7b$（$a$，$b$都是非0自然数），说明$a$是$b$的倍数，根据倍数关系的两个数的最小公倍数规律，较大数就是它们的最小公倍数，据此可判断对错。
2. 第(2)题，公倍数的定义是针对非0自然数而言的，若两个数不满足非0自然数的前提，它们的积不一定是这两个数的公倍数，需结合概念适用范围判断。
3. 第(3)题，当两个数存在倍数关系时，较大的数既是其中一个数，也是这两个数的公倍数，通过举例即可验证说法是否正确。
4. 第(4)题，根据最小公倍数的定义，最小公倍数是所有公倍数中最小的那个，其他公倍数都是它的整数倍，由此可推导结论。
【解析】
(1) 因为$a = 7b$（$a$，$b$都是非0自然数），所以$a$是$b$的倍数。当两个数为倍数关系时，较大数就是它们的最小公倍数，$a$是较大数，因此$a$和$b$的最小公倍数是$a$，此说法正确，画“√”。
(2) 公倍数的概念仅适用于非0自然数范围。若两个数包含0或不是自然数（如小数），它们的积不满足公倍数的要求，例如0和5的积是0，0不能作为公倍数；2和0.5的积是1，1不是0.5的整数倍，所以“两个数的积一定是这两个数的公倍数”说法错误，画“×”。
(3) 当两个数是倍数关系时，较大数既是其中一个数，也是这两个数的公倍数，比如2和4，4是它们的公倍数，同时是其中一个数，因此该说法错误，画“×”。
(4) 两个非0自然数的最小公倍数是它们公倍数中最小的那个，所有其他公倍数都可表示为最小公倍数的正整数倍，因此两个非0自然数的公倍数一定是它们的最小公倍数的倍数，此说法正确，画“√”。
【答案】
√；×；×；√
【知识点】
1. 最小公倍数判定
2. 公倍数定义
3. 倍数关系数的公倍数特征
【点评】
本题聚焦公倍数与最小公倍数的核心概念，重点考查概念的适用范围及特殊关系（倍数关系）下的数的公倍数特点，通过举例验证能更直观地辨析对错，帮助强化对概念的理解。
【难度系数】
0.6
2. 某公园是 $1$ 路车和 $6$ 路车的起点站，$1$路车每 $20$ 分钟发一辆车，$6$ 路车每 $30$分钟发一辆车。这两路车从早上 $6:00$第一次同时发车后，在什么时间会第二次同时发车？
答案
[20,30]=60
60分=1时
6+1=7(时)
答:在7:00会第二次同时发车。
60分=1时
6+1=7(时)
答:在7:00会第二次同时发车。
解析
【分析】
要解决两路车第二次同时发车的时间问题，关键是先求出两路车发车间隔时间的最小公倍数。因为同时发车的时间必须既是1路车发车间隔（20分钟）的倍数，也是6路车发车间隔（30分钟）的倍数，所以最小的那个公共倍数就是两次同时发车的间隔时长。然后用第一次发车时间加上这个间隔时长，就能得到第二次同时发车的时间。
【解析】
1. 求20和30的最小公倍数：
列举20的倍数：20、40、60、80……
列举30的倍数：30、60、90……
可得20和30的最小公倍数是60，即两路车每隔60分钟会同时发车一次。
2. 时间单位换算：$60分=1时$
3. 计算第二次同时发车时间：$6时+1时=7时$
答：在7:00会第二次同时发车。
【答案】
7:00
【知识点】
最小公倍数应用、时间单位换算
【点评】
本题考查最小公倍数在实际生活中的应用，结合时间单位换算，需要理解同时发车的间隔时间是两路车发车间隔的最小公倍数，属于基础应用型题目，有助于提升学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
要解决两路车第二次同时发车的时间问题，关键是先求出两路车发车间隔时间的最小公倍数。因为同时发车的时间必须既是1路车发车间隔（20分钟）的倍数，也是6路车发车间隔（30分钟）的倍数，所以最小的那个公共倍数就是两次同时发车的间隔时长。然后用第一次发车时间加上这个间隔时长，就能得到第二次同时发车的时间。
【解析】
1. 求20和30的最小公倍数：
列举20的倍数：20、40、60、80……
列举30的倍数：30、60、90……
可得20和30的最小公倍数是60，即两路车每隔60分钟会同时发车一次。
2. 时间单位换算：$60分=1时$
3. 计算第二次同时发车时间：$6时+1时=7时$
答：在7:00会第二次同时发车。
【答案】
7:00
【知识点】
最小公倍数应用、时间单位换算
【点评】
本题考查最小公倍数在实际生活中的应用，结合时间单位换算，需要理解同时发车的间隔时间是两路车发车间隔的最小公倍数，属于基础应用型题目，有助于提升学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
3. 一种长方形瓷砖长 $12$ 厘米，宽 $10$ 厘米。要用这种瓷砖铺一块正方形地面，这块正方形地面的边长最小是多少厘米？至少需要多少块这样的瓷砖？（瓷砖不能分割）
答案
[12,10]=60
(60÷12)×(60÷10)=5×6=30(块)
答:这块正方形地面的边长最小是60厘米，至少需要30块这样的瓷砖。
(60÷12)×(60÷10)=5×6=30(块)
答:这块正方形地面的边长最小是60厘米，至少需要30块这样的瓷砖。
解析
【分析】
要想用长12厘米、宽10厘米的长方形瓷砖铺成正方形地面且瓷砖不能分割，正方形的边长必须同时是长方形长和宽的倍数，也就是12和10的公倍数。题目要求边长最小，所以需要先求出12和10的最小公倍数，这个最小公倍数就是正方形地面的最小边长。接下来计算瓷砖块数，可分别算出正方形边长里包含几个长方形的长、几个长方形的宽，再将这两个数量相乘，就能得到所需瓷砖的总块数。
【解析】
1. 求12和10的最小公倍数：
利用短除法，先找出12和10的最大公因数是2，
$12÷2=6$，$10÷2=5$，
则最小公倍数为$2×6×5=60$，即正方形地面的最小边长是60厘米。
2. 计算所需瓷砖块数：
沿长方向所需瓷砖数：$60÷12=5$（块）
沿宽方向所需瓷砖数：$60÷10=6$（块）
总瓷砖块数：$5×6=30$（块）
【答案】
这块正方形地面的边长最小是60厘米，至少需要30块这样的瓷砖。
【知识点】
1. 最小公倍数的应用
2. 铺砖问题解法
【点评】
本题考查最小公倍数在实际生活中的应用，解题关键是明确正方形边长需为长方形长和宽的公倍数，最小边长对应最小公倍数。通过计算边长包含的长、宽数量求瓷砖块数，既巩固了公倍数知识点，又培养了学生将数学知识应用到实际问题中的能力。
【难度系数】
0.7
要想用长12厘米、宽10厘米的长方形瓷砖铺成正方形地面且瓷砖不能分割，正方形的边长必须同时是长方形长和宽的倍数，也就是12和10的公倍数。题目要求边长最小，所以需要先求出12和10的最小公倍数，这个最小公倍数就是正方形地面的最小边长。接下来计算瓷砖块数，可分别算出正方形边长里包含几个长方形的长、几个长方形的宽，再将这两个数量相乘，就能得到所需瓷砖的总块数。
【解析】
1. 求12和10的最小公倍数：
利用短除法，先找出12和10的最大公因数是2，
$12÷2=6$，$10÷2=5$，
则最小公倍数为$2×6×5=60$，即正方形地面的最小边长是60厘米。
2. 计算所需瓷砖块数：
沿长方向所需瓷砖数：$60÷12=5$（块）
沿宽方向所需瓷砖数：$60÷10=6$（块）
总瓷砖块数：$5×6=30$（块）
【答案】
这块正方形地面的边长最小是60厘米，至少需要30块这样的瓷砖。
【知识点】
1. 最小公倍数的应用
2. 铺砖问题解法
【点评】
本题考查最小公倍数在实际生活中的应用，解题关键是明确正方形边长需为长方形长和宽的公倍数，最小边长对应最小公倍数。通过计算边长包含的长、宽数量求瓷砖块数，既巩固了公倍数知识点，又培养了学生将数学知识应用到实际问题中的能力。
【难度系数】
0.7
4. 动物园里新来了两只骆驼，它们的年龄相差 $1$ 岁，它们年龄的最小公倍数是 $30$。你知道这两只骆驼的年龄各是多少岁吗？
答案
5和6的最小公倍数是30，且相差1。
答:这两只骆驼的年龄各是5岁、6岁。
答:这两只骆驼的年龄各是5岁、6岁。
解析
【分析】
首先，两只骆驼年龄相差1岁，说明它们的年龄是相邻的自然数，而相邻的两个自然数是互质的（公因数只有1）。根据互质数的性质，互质的两个数的最小公倍数就是它们的乘积。所以我们需要找到两个相差1的自然数，它们的乘积是30，接下来对30进行因数分解，就能找出满足条件的两个数。
【解析】
1. 由两只骆驼年龄相差1岁可知，它们的年龄是相邻自然数，相邻自然数互质，互质数的最小公倍数等于两数的乘积。
2. 对30进行因数分解：$30 = 1×30 = 2×15 = 3×10 = 5×6$。
3. 观察因数对，只有5和6相差1，且$5×6=30$，它们的最小公倍数是30，符合题目条件。
答：这两只骆驼的年龄各是5岁、6岁。
【答案】
5岁和6岁
【知识点】
互质数性质、最小公倍数计算、因数分解
【点评】
本题结合年龄差的条件，考查互质数与最小公倍数的关系，需要学生通过因数分解找到符合要求的数，属于基础应用类题目，能帮助巩固互质数特性和最小公倍数的相关知识。
【难度系数】
0.7
首先，两只骆驼年龄相差1岁，说明它们的年龄是相邻的自然数，而相邻的两个自然数是互质的（公因数只有1）。根据互质数的性质，互质的两个数的最小公倍数就是它们的乘积。所以我们需要找到两个相差1的自然数，它们的乘积是30，接下来对30进行因数分解，就能找出满足条件的两个数。
【解析】
1. 由两只骆驼年龄相差1岁可知，它们的年龄是相邻自然数，相邻自然数互质，互质数的最小公倍数等于两数的乘积。
2. 对30进行因数分解：$30 = 1×30 = 2×15 = 3×10 = 5×6$。
3. 观察因数对，只有5和6相差1，且$5×6=30$，它们的最小公倍数是30，符合题目条件。
答：这两只骆驼的年龄各是5岁、6岁。
【答案】
5岁和6岁
【知识点】
互质数性质、最小公倍数计算、因数分解
【点评】
本题结合年龄差的条件，考查互质数与最小公倍数的关系，需要学生通过因数分解找到符合要求的数，属于基础应用类题目，能帮助巩固互质数特性和最小公倍数的相关知识。
【难度系数】
0.7
5. 一盒巧克力，$4$ 块 $4$ 块地数，少 $1$ 块；$6$块 $6$ 块地数，也少 $1$ 块。已知这盒巧克力的块数在 $30∼40$ 之间，这盒巧克力有多少块？
答案
4和6的公倍数有12,24,36,48,…
符合块数在30～40之间的只有36。
36-1=35(块)
答:这盒巧克力有35块。
符合块数在30～40之间的只有36。
36-1=35(块)
答:这盒巧克力有35块。
解析
【分析】
首先，我们要抓住题目中的核心条件：“4块4块地数少1块”“6块6块地数也少1块”，这说明如果给这盒巧克力添上1块，它的数量就恰好是4和6的公倍数。接下来我们需要先找出4和6的公倍数，再筛选出处于30～40之间的那个公倍数，最后用这个公倍数减去1，就能得到巧克力的实际块数。
【解析】
1. 找出4和6的公倍数：
4的倍数：4、8、12、16、20、24、28、32、36、40……
6的倍数：6、12、18、24、30、36、42……
因此4和6的公倍数有12、24、36、48……
2. 筛选符合范围的公倍数：
在30～40之间的公倍数只有36。
3. 计算巧克力实际块数：
因为添1块才是公倍数，所以实际块数为36-1=35（块）
答：这盒巧克力有35块。
【答案】
35块
【知识点】
公倍数的应用、找公倍数的方法
【点评】
本题考查公倍数在实际问题中的应用，解题关键是将“少1块”的条件转化为“巧克力数量加1是4和6的公倍数”，通过找公倍数再逆推得到答案，考验学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
首先，我们要抓住题目中的核心条件：“4块4块地数少1块”“6块6块地数也少1块”，这说明如果给这盒巧克力添上1块，它的数量就恰好是4和6的公倍数。接下来我们需要先找出4和6的公倍数，再筛选出处于30～40之间的那个公倍数，最后用这个公倍数减去1，就能得到巧克力的实际块数。
【解析】
1. 找出4和6的公倍数：
4的倍数：4、8、12、16、20、24、28、32、36、40……
6的倍数：6、12、18、24、30、36、42……
因此4和6的公倍数有12、24、36、48……
2. 筛选符合范围的公倍数：
在30～40之间的公倍数只有36。
3. 计算巧克力实际块数：
因为添1块才是公倍数，所以实际块数为36-1=35（块）
答：这盒巧克力有35块。
【答案】
35块
【知识点】
公倍数的应用、找公倍数的方法
【点评】
本题考查公倍数在实际问题中的应用，解题关键是将“少1块”的条件转化为“巧克力数量加1是4和6的公倍数”，通过找公倍数再逆推得到答案，考验学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
6. 物业给小区人行道的一侧安装路灯（两端都要安装），每隔 $4$ 米安装一盏，正好安装了 $22$ 盏。后来因线路改造，要将原来的路灯改为每隔 $6$ 米安装一盏。这条人行道有多长？改造时，原来已安装好的路灯中有多少盏可以不用移动？
答案
4×(22-1)=84(米)
在4和6的公倍数位置上的路灯不需要移动，4和6的最小公倍数是12。
84÷12=7(盏)
7+1=8(盏)
答:这条人行道长84米，原来已安装好的路灯中有8盏不用移动。
在4和6的公倍数位置上的路灯不需要移动，4和6的最小公倍数是12。
84÷12=7(盏)
7+1=8(盏)
答:这条人行道长84米，原来已安装好的路灯中有8盏不用移动。
解析
【分析】
首先解决人行道长度问题：由于两端都安装路灯，路灯盏数比间隔数多1，因此先算出间隔数为22-1，再用间隔数乘每个间隔的距离4米，即可得到人行道的长度。
接着解决不用移动的路灯数量问题：不用移动的路灯位置需同时是4米和6米间隔的公倍数位置，先求出4和6的最小公倍数，再用人行道长度除以最小公倍数得到对应的间隔数，最后因两端都有路灯，需在间隔数基础上加1得到不用移动的路灯盏数。
【解析】
1. 计算人行道长度：
因为两端安装路灯，间隔数 = 路灯盏数 - 1，即$22 - 1 = 21$（个）
人行道长度 = 间隔数 × 间隔距离，即$21 × 4 = 84$（米）
2. 计算不用移动的路灯数量：
分解质因数求4和6的最小公倍数：$4=2×2$，$6=2×3$，所以最小公倍数为$2×2×3=12$。
计算84米中包含12米间隔的数量：$84 ÷ 12 = 7$（个）
因为两端路灯都不用移动，所以不用移动的路灯盏数 = 间隔数 + 1，即$7 + 1 = 8$（盏）
答：这条人行道长84米，原来已安装好的路灯中有8盏不用移动。
【答案】
这条人行道长84米，原来已安装好的路灯中有8盏不用移动。
【知识点】
1. 两端植树问题
2. 最小公倍数应用
【点评】
本题融合了植树问题与公倍数的实际应用，要求学生准确掌握两端植树时间隔数与盏数的关系，同时能运用最小公倍数解决实际中的重复位置问题，考查学生的数学应用能力与逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6
首先解决人行道长度问题：由于两端都安装路灯，路灯盏数比间隔数多1，因此先算出间隔数为22-1，再用间隔数乘每个间隔的距离4米，即可得到人行道的长度。
接着解决不用移动的路灯数量问题：不用移动的路灯位置需同时是4米和6米间隔的公倍数位置，先求出4和6的最小公倍数，再用人行道长度除以最小公倍数得到对应的间隔数，最后因两端都有路灯，需在间隔数基础上加1得到不用移动的路灯盏数。
【解析】
1. 计算人行道长度：
因为两端安装路灯，间隔数 = 路灯盏数 - 1，即$22 - 1 = 21$（个）
人行道长度 = 间隔数 × 间隔距离，即$21 × 4 = 84$（米）
2. 计算不用移动的路灯数量：
分解质因数求4和6的最小公倍数：$4=2×2$，$6=2×3$，所以最小公倍数为$2×2×3=12$。
计算84米中包含12米间隔的数量：$84 ÷ 12 = 7$（个）
因为两端路灯都不用移动，所以不用移动的路灯盏数 = 间隔数 + 1，即$7 + 1 = 8$（盏）
答：这条人行道长84米，原来已安装好的路灯中有8盏不用移动。
【答案】
这条人行道长84米，原来已安装好的路灯中有8盏不用移动。
【知识点】
1. 两端植树问题
2. 最小公倍数应用
【点评】
本题融合了植树问题与公倍数的实际应用，要求学生准确掌握两端植树时间隔数与盏数的关系，同时能运用最小公倍数解决实际中的重复位置问题，考查学生的数学应用能力与逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6
